Fragen zu [Workshop]-[Integralrechnung] - Seite 2

Original von sommer87
Hi,

das hier ist nur der Fragen-Thread.

Den Workshop findest du hier: klick

\\EDIT: Oh, denke mal du meinst eher den "Rest" nach 1.4 Augenzwinkern

Da weiß ich nicht, wo er ist :P

mal fragen...

Nja... ich mein weil der erste Teil ja schon uralt ist...

Und gerade zu den Unbestimmten Integralen, Trigometrie, e .... Die brauche ich jetzt traurig

05.02.2005, 14:34

babelfish

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Zitat:

Original von Leopold
Das ist doch primitiv.

Die Summanden der ersten Summe für i=1,2,...,n-1 stimmen mit den Summanden der zweiten Summe für i=2,3,...,n überein und heben sich daher gegenseitig weg. Es verbleibt der Summand der ersten Summe für i=n (mit +) und der Summand der zweiten Summe für i=1 (mit -).

versuche auch gerade ein bisschen was von der integralrechnung hier zu verstehen und hab auch ein paar probleme mit dem summenzeichen... hör das hier schließlich zum ersten mal! geschockt

dass für die erste summe der summand i=n übrig bleibt, und für die zweite summe der summand i=1 versteh ich ja noch... aber wenn die beiden summen subtrahiert werden, warum steht dann da (1+n)^3-1 und nicht einfach bloß n-1??? verwirrt

/edit: hat sich mit einem schritt neben den schlauch erledigt...

11.04.2005, 17:44

DesertFox

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} O_n = \frac{2}{n} \cdot \left[ \left( \frac{2}{n} \right)^2 + \left( 2 \cdot \frac{2}{n} \right)^2 + ... + \left( n \cdot \frac{2}{n} \right)^2 \right] = \frac{2^3}{n^3} \cdot [ 1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 ] \end{eqnarray*}$

Durch $\begin{eqnarray*} 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n}{6} \cdot (n + 1) (2n+ 1) \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} O_n = \frac{8}{n^3} \cdot \frac{1}{6} \cdot n (n+1)(2n+1) = \frac{4}{3} \cdot \frac{n+1}{n} \cdot \frac{2n+1}{n} = \frac{4}{3} \cdot \left(1+\frac{1}{n} \right) \cdot \left( 2 + \frac{1}{n} \right) \end{eqnarray*}$

Eine Frage: Was soll On hier sein?

11.04.2005, 17:51

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Das soll für die Obersumme stehen.Ebenso hätte man auch U für die Untersumme genommen.Da f stetig ist,ist es egal von wo man approximiert

11.04.2005, 17:58

DesertFox

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Vielen dank schonmal. Doch von was ist On die Obersumme? Von der Anzahl der benötigten Intervalle? Und wenn ja, wie kommt man von dort auf den Flächeninhalt?

11.04.2005, 18:03

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Du näherst eine Fläche unter einem Graphen von oben an.Und zwar im gesuchten Intervall.

Wenn du per Obersumme die Fläche annähern willst,dann bildest du einzelne Rechtecke,die allerdings zu viel Fläche bedecken,als die gesuchte Fläche.Wenn du die Untersumme nimmst,dann legst du die Rechtecke unter den Graphen,allerdings bedeckst du dann zu wenig Fläche.

Daher gilt: Untersumme<gesuchte Fläche<Obersumme

Zeige mal die genauen Stellen,wo du etwas nicht verstehst

11.04.2005, 18:23

DesertFox

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Also
1. Wie kommt man auf den ersten Teil der Formel?

2.

Zitat:

Somit ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} O_n = \frac{4}{3} \cdot 2 = \frac{8}{3} \end{eqnarray*}$ und der gesuchte Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} A = \frac{8}{3} \end{eqnarray*}$ .

Von was der Flächeninhalt? Von der Differenz der Obersumme zum echten Flächeninhalt des Parabelabschnitts oder von was? Und warum eigentlich?

3. Was ist die Zerlegungssumme?

Sry aber all das wird im Workshop leider nicht erklärt...

11.04.2005, 18:52

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also wir haben die Funktion f(x)=x²

wir wollen die Fläche unter dem Graphen im Intervall [0;2] berechnen.

