polynomfaktorisierung in Z7

13.03.2007, 15:29	wesesa	Auf diesen Beitrag antworten »
polynomfaktorisierung in Z7 Hallo! Wer kann mir Algorythmus zeigen, wie man hier Linearfaktoren findet ( da Aufgabe ist Nullstellen zu finden): 6x^5+3x^4+5x^3+6x^2+3x+5 ist Element von Z7[X] 0 bis 6 Ausprobieren ist vielleicht sehr aufwendig, ohne Tashenrechner vielleicht unmöglich...?
13.03.2007, 15:46	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, in $\begin{eqnarray} \mathbb Z / 7\mathbb Z \end{eqnarray}$ hat die Zahl $\begin{eqnarray} 5 \end{eqnarray}$ die Teiler $\begin{eqnarray} 1,2,3,4,5,6 \end{eqnarray}$ . Das sind also die Kandidaten für die ganzzahligen Nullstellen. Tatsächlich ist z.B. 1 eine Nullstelle, d.h. man kann eine Polynomdivision durchführen, usw. Gruß, therisen
13.03.2007, 17:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da es nur auf die Reste modulo 7 ankommt, würde ich das Polynom zunächst einmal anders schreiben: $\begin{eqnarray} p(x) = -x^5 + 3x^4 - 2x^3 - x^2 + 3x - 2 \end{eqnarray}$ Durch Nachrechnen findet man sofort: $\begin{eqnarray} p(1) = 0 , \, p(-1) = 0 , \, p(2) = 0 , \, p(-2) = 0 , \, p(3) = 0 \end{eqnarray}$ Mehr Nullstellen kann das Polynom aus Gradgründen nicht haben. Es zerfällt folglich in 5 Linearfaktoren. Durch Vergleich der Leitkoeffizienten bekommt man ohne jede weitere Rechnung $\begin{eqnarray} p(x) = -x^5 + 3x^4 - 2x^3 - x^2 + 3x - 2 = - (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)(x-3) \end{eqnarray}$
13.03.2007, 20:53	wesesa	Auf diesen Beitrag antworten »
[quote]Original von Leopold Durch Nachrechnen findet man sofort: $\begin{eqnarray} p(1) = 0 , \, p(-1) = 0 , \, p(2) = 0 , \, p(-2) = 0 , \, p(3) = 0 \end{eqnarray}$ Kannst Du bitte erklären, durch welche genau Nachrechnen erhält man das?
13.03.2007, 21:25	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Na einfach die Funktionswerte ausrechnen!
14.03.2007, 09:00	wesesa	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry für dumme Fragen: 1. Welche Regeln, Formeln man benutzt um ein "normales" Polynom, kein Z/Z7, z.B. mit Grad 5 faktorisieren? 2. Gibst besondere vielleicht enfachere Regeln für Z7? Wenn ja, scrhreibt mal bitte ausfürlich wie diese Faktorisierung aussieht! Hier hab ich nen Beispiel, aber ich verstehe nicht nach welchen Formeln sind alle diese Umwandlungen: 2T^2+2T +2 = 2(T^2+T +1) = 2 ((T + 4)^2 - 1)= 2(T +3)·(T +5) = 2(T - 4)·(T - 2) und 3T^4 + 5T^2 + 6 =3(T^4 + 4T^2 + 2) = 3 ((T^2 + 2)^2 - 2)= 3(T^2 - 1) · (T^2 + 5) =3(T^2 - 1) · (T^2 - 2) = 3(T - 1) · (T + 1) · (T - 3) · (T + 3) =3(T - 1) · (T - 6) · (T - 3) · (T - 4).
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14.03.2007, 09:21	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
In $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ ist das Ausrechnen der Faktorisierung für Polynome vom Grad >4 i.a. nicht mit algebraischen Mitteln möglich. "I.a." bedeutet natürlich, dass es in Spezialfällen doch klappen kann, aber bei allgemeiner Koeffizientenlage eben nicht! In $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ist es einfacher: Man hat ja nur $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Werte durchzuprobieren, und falls eben $\begin{eqnarray} p(x_0)=0 \end{eqnarray}$ ist, dann kann man die Polynomdivision $\begin{eqnarray} \frac{p(x)}{x-x_0} \end{eqnarray}$ durchführen und das Restpolynom untersuchen - auf die Weise kann man dann auch mehrfache Nullstellen aufspüren. Letzteres läuft also genauso wie in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ . Ist man letztendlich bei einem Polynom ohne weitere Nullstellen angelangt, dann hat dieses eben keine Linearfaktoren mehr. Was dann bedeutet, dass dieses Polynom irreduzibel ist oder nur in Faktoren vom Grad >2 zerlegt werden kann.

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