Die Funktion x -> e^x

04.10.2004, 17:24

Soulmate

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Die Funktion x -> e^x

Hallo!
Komme mit meiner Hausaufgabe absolut nicht zurecht!

Gegeben ist die Kurve K:y=e^x

a)Ermittle die Gleichung der Tangente im Punkt P(2/?) Q(-1/?) ; R(-2/?)

b) Wo berührt die Parallele zu der Geraden mit der Gleichung
y= ex + 2 (y=1/e x - 5 ; y=wurzel ex +1 ; y=1/ e^2 x - 2) die Kurve K?

c)Vom Ursprung aus soll die Tangente an K gelegt werden. Gib die Gleichung der Tangente und ihren Berührpunkt an.

Hilfe

Hilfe

04.10.2004, 17:30

Mathespezialschüler

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RE: Die Funktion x -> e^x
Hast du schon ne Idee?
Kennst du die allgemeine Tangentengleichug? Wie groß ist denn die Steigung in dem jeweiligen Punkt? Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.10.2004, 17:45

Tobias

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Wie immer gibt es doch kaum was besseres, als ein Bildchen zu den Aufgabenteilen (b) und (c):

04.10.2004, 19:38

Soulmate

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@Tobias

warum hast du denn in diesem schaubild die funktionen zu exp(x) ,
exp(1)*x und exp(1)*x+2 eingetragen?
ist mir nämlich unklar, auch inwieweit es mir helfen soll

@Mathespezialschüler

Also die allgmeine Tangentengleichung lautet:

y=mx+n

dann muss ich natürlich in die Tangentengleichung einsetzen, allerdings ist doch nur x gegeben...also brauche ich noch m und n... und wie kriege ich m und n?

ich kann nämlich nur eine tangentengleichung aufstellen wenn ich zwei zahlen für P hab wie z.B. bei P (2/4)

sind das eigentlich 3 tangentengleichungen (also eine für P,Q und R) oder gibts nur eine?

04.10.2004, 19:50

Mathespezialschüler

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Ok, also
exp(x) ist ja die Funktion.
exp(1)*x=ex ist eine der gegebenen Geraden bei Aufgabe b)
exp(1)*x+2=ex+2 ist die dazu parallele gesuchte Gerade (Tangente)

Zum anderen: Du hast doch den x-Wert, hier 2, dann ist der y-Wert doch e²!!! Also hast du den Punkt P(2,e²). Weißt du, wie die Ableitung deiner Funktion ist?

Das meinte ich nicht mit allgemeiner Tangentengleichung, das war ein bißchen zu allgemein Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber is egal, wenn ihr das noch nicht hattet, dann machen wir das.
Also: Berechne erstmal die Ableitung und die Steigung der Tangente im Punkt 2!!

05.10.2004, 17:41

Soulmate

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wozu brauch ich die ableitung meiner funktion und wie lautet denn meine funktion?
soll ich die tangentengleichung y=mx+n nun vergessen?
wie berechne ich denn nun die ableitung meiner tangente?
-ich hab doch noch nichtmal die gesuchte Tangentengleichung raus...

irgendwie bin ich jetzt etwas leicht verwirrt

verwirrt

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05.10.2004, 18:24

Tobias

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Da du offensichtlich doch tiefergehende Schwierigkeiten hast geh ich mal ins Detail:

Deine Funktion lautet $\begin{eqnarray*} K(x) = e^x \end{eqnarray*}$ .
Ein Punkt ist definiert als Tupel (x, K(x)). Für P gilt dann:
$\begin{eqnarray*} P = (2, K(2)) = (2, e^2) \end{eqnarray*}$

Die Ableitung $\begin{eqnarray*} K'(x) = e^x \end{eqnarray*}$ deiner Funktion gibt an der Stelle x die Steigung der Tangente an der Stelle x an.

Die Tangente am Punkt P hätte demnach eine Steigung von $\begin{eqnarray*} K'(2) = e^2 \end{eqnarray*}$ .

