Konvergenzradius Potenzreihe |
12.03.2007, 21:46 | Sander | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Konvergenzradius Potenzreihe Ich soll den KR der Reihe mit a > 0 bestimmen. Ich verwende dazu das Quotientenkriterium Es gibt keinen Konvergenzradius. Warum funktioniert hier denn das Quotientenkriterium nicht? Was soll ich stattdessen nehmen. n-Wurzel: Hm, was käme denn hieraus? Also n-te Wurzel aus n! war doch Unendlich, Also müsste bei der aufgabe tatsächlich Unendlich herauskommen. Gebt mir die Nachhilfe, die ich brauche! |
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12.03.2007, 22:14 | Popeye | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Konvergenzradius Potenzreihe
Unsinn! Es gilt: |
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12.03.2007, 23:28 | Sander | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo. Danke für den Hinweis. Der limes ist nun allerdings immer noch unendlich für n gegen unendlich. Der Konvergenzradius existiert bei dieser Aufgabe also nicht?Obwohl, doch, für x=0 trivialerweise. also R = 0. Ja? |
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12.03.2007, 23:36 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mein Vorschlag wäre, dass du die Fälle a>1, a=1, a<1 einmal separat betrachtest. Desweiteren empfehle ich einen Blick auf die Formel von Cauchy-Hadamard für den Konvergenzradius (zB Wiki). Grüße Abakus |
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13.03.2007, 09:37 | Sander | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bei Wikipedia steht dazu, und die Formel kenne ich Für kann ich doch jetzt einfach nehmen Hm, Müll, das ist ja eins. Da muss ich noch einmal etwas zu nachlesen, warum das so ist. Also ist der Konvergenzradius schon einmal Wie mache ich denn Fall für x=1? Dann muss ich ja untersuchen bzw. Normalerweise würde ich sagen, das ist ein Fall für die geometrische Reihe. Aber ist es ja hier nicht. Für a>= 1 divergiert das Ganze, da gibts keinen Zweifel. Aber wie prüfe ich das nach für a<1? Danke auch für den Hinweis mit dem Hadamard |
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13.03.2007, 09:42 | n! | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Idee mit der geometrischen Reihe ist nicht schlecht. Zu untersuchen ist der Fall a<1. Denke z.B. mal an ein Vergleichskriterium und bringe die geometrische Reihe dabei ins Spiel. |
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13.03.2007, 09:45 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das stimmt nur für a=1, für alle anderen a nicht. Siehe Beitrag von abakus, dem ich voll zustimme. |
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13.03.2007, 12:38 | Sander | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was genau meint abakus denn? Dass ich diese Unterscheidung drei Mal durchführe, also so a=1: a>1 Für a=1 gilt Für a >1 gilt Für a >1 gilt |
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13.03.2007, 18:03 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du siehst nun, dass du abhängig von a zu 3 verschiedenen Konvergenzradien kommst. Das musst du nun in deiner Lösung noch vernünftig aufschreiben und du bist fertig. Grüße Abakus |
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13.03.2007, 20:56 | Sander | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie vernünftig aufschreiben? a=1: => a>1 => Für a >1 gilt Für a<1 => Oder was genau meinst du? |
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13.03.2007, 21:03 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na z.B. das offene Intervall ist keine besonders vernünftige Schreibweise... Welche Zahlen enthält dieses Intervall? |
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13.03.2007, 22:33 | Sander | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Keine? Nur die Null? |
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14.03.2007, 12:04 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ZB das hier. Es soll folgen . Na gut, aber was ist denn die Aussage hier ? x kommt doch in der Prämisse deiner Implikation gar nicht vor, weswegen sich das ziemlich merkwürdig liest (was passiert übrigens an den Intervallrändern ?). Solange du nur den Konvergenzradius bestimmen sollst, reicht es, wenn du diesen schlüssig berechnest und angibst. Grüße Abakus |
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14.03.2007, 12:14 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So ist es. Man sollte also die Aufgabenstellung genau lesen: Ist nur nach dem Konvergenzradius gefragt, dann genügt es auch, diesen zu berechnen und anzugeben. Soll dagegen der gesamte Konvergenzbereich angegeben werden, dann weiß man aus der Kenntnis des Konvergenzradius zunächst nur, dass die Potenzreihe für (absolut) konvergiert und für divergiert. Es bleibt somit noch die (absolute) Konvergenz für sowie zu klären. In der vorliegenden Aufgabe ist das aber nicht gefordert. |
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