quadratische funktion:parabeln

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02.10.2004, 15:41	uschidt	Auf diesen Beitrag antworten »
quadratische funktion:parabeln Hallo! Mir gelingt es nicht, den Zusammenhang zwischen der gezeichneten Funktion einer Parabel und einer Textaufgabe nachzuvollziehen. Als es letztes Jahr um die zeichnerische Lösung von linearen Gleichungs-systemen ging, habe ich alles wunderbar kapiert mit Hilfe des Vergleichs von 2 Telefontarifen: Der y-Achsenabschnitt war der Festbetrag, und die Steigung m ergibt sich aus dem Preis pro Einheit. Am Schnittpunkt der Geraden hatten beide Telefontarife den gleichen Preis ( x und y identisch). So eine ähnliche Aufgabe bräuchte ich, um Parabeln zu verstehen. Was sind denn eigentlich x1 und x2?? Wäre toll, wenn mir jemand helfen würde!
02.10.2004, 16:01	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratische funktion:parabeln $\begin{eqnarray} x_1\ \mbox{und}\ x_2 \end{eqnarray}$ sind die Nullstellen der Parabel, dass heißt, die Schnittpunkte mit der x-Achse. Nehmen wir z.B. die Parabel $\begin{eqnarray} y=x^2-6x+8 \end{eqnarray}$ Dann sind $\begin{eqnarray} x_1\ \mbox{und}\ x_2 \end{eqnarray}$ die Nullstellen, dieser Funktion, wo also y=0. Guckmal den Graphen an: Du kannst es auch anders mit Graphen veranschaulichen: $\begin{eqnarray} x_1\ \mbox{und}\ x_2 \end{eqnarray}$ sind die Nullstellen der Funktion $\begin{eqnarray} y=x^2-6x+8 \end{eqnarray}$ also da, wo y=0 ist: $\begin{eqnarray} x^2-6x+8=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2=6x-8 \end{eqnarray}$ Wir haben jetzt nur umgeformt. Jetzt haben wir auf der linken Seite die Normalparabel. Auf der rechten haben wir eine Geradengleichung. Die sollen gleich sein. Das heißt, wir zeichnen einfach die beiden Funktionen $\begin{eqnarray} y=x^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=6x-8 \end{eqnarray}$ und bestimme ihre Schnittpunkte: Wie du siehst, kommt bei beiden 2 und 4 raus und das sind deine $\begin{eqnarray} x_1\ \mbox{und}\ x_2 \end{eqnarray}$ . Du hast also zwei Möglichkeiten, die Lösungen zeichnerisch zu bestimmen.
02.10.2004, 18:57	uschidt	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratische funktion:parabeln Herzlichen Dank für deine Antwort, lieber Mathespezialschüler!! Ich kann alles nachvollziehen, was du mir so nett erklärt hast. Aber: Wieso kann man aus einer quadratischen Funktion bzw. ihrer graphischen Darstellung eine Normalparabel + eine Gerade machen?? Normalerweise muss man doch die Parameter a,b und c beim Zeichnen der Parabel einschließen? Und noch eine ganz große BITTE: Hast du nicht eine Text-Aufgabe, mit deren Hilfe ich die Parabeln verstehen könnte, wie es mir mit Hilfe der Telefontarife bei den linearen Gleichungssystemen gelungen ist? :P Ich wäre soooo dankbar! LG uschi
02.10.2004, 19:11	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratische funktion:parabeln Wir haben ja nicht Normalparabel + Gerade draus gemacht, sondern das war ja schon so!! Du darfst das nicht anschaulich sehen. Du musst dabei die Gleichungen betrachten! Wir haben ja die Gleichung $\begin{eqnarray} x^2-6x+8=0 \end{eqnarray}$ Die linke Seite ist eine Parabel, wie sie der erste Graph zeigt. Jetzt formen wir einfach völlig legal um: $\begin{eqnarray} x^2-6x+8=0\ \ \ \|\ +6x-8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2=6x-8 \end{eqnarray}$ Und bis jetzt haben wir nichts gemacht, als umgeformt. Du darfst bis jetzt noch nichts anschaulich sehen! Erst jetzt veranschaulichen wir uns die zweite Gleichung: Es soll $\begin{eqnarray} x^2=6x-8 \end{eqnarray}$ werden. Das sind aber die Schnittpunkt der beiden Funktionen $\begin{eqnarray} y=x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=6x-8 \end{eqnarray}$ An den Schnittpunkten haben sie die gleichen x- und y-Werte, also: $\begin{eqnarray} y=y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2=6x-8 \end{eqnarray}$ Wie du siehst, stimmt das mit der von uns hergeleiteten Gleichung überein. Ich hoffe, du hast es jetzt verstanden?!