In der Geradengleichung y = mx + n (das ist eine allgemeine Geradengleichung, keine allgemeine Tangentengleichung) kennst du nun das m (die Steigung). Du benötigst noch das n (den y-Achsenabschnitt). Hierfür setzt du deine Koordinaten des Punktes ein:
$\begin{eqnarray*} e^2 = e^2 \cdot 2 + n \iff n = -e^2 \end{eqnarray*}$

Die Tangentengleichung lautet: $\begin{eqnarray*} y = e^2 \cdot x - e^2 \end{eqnarray*}$

Das sieht dann so aus:

Die anderen Punkte kannst du selber untersuchen.

05.10.2004, 19:20

Soulmate

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ich glaub da wär ich nie drauf gekommen!
sieht aber eigentlich nicht kompliziert aus...

hab aber ne frage, auch wenn sie etwas blöd ist:

e^2 = e^2 * 2 + n

wie hast du nach n aufgelöst, so dass du n = -e^2 rausbekommen hast?

und warum ist K(x) = e^x gleich K´(x)= e^x

warum nicht K´(x) = x*e^x-1

???

05.10.2004, 19:32

Soulmate

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und muss ich dann das selbe noch für Q und R machen?
dann sind bei a) also 3 tangentengleichungen gesucht?

05.10.2004, 19:48

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Soulmate
ich glaub da wär ich nie drauf gekommen!
sieht aber eigentlich nicht kompliziert aus...

hab aber ne frage, auch wenn sie etwas blöd ist:

e^2 = e^2 * 2 + n

wie hast du nach n aufgelöst, so dass du n = -e^2 rausbekommen hast?

$\begin{eqnarray*} e^2=2e^2+n\ \ \ |\ -2e^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^2-2e^2=n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -e^2=n \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Soulmate
und warum ist K(x) = e^x gleich K´(x)= e^x

warum nicht K´(x) = x*e^x-1

???

Hattet ihr noch nicht die Ableitung der Exponentialfunktion?? Das ist doch keine Potenzfunktion. Die Ableitungsregel

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^n\ \Rightarrow\ f'(x)=nx^{n-1} \end{eqnarray*}$

gilt nur für Potenzfunktionen, bei denen hast du einen konstanten Exponenten und x ist die Basis.

$\begin{eqnarray*} g(x)=e^x \end{eqnarray*}$

ist aber eine Exponentialfunktion (erinnere dich an die 10. Klasse!)!! Du hast hier eine konstante Basis und x als Exponenten!! Dafür gilt die Ableitungsregel, die für Potenzfunktionen gilt, natürlich nicht, denn es ist keine Potenzfunktion, sondern eben eine Exponentialfunktion!! Und wenn ihr die Ableitungsregel noch nicht in der Schule gehabt hättet, dann könntest du die Aufgabe auch nicht lösen, also werdet ihr die Ableitungsregel

$\begin{eqnarray*} g(x)=e^x\ \Rightarrow\ g'(x)=e^x \end{eqnarray*}$

wohl doch schon gehabt haben!!??

05.10.2004, 20:06

Soulmate

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ja, hatten wir, wusste bloß nicht warum die ableitung denn so lauten muss. aber jetzt weiß ich ja bescheid.

aber wie löse ich denn nun a) ?

a)Ermittle die Gleichung der Tangente im Punkt P(2/?) Q(-1/?) ; R(-2/?)

soll ich das selbe mit Q und R machen wie es Tobias mit P gemacht hat?

05.10.2004, 20:08

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Soulmate
soll ich das selbe mit Q und R machen wie es Tobias mit P gemacht hat?

Ja ...

Augenzwinkern

Zeig uns, was du machst!

05.10.2004, 20:39

Soulmate

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Q= (-1/e^-1)

steigung der tangente am Punkt Q: K´(-1) = e^-1

y=mx+n

e^-1 = e^-1 * (-1) + n

hab hier schwierigkeiten:

ist e^-1 * (-1) = -e^-1 oder = -e^1 ?

05.10.2004, 20:41

Soulmate

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könnt ihr mir schonmal b) erklären so lange ich R versuche?

05.10.2004, 20:48

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Soulmate
ist e^-1 * (-1) = -e^-1 oder = -e^1 ?

