quadratische Gleichung lösen, komplex

13.03.2007, 10:25

Wehm

quadratische Gleichung lösen, komplex

Moin Moin.

Ich verstehe die Lösung zu folgender Aufgabe leider nicht, vielleicht könntet ihr mir da ja helfen.

Berechne sämltliche komplexe Lösungen der (quadratischen) Gleichung $\begin{eqnarray*} z^2+az+b=0 \end{eqnarray*}$ (a,b aus C)

Quadratische Ergänzung $\begin{eqnarray*} (z+0.5a)^2+b-0.25a^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -c:=+b-0.25a^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z':=z+0.5a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow(z')^2=c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z' := x+iy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c := \alpha + i \beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x,y,\alpha,\beta \end{eqnarray*}$ aus R

Damit ergeben sich die Gleichungen

$\begin{eqnarray*} 1) \alpha = x^2-y^2 ? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2) \beta = 2xy ? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3) (z')^2=|c|=x^2+y^2 ? \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht, wie man auf die drei Gleichungen kommt.

1)+3)
$\begin{eqnarray*} 2x^2=|c|+\alpha \end{eqnarray*}$

1)-3)

$\begin{eqnarray*} 2y^2 = |c|-\alpha \end{eqnarray*}$

Daraus ergeben sich die Lösungen

$\begin{eqnarray*} x= \pm \sqrt{0.5 (|c|+\alpha)} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} y= \pm \sqrt{0.5 (|c|-\alpha)} \end{eqnarray*}$

Im fall $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ gleich Null gilt

$\begin{eqnarray*} (z')^2=c=\alpha ? \end{eqnarray*}$ Warum ist c plötzlich gleich Alpha?

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow z' = \pm \sqrt{\alpha} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \alpha>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow z' \pm \sqrt{|\alpha|}*i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \alpha < 0 \end{eqnarray*}$

Falls $\begin{eqnarray*} \beta \not=0: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1,2} = -\frac{a}{2}\pm\sqrt{0.25a^2-b} = -0.5a\pm0.5\sqrt{a^2-4b} \end{eqnarray*}$

Muss das hier nicht beta gleich Null sein und der andere Fall beta ungleich Null? Das ist hier ja einfach nur die PQ-Formel und hat mit dem Imaginärteil absolut nichts zu tun.

Ich danke euch schon jetzt für eure Mühe.

Gruß, Wehm

13.03.2007, 13:10

piloan

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RE: quadratische Gleichung lösen, komplex

Zitat:

Original von Wehm

$\begin{eqnarray*} z' := x+iy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c := \alpha + i \beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x,y,\alpha,\beta \end{eqnarray*}$ aus R

Damit ergeben sich die Gleichungen

$\begin{eqnarray*} 1) \alpha = x^2-y^2 ? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2) \beta = 2xy ? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3) (z')^2=|c|=x^2+y^2 ? \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht, wie man auf die drei Gleichungen kommt.

hi
aus $\begin{eqnarray*} (z')^2=c \end{eqnarray*}$ folgt nach den oben stehenden definitionen

$\begin{eqnarray*} (x+iy)^2= \alpha + i \beta \\x^2-y^2+2iyx=\alpha + i \beta \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} \alpha , \beta \end{eqnarray*}$ aus R sind kannst du $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ den Realteil zuordnen und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ den Imaginaerteil

es folgt $\begin{eqnarray*} \alpha=x^2-y^2 \end{eqnarray*}$ und fuer $\begin{eqnarray*} \beta =2xy \end{eqnarray*}$

und der Betrag von c ist natuerlich $\begin{eqnarray*} (x+iy)(x-iy) \end{eqnarray*}$

13.03.2007, 13:21

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Im Prinzip geht es um das Ermitteln der Quadratwurzel einer komplexen Zahl. Das kann über die Polarform geschehen - wie meist in der Schule gelehrt - oder aber auch auf rein algebraischen Weg - das wurde in dem Beitrag schon mal zusammengefasst:

algebraische Darstellung der komplexen Quadratwurzel

15.03.2007, 11:06

Wehm

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Ah, vielen Dank, jetzt habe ich es, nur noch eine Frage

Zitat:

Falls $\begin{eqnarray*} \beta \not=0: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1,2} = -\frac{a}{2}\pm\sqrt{0.25a^2-b} = -0.5a\pm0.5\sqrt{a^2-4b} \end{eqnarray*}$

Ist das hier tatsächlich die Lösung für Beta ungleich Null? Oder ist es doch Beta gleich Null?

15.03.2007, 11:17

areus

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beta gleich null !

15.03.2007, 13:03

Monstar

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hm geht das nicht auch einfacher in dem man für z = x+iy und das ganze einfach löst?

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quadratische Gleichung lösen, komplex

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