Differenzialrechnung

12.03.2007, 22:59

Die Maschine

Differenzialrechnung

Hab da ein Problem aus der Differenzialrechnung:

und zwar soll Gleichung 1 nach Gleichung 2 umgeformt werden:

Gleichung 1:
$\begin{eqnarray*} \frac{-dc}{dt} = k * c \end{eqnarray*}$

mit k als Konstante, c als Konzentration und t als Zeit

Gleichung 2:

$\begin{eqnarray*} ln (\frac{c}{c0}) = -k * t \end{eqnarray*}$

mit c als Konzentration, t als zeit, k als Konstante und c0 als Anfangskonzentration.....

zugegeben, die Aufgabe ist aus der Chemie... aber sie muss doch irgendwie zu lösen sein.....

12.03.2007, 23:07

Die Maschine

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Folgendes hab ich mir schon überlegt:

$\begin{eqnarray*} -dc = k * c * dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dc}{c} = -k * dt (Ann.: c>0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~1/c~dc = \int_{b}^{a}~-k~dt \end{eqnarray*}$

und integriert ergibt sich dadurch auf der RECHTEN Seite:

... = -k * t

aber da hab ich glaub ich einen Fehler, da ich die Konstante beim Integrieren vergessen haben könnte.....

12.03.2007, 23:17

derkoch

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$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{dc}{c}~= \int_{}^{}~-k dt~ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(c) = -kt+ln(c_o) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(c)-ln(c_o) = -kt \end{eqnarray*}$

Dann Logarithmusgesetz nutzen!

12.03.2007, 23:24

Die Maschine

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Danke... kannst du mir auch erklären warum

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~-k~dt = -kt + ln (c0) \end{eqnarray*}$

wie kommt das c0 da hin.... und vor allem der ln??

12.03.2007, 23:27

pseudo-nym

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Zitat:

Original von Die Maschine
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~-k~dt = -kt + ln (c0) \end{eqnarray*}$

Wer bestimmte integrale benutzt, mordet Integrationskonstanten Augenzwinkern

12.03.2007, 23:31

derkoch

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C ist doch einfach nur eine Integrationskonstante! Du kannst ja genau so gut auch $\begin{eqnarray*} ln(c_o) \end{eqnarray*}$ bezeichnen! Ist alles Jacke wie Hose!

Wenn es dir besser gefällt:

$\begin{eqnarray*} ln(c_o) = C_1 \end{eqnarray*}$

Dann hast du deine Integrationskonstante wieder! Augenzwinkern

Es ist ein "kleiner Trick" oder besser gesagt, ist besser die Integrationskonstante hier als ln zu wählen, da bei einigen Integral auf der linken Seite zB. ln(y) raus kommt und man möchte y haben also "exponiert" man danach und da ist es günstiger wenn auf beiden Seiten der Gleichung dann das ln wegfällt.

12.03.2007, 23:36

Die Maschine

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Ahh... das heißt also, ich wähle die Konstante beliebig....

wie z.B.

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~2x~dx+c \end{eqnarray*}$

Also wähle ich als Integrationskonstante dann ln c0

12.03.2007, 23:46

derkoch

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$\begin{eqnarray*} ln(c_o) \end{eqnarray*}$ ist eine beliebige Konstante wie $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ oder wie auch immer! Du kannst sie auch Baum Apfel oder sonst was nennen!

wenn du zB. :
$\begin{eqnarray*} ln(y)= a+C_1 \end{eqnarray*}$

hast und willst es nach y auflösen! Dann mußt du ja beide Seiten "exponieren", damit der ln verschwindet! Dann hast du da stehen:

$\begin{eqnarray*} y= e^{a+C_1}= e^a\cdot e^{C_1} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} e^{C_1}= Konstante= C \end{eqnarray*}$

----> $\begin{eqnarray*} y= e^a\cdot C \end{eqnarray*}$

wenn du aber von vorne die Konstante mit ln bezeichnet bekommst du sofort:

$\begin{eqnarray*} ln(y) = a+ln(C)\qquad \mid -ln(c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(y) -ln(C) = a\qquad \mid Logarithmusgesetz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{y}{C})=a\qquad \mid "exponieren" \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{y}{C}= e^a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y= Ce^a \end{eqnarray*}$

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