$\begin{eqnarray*} e^{-1} \end{eqnarray*}$

da ist -1 doch im Exponenten! Dieser hat nichts, aber auch absolut nichts mit einem Faktor zu tun und ist nicht durch ihn beeinflussbar (solange der Faktor nicht auch eine Potenz darstellt). Also:

$\begin{eqnarray*} e^{-1}\cdot (-1)=-e^{-1} \end{eqnarray*}$

Solche einfachen Sachen und auch sowas, wie das Gleichung umstellen musst du unbedingt drauf haben!! Hast du es nicht drauf, wirst du noch viele Probleme in Mathe bekommen ...

zu b) Nehmen wir die erste Gleichung

y=ex+2

Du sollst die parallele Gerade suchen, die Tangente an den Graph ist. Die Parallele hat aber die gleiche Steigung (hier e). Du musst also die Gleichung $\begin{eqnarray*} f'(x)=e \end{eqnarray*}$ lösen. Du bekommst x. und dann hast du wieder die Gleichung

$\begin{eqnarray*} y=mx+n \end{eqnarray*}$

m ist gegeben und du kennst auch wieder so wie in a) einen Punkt, wo die Gerade durchläuft. Also wie in a) n bestimmen!

05.10.2004, 21:11

Soulmate

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also nochmal zu a)

dann ist bei Q:

n=0

und die Tangentengleichung lautet dann:

y= e^-1 x + n

und bei R:

n= -e^-2

y= e^-2 x - e^-2

ist das richtig, oder hab ich irgendwo einen fehler gemacht?

ist a) somit gelöst?
denn irgendwie wirkt die aufgabe so als ob nur nach einer tangentengleichung und nicht nach drei gleichungen gefragt wird...

05.10.2004, 21:15

Soulmate

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ich versteh noch immer nicht wie ich b) bekomme. kannst du das einmal vorrechnen, damit ich ein muster zum lösen der weiteren aufgaben habe?

05.10.2004, 21:16

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Soulmate
dann ist bei Q:

n=0

und die Tangentengleichung lautet dann:

y= e^-1 x + n

und bei R:

n= -e^-2

y= e^-2 x - e^-2

Falsch, 2mal Vorzeichenfehler. Zeig mal, wie du es gerechnet hast!!

05.10.2004, 21:31

Soulmate

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also für Q: m=e^-1 ; y= e^-1

y = mx + n

e^-1 = e^-1 * (-1) + n /-e^-1

e^-1 - e^-1 = n

0 = n

y= e^-1 x + 0

und für R: m=e^-2 ; y= e^-2

y = mx + n

e^-2 = e^-2 * (-2) + n /-2e^-2

e^-2 - 2 e^-2 = n

-e^-2 = n

y = e^-2 x - e^-2

also ich seh da überhaupt keinen fehler verwirrt

verwirrt

05.10.2004, 21:39

Mathespezialschüler

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Gut dann zeig ichs dir:

$\begin{eqnarray*} e^{-1}=e^{-1}\cdot (-1)+n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-1}=-e^{-1}+n \end{eqnarray*}$

und jetzt musst du doch addieren!!! Bei dem anderen genauso!

05.10.2004, 21:45

Soulmate

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oops!
daran hab ich ja jetzt echt nicht gedacht, dabei weiß ich das doch eigentlich...

also Q:

y = e^-1 x + 2 e^-1

und R:

y = e^-2 x + 3e^-2

ist das nun so richtig?
und sind bei a) tatsächlich 3 tangentengleichungen gefordert?
und wie geht b)?

und übrigens: ja, ich weiß, dass ich nervig bin :P

05.10.2004, 21:48

Mathespezialschüler

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Die drei Tangentengleichungen bei a) hast du doch jetzt! (Es ist für jeden Punkt eine gefordert).

Zu b): Das machen wir jetzt mal in Babyschritten Augenzwinkern

Augenzwinkern

:P

Wir haben die Gerade

$\begin{eqnarray*} y=ex+2 \end{eqnarray*}$

Wir suchen eine Gerade, die parallel zu der Geraden ist und Tangente an den Graphen.
Welche Steigung hat die Tangente also?

05.10.2004, 21:54

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

m=e ?

ich habe keine ahnung!
woher soll ich das denn wissen?

vll 1?

05.10.2004, 22:02

Mathespezialschüler

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e ist doch völlig richtig!! Das weißt du daher, dass die Tangente ja parallel zu der angegebenen Geraden sein soll. Parallele Tangenten haben aber immer gleiche Steigungen!
So und jetzt musst du das x bestimmen, wo die Tangente die Steigung e hat!! Das machst du natürlich über die Ableitung. Klar? Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.10.2004, 22:08

Soulmate

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mit folgender ableitung?