03.10.2004, 00:51	uschidt	Auf diesen Beitrag antworten »
Herzlichen Dank für deine Erklärungen. Ich habe sie gut verstehen können. (Mit Gleichungen habe ich keine Probleme). Du hast alles wunderbar erkklärt, und ich verstehe alles. Danke!! Aber ich weiß immer noch nicht, was genau eine Parabel darstellt, wenn sie y = x² - 6 x + 8 heißt. Du machst so einen kompetenten Eindruck, bist du Mathe-Lehrer? Dann hast du doch sicher eine TEXTAUFGABE für diese oder eine ähnliche Funktion? Du meinst, ich solle das nicht anschaulich sehen. Ich betrachte die Gleichungen und kann sie lösen. Aber ich verstehe nicht, was ich tue. Liebe Grüße Uschi
03.10.2004, 00:59	Happy	Auf diesen Beitrag antworten »
lade dir einfach mal diesen funktionsplotter herunter, der dürfte in den meißten fällen weiterhelfen eine parabel zu veranschaulichen.
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03.10.2004, 01:01	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Textaufgabe(n) kommt(en) morgen, wenn ich mein Buch geholt hab! Das mit dem nicht anschaulich sehen bezog sich nur auf die Umformungen. Danach kannst du es natürlich anschaulich sehen. Was das anschaulich bedeutet, hab ich dir eigentlich schon gesagt! Du berechnest damit die Nullstellen der Funktion. Das sind die Punkte, wo der Graph die x-Achse schneidet. Ich machs nochmal anschaulich: Die Punkte, die du berechnest, habe ich hier markiert, einmal als Nullstellen der Parabel und das andere Mal, wie schon oben erklärt (die zweite zeichnerische Lösung also), als Schnittpunkt der Normalparabel mit der Geraden:
03.10.2004, 02:05	uschidt	Auf diesen Beitrag antworten »
Heißen Dank! Habe mir deinen Brief ausgedruckt und gucke ihn morgen gründlich an. Ich warte auf deine Aufgabe. Danke!! Ich war heute Abend im KIno: <Die KInder des M. Mathieu>. Eineinhalb Stunden eine wunderschöne Geschichte für LehrerInnen und Schüler. Lange Schlangen vorm Kino, seit Wochen. Der Film tut jedem gut, der mit Kindern / Schule zu tun hat. Liebe Grüße Uschi
03.10.2004, 23:42	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab ganz viele solcher Textaufgaben. Manche sind schwer, manche relativ leicht. Es gibt aber nicht so eine Standardaufgabe wie bei den Gleichungssystemen. Die Aufgaben veranschaulichen auch relativ wenig, aber Textaufgaben sind trotzdem immer gut. Ich pick einfach mal ein paar raus, such dir einfach welche aus: 1. Wenn man bei einem Quadrat die Länge verdoppelt, die Breite um 5 cm verringert, so erhält man ein Rechteck, dessen Fläche um 24 cm² größer ist als die Fläche des Quadrates. Welche Seitenlänge hat das Quadrat? 2. Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen 6 cm und 5 cm. Die Seitenlängen werden so abgeändert, dass bei gleichem Flächeninhalt der Umfang des Rechtecks um 1 cm vergrößert wird. Bestimme die neuen Seitenlängen! 3. a) Wenn man bei einem Würfel die Seitenlängen um 1 cm vergrößert, so vergrößert sich sein Volumen um 127 cm³. Bestimme die ursprüngliche Seitenlänge! b) Wenn man bei einem Würfel die Seitenlänge verdoppelt und noch um 1 cm vergrößert, so vergrößert sich sein Oberflächeninhalt um 576 cm². Bestimme die ursprüngliche Seitenlänge! 4. a) In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse 29 cm lang, die Höhe hat die Länge 10 cm. Wie lang sind die beiden Hypotenusenabschnitte? b) In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse 65 cm lang, der Umfang beträgt 150 cm. Wie lang ist jeder der beiden Katheten? 5. Bestimme die Längen der Seiten eines Rechtecks, von dem bekannt ist: a) Der Umfang beträgt 23 cm und der Flächeninhalt 19 cm². b) Der Flächeninhalt beträgt 17,28 cm², die Längen benachbarter Seiten unterscheiden sich um 1,2 cm. 6. a) Die Diagonale eines Rechtecks ist 25 cm lang. Die eine Rechtecksseite ist 17 cm länger als die andere. Welchen Umfang hat das Rechteck? b) Ein Quader hat das Volumen 90 cm³ und eine Höhe von 6 cm. Die Größe der Mantelfläche (aus den vier Seitenflächen) beträgt 96 cm². Wie lang sind die Seiten der Grundfläche? Für die Aufgabe 4. und 6. a) brauchst du die Satzgruppe des Pythagoras. Wenn ihr die noch nicht behandelt habt, dann kannst du sie weglassen, ansonsten sind sie ne gute Übung! Ich denke, Volumina von Würfel und Quader hattet ihr schon, das dürfte also kein Problem für dich werden.
04.10.2004, 17:44	uschidt	Auf diesen Beitrag antworten »
Herzlichen Dank für die Aufgaben! Die rechne ich durch und werde dann sicher voll den Durchblick haben. Grüße Uschi

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