Das geht nun mal so,indem man das Intervall in gleich lange teile zerlegt.Und das geht so: b-a/n

a ist die linke Grenze 0 und b ist die rechte,also 2. Eingesetzt ergibt die 2-0/n = 2/n

So und jetzt: Da du die Fläche exakt berechnen willst,musst die unendlich viele kleine Rechtecke unter den Graphen einlegen.Denn je mehr Rechtecke darin liegen,desto weniger Fläche bleibt übrig und wir nähern uns der exakten Fläche.

Das was in der Klammer steht sind einfach die Funktionswerte von 2/n

Das erste Rechteck ist 2/n, das zweite 2*2/n usw usw bis n*2/n

Dieser Wert 8/3 ergibt den Flächeninhalt unter der Kurve im Intervall [0;2]

Ich empfehle dir ein gutes Buch.

12.04.2005, 12:27

DesertFox

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sry ich hatte richtig richtig große Tomaten auf den Augen. Ich habe nun alles kapiert, aber wie kommt man von

4/3 ( 1 + 1/n )(2 + 1/n)

auf

4/3 * 2?

12.04.2005, 12:47

JochenX

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ich vermute mal stark, indem man n gegen unendlich laufen lässt, dann läuft (1+1/n) z.b. gegen 1+0=1

12.04.2005, 15:02

DesertFox

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jop, das müsstes sein, muchas gracias an alle!

19.04.2005, 15:53

Integrallernender

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wie wäre es, wenn an dem Workshop weitergearbeitetr wird? Finde den bis jetzt wirklich gut und hat mir den Anfang der Integralrechnung verständlich nahegebracht

22.07.2006, 22:28

system-agent

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hab mal ein bischen weitergeschrieben, auch soweit keine fehler entdeckt, aber wie immer: der teufel steckt im detail...also falls jemand halt was findet, ändern oder mir sagen smile

24.07.2006, 21:05

Abendschüler

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Hi!

Ich finde den Workshop echt Klasse. Wir sind in der Schule auch gerade fleißig am integrieren.(Oder waren bisher; haben gerade Sommerferien Tanzen

)
Ich habe eine Frage zu den Integralregeln. Dort steht:

2.
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~f(x)~dx=\int_{b}^{c}~f(x)~dx +\int_{c}^{a}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$
Dazu ist zu sagen, dass nicht unbedingt gelten $\begin{eqnarray*} c\in[b,a] \end{eqnarray*}$ muss!

Ich habe mir das bis jetzt immer mit der Dreiecksungleichung erklärt also in diesem Fall:
Die Summe der Strecken AC und CB ist gleich der Strecke AB wenn C Element der Strecke AB ist.

Jetzt Frage ich mich natürlich wann das nicht unbedingt gilt.

MfG

euer Abendschüler

24.07.2006, 21:13

JochenX

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Zitat:

Ich habe mir das bis jetzt immer mit der Dreiecksungleichung

Dreiecksungleichung hat damit aber nix zu tun.

Zitat:

Jetzt Frage ich mich natürlich wann das nicht unbedingt gilt.

im reellen eindimsnionalen immer, wenn man auch negative Strecken bedenkt, falls dein C mal nicht zwischen A und B liegt.

Da diese Integralsgleichung immer erfüllt ist, frage ich mich, wie du darauf kommst, dass diese Streckenbeziehung nicht immer gelten sollte. Augenzwinkern

24.07.2006, 21:19

Abendschüler

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Weil das unter 4.Integralregeln so im Workshop steht.

24.07.2006, 21:24

Abendschüler

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Weil das unter 4.Integralregeln so im Workshop steht.
Also das c nicht Element von [b;a] sein muss.

24.07.2006, 21:27

JochenX

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Zitat:

Original von Abendschüler
Weil das unter 4.Integralregeln so im Workshop steht.
Also das c nicht Element von [b;a] sein muss.

und? das bedeutet, dass c nicht zwischen b und a liegen muss.

Liegt c zwischen b und a, dann sollte die Aussage anschaulich sehr klar sein.
Aber auch für andere c gilt die Gleichung.

z.B. ist $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{5}~f(x)~dx=\int_{0}^{3}~f(x)~dx+\int_{3}^{5}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ anschaulich einfach nur eine Zerlegung der Kurvenfläche von 0 bis 5 in 2 Teilflächen.