K´(x) = e^x

??? ich weiß es doch nicht unglücklich

unglücklich

05.10.2004, 22:14

Mathespezialschüler

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Ja, mit dieser Ableitung. Hab mal mehr Selbstvertrauen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du musst jetzt also ein x finden, sodass

$\begin{eqnarray*} K'(x)=e^x=e \end{eqnarray*}$

ist. Das findest du schnell, nich wahr?

05.10.2004, 22:15

Soulmate

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1?

05.10.2004, 22:26

Mathespezialschüler

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Warum fragst du? Du müsstest schreiben "1!" Big Laugh

Big Laugh

Also wie gesagt, hab mehr Selbstvertrauen in deine mathematischen Fähigkeiten!

So, jetzt haben wir die Steigung und den Punkt.

$\begin{eqnarray*} y=ex+n \end{eqnarray*}$

Der Punkt (1/K(1)) gehört dazu. Damit bestimmst du jetzt (analog zum Vorgehen in a)) n!! Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.10.2004, 22:31

Soulmate

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y = mx + n

e^1 = e * 1 + n /-1e

0 = n

05.10.2004, 22:32

Mathespezialschüler

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Diesmal stimmts! :]

Jetzt noch mit den anderen Geraden! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und natürlich posten posten posten ...

05.10.2004, 22:39

Soulmate

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y = 1/e x - 5

m= 1/e

und was ist x?

ist das in dem fall so (?) :

K´(x) = e^x = 1/e

mir fällt nicht ein was ich da für x einsetzen muss.

05.10.2004, 22:47

Mathespezialschüler

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Kennst du noch Logarithmus?

05.10.2004, 22:49

Soulmate

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ja:

y = a^x
lg y = x * lg a

und wozu brauch ich den hier?

05.10.2004, 22:56

Mathespezialschüler

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Du hast hier y=1/e, a=e. Also mit Logarithmus lösen!

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e}=e^x \end{eqnarray*}$

05.10.2004, 23:01

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

1/e = e^x

lg 1/e = x*lg e

und wozu hab ich das gemacht?

05.10.2004, 23:03

Mathespezialschüler

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Du hast es doch selber hingeschrieben! :

Zitat:

Original von Soulmate
K´(x) = e^x = 1/e

Also:

$\begin{eqnarray*} e^x=\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\lg(e)=\lg(\frac{1}{e}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{\lg(e)}{\lg(\frac{1}{e})} \end{eqnarray*}$

so bekommst du x!! Gib das in den Taschenrechner ein. Ergebnis muss x=-1 sein!

05.10.2004, 23:13

Soulmate

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also:

P (-1/e^-1)

wozu muss ich eigentlich n ausrechnen? das wird doch in der aufgabenstellung gar nicht gefragt.

05.10.2004, 23:15

fuzi

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du meinst wohl x=-1, denn
lg(e) = 1
lg(1/e) = -1

aber zur Gleichung e^x = 1/e ist mir zuerst das hier eingefallen:

a^b = 1/(a^-b)

also ist x = -1

05.10.2004, 23:16

Tobias

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Ich komme allerdings auf x = -1. Du hast im letzten Bruch Zähler und Nenner vertauscht.

$\begin{eqnarray*} \qquad e^x = \frac{1}{e} \quad | \cdot e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \iff e^{x+1} = 1 \quad | \log \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \iff x+1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \iff x = -1 \end{eqnarray*}$

oder auch:

$\begin{eqnarray*} \log\Big(\frac{1}{e}\Big) = \log(1) - \log(e) = -1 \end{eqnarray*}$

05.10.2004, 23:16

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das n musst du nicht berechnen. Sorry, aber is ja nich so schlimm. Is ne gute Übung Augenzwinkern

Augenzwinkern

Übrigens hast du nicht in den Taschenrechner eingegeben und mein Ergebnis verbessert, denn es muss x=-1 rauskommen! Ich hatte mich verschrieben. Dann ist der Punkt $\begin{eqnarray*} (-1|e^{-1}) \end{eqnarray*}$
Und jetzt die nächste Gerade! Augenzwinkern

Augenzwinkern

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