Differentialgleichungen/Anfangswertprobleme

02.10.2004, 17:53

DJohnny79

Differentialgleichungen/Anfangswertprobleme

Gegeben sei ein AWP der form

s"(t)=-0.5 s´(t) -5*s(t)+2*cos(PI*t) )
Transformieren Sie auf ein ein System erster Ordnung;

Also das transformieren des SYSTEMS ist nicht das Problem, aber wie transformiere ich die Anfangswerte??

Mal mein "Denkweg":
Substituiere s und s´ zu z1 bzw z2 somit $\begin{eqnarray*} \vec{z} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Differenziere den Vektor z und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \vec{z} \end{eqnarray*}$ ´= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} z_2 \\ -0.5*z_2 - 5*z_1 +2*cos(PI *t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Führe dann ein geeignetes Ein oder Mehrschritt verfahren aus;
ALSO: Wie zum Teufel transformiere ich die Anfangswerte:

gegeben:
s(0.5)=0.5
s´(0.5)=-1 ???

Hat da jemand ne gute Idee??

Gruß

DJ

02.10.2004, 18:07

navajo

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RE: Differentialgleichungen/Anfangswertprobleme

Zitat:

Original von DJohnny79
Substituiere s und s´ zu z1 bzw z2 somit $\begin{eqnarray*} \vec{z} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

ALSO: Wie zum Teufel transformiere ich die Anfangswerte:

gegeben:
s(0.5)=0.5
s´(0.5)=-1 ???

Wenn du s mit z1 und s' mit z2 substituiert hast, dann müsste der Anfangswert ja so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \vec{z}(0,5)=\begin{pmatrix} z_1(0,5) \\ z_2(0,5) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,5 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

02.10.2004, 19:58

DJohnny79

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Hmmm...
okay... aalso da drauf kommt die Musterlösung auch, und ich jetzt auch... irgendwie; d.h. um die Anfangswerte zu transformieren setze ich dann den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{z} \end{eqnarray*}$ an und nicht $\begin{eqnarray*} \vec{z} \end{eqnarray*}$ ´an???

Aber wofür brauche ich eigentlich $\begin{eqnarray*} \vec{z} \end{eqnarray*}$ ´?? *confused*

Oder ist $\begin{eqnarray*} \vec{z} \end{eqnarray*}$ ´ dann die Funktion die ich für die einzelnen Verfahren(expl. Euler/impl.Euler/verbesserter Euler/ etc...) brauche?

03.10.2004, 22:33

navajo

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RE: Differentialgleichungen/Anfangswertprobleme

Zitat:

Original von DJohnny79
Aber wofür brauche ich eigentlich $\begin{eqnarray*} \vec{z'} \end{eqnarray*}$ ?? *confused*

Ich weiss nicht genau, wie du das meinst. Du hast jetzt ne Gleichung mit $\begin{eqnarray*} \vec{z} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{z'} \end{eqnarray*}$ , also ein Dgl-System 1ter Ordnung. Vorher hattest du eine Dgl 2ter Ordnung. Hmm vll wirds klarer, wenn ichs die Dgl so hinschreibe:

$\begin{eqnarray*} \vec{z'}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -5 & -0,5 \end{pmatrix}\vec{z}+\begin{pmatrix} 0 \\ 2\cos{\pi t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Naja, vll hats geholfen, zur Not frag nochmal nach. Augenzwinkern

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