Aber es gilt z.B. auch $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{5}~f(x)~dx=\int_{0}^{1000}~f(x)~dx+\int_{1000}^{5}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ und da wirds schon weniger anschaulich.

Wenn das nicht hilft, verstehe ich deine Frage nicht, formuliere sie dann genauer.

24.07.2006, 21:34

Abendschüler

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Alles klar, Du hast meine Frage schon richtig verstanden.
Ich habs mir gerade auch mal auf einem Zahlenstrahl verdeutlicht.
Da tut sich nichts an der Differenz der Intervalle bzw. Integrale, egal wo c liegt.
Vielen Dank. Freude

24.07.2006, 21:54

system-agent

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denke auch daran, was ich glaube ich als die erste regel hingeschrieben habe:
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{a}^{b}~f(x)~dx=-\int\limits_{b}^{a}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

damit wäre:
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{1000}~f(x)~dx-\int\limits_{5}^{1000}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$
also anschaulich gesprochen erst von 0 bis 1000 integrieren und dann das ganze zeugs von 5 bis 1000 als "überflüssig" grade wieder abziehen.

Edit:
grenzen korrigiert

24.07.2006, 22:16

Abendschüler

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Du meinst sicher:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1000} -\int_{5}^{1000}=\int_{0}^{1000}+\int_{1000}^{5}= \int_{0}^{5} \end{eqnarray*}$

Oder lieg ich wieder Falsch?

24.07.2006, 23:59

Ben Sisko

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Genauer:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{5}~f(x)~dx = \int_{0}^{1000}~f(x)~dx+\int_{1000}^{5}~f(x)~dx\\ =\int_{0}^{1000}~f(x)~dx+\left(\int_{1000}^{0}~f(x)~dx+\int_{0}^5~f(x)~dx\right) \\=\int_{0}^{1000}~f(x)~dx-\int_{0}^{1000}~f(x)~dx+\int_{0}^5~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

25.07.2006, 02:52

gast123

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Hi,

würde mich noch sehr freuen, wenn der workshop noch mit der substitutionsregel erweitert werden würde, da ich diese ums verrecken nicht verstehe Hammer

25.07.2006, 08:09

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wird in den nächsten Tagen auf jeden Fall geschehen. Alles was mit Substitution und Partielle Integration zu tun hat, kommt in Kapitel 9. Davor gibt es noch zwei etwas kürzere Kapitel, die system-agent posten wird.

25.07.2006, 09:05

system-agent

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ja, danke abendschüler, da hab ich doch glatt vergessen die integrationsgrenzen zu vertauschen unglücklich

also bei für kapitel 7 müsste ich erst mal die beispiele von jama haben oder jemanden, der mir sagt was mit den "zusammengesetzten logarithmusfunktionen" so besonderes gemeint ist, deshalb bleibts vorerst ein blankokapitel.

kapitel 8 habe ich reingestellt und es ist doch etwas länger geworden ...

25.07.2006, 09:44

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das heißt, dass ich mit Kapitel 9 heute schon beginnen kann.

was das mit den zusammengesetzten Logarithmusfunktionen auf sich hat, frage ich mich auch. Ich habe den Verdacht, dass man für dieses Kapitel die Substitutionsregel und die Partielle Integraiton benötigt, die ja erst noch kommen

@system-agent

Das letzte Integral in Kapitel 8 ist falsch. Da muss es 1/(1+x²) heißen

25.07.2006, 19:50

system-agent

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danke, habs verbessert !

10.08.2006, 21:38

system-agent

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@ n!:
du hast da ein fehlerchen im beitrag:
erstes beispiel der substitution, da passt du die grenzen etwas falsch an.
es ist $\begin{eqnarray*} g(2)=2^2+1=5 \end{eqnarray*}$ und nicht b=2

Augenzwinkern

10.08.2006, 22:02

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zu berechnen ist aber g(1). Augenzwinkern

11.08.2006, 15:59

system-agent

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stimmt, bin ich selber reingefallen....das ist genau der grund wieso ich immer erst unbestimmt integriere und mich erst ganz am schluss, nach allen resubstitutionen um die grenzen kümmere... Big Laugh

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