L.a. bei 4 Vektoren bei V3

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13.03.2007, 19:42	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
L.a. bei 4 Vektoren bei V3 Hi, ich habe eine Frage zur linearen Abhängigkeit: Wenn ich Vier Vektoren mit je drei Dimensionen habe sind die ja immer linear abhängig. Um das zu bestimmen, haben wir ein LGS aufgestellt. Nun meine Frage: Warum sind die trotzdem abhängig, auch wenn ich eine Zeile wie 1=0 im LGS bekomme????
13.03.2007, 19:55	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L.a. bei 4 Vektoren bei V3 Schreib bitte mal das komplette Beispiel auf. Danke.
13.03.2007, 19:59	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe dafür kein Beispiel, das haben wir nur theoretisch angesprochen. Es geht darum, dass im LGS, mit dem wir die l.a. prüfen, eine Zeile mit zB 0=1 oder irgend was anderes widersprüchliches auftitt. Unser Lehrer meinte, dass die l.a. in diesem Fall immer noch vorliege. Nur warum????
13.03.2007, 20:16	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht, wie das auftreten soll. Ihr habt 4 Vektoren, die schreiben wir als Spalten einer Matrix. Damit sie linear unabhängig sind, darf das LGS Ax=0 nur den Nullvekor als Lösung haben. Seien nun zunächst einmal 3 Vektoren linear unabhängig. Dann gilt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} &a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mit der einzigen Lösung: $\begin{eqnarray} x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mit dem Gaußalgorithmus können wir das ganze auf folgende Gestalt bringen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1& b_{12} &b_{13} \\0 &1 & b_{23} \\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bis dahin klar?
13.03.2007, 20:21	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist klar, doch was passiert, wenn die Vektoren so gewält worden, dass es einen widerspruch ergibt, wie zB 0=1 oder irgendetwas in dieser Art. Noch ne Frage? Wo ist in deinem LGS der vierte Vektor gebliebn?????
13.03.2007, 20:27	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu deinem Edit. Ich habe erstmal nur die 3 linear unabhhängigen Vektoren geschreiben und was dann gilt. Jetzt kommt erst der vierte. Genau lesen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1& b_{12} &b_{13} &b_{14} \\0 &1 & b_{23} & b_{24} \\ 0& 0 & 1 & b_{34} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Warum sind diese jetzt linear abhängig, btw. hat das LGS mehr also nur die triviale Lösung? Kannst du mir da in die Matrix mal dein Probelm eintragen? Wo soll der Widerspruch auftreten? Muß kurz mal weg, bin ab 21.00 wieder da
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13.03.2007, 20:34	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum steht denn der vierte Vektor links vom Gleicheitszeichen???? Wir schreiben den immer rechts hin... Warum verstehst du denn nicht, dass ich keine Beispielmatrix habe???? Es geht darum, dass in der Stufenform am Ende 0=n steht, wobei n irgendeine Zahl außer 0 ist, wodurch ein Widerspruch entsteht...
13.03.2007, 21:18	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe schon, dass Du keine Beipsielmatrix hast. aber deswegen habe ich es doch allgemein hingeschrieben. Nur da musst Du mir dann dochh m al nennen können, wo der Widerspruch sein soll. Von mir aus kannst du es auch so schreiben: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1& b_{12} &b_{13} \\0 &1 & b_{23} \\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da die Matrix regulär ist, besitzt das LGs für alle Vektoren c eine eindeutige Lösung. Für $\begin{eqnarray} c= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eben $\begin{eqnarray} x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ansonsten bestimmen wir den Vektor c eben durch Rückwärtssubstitution: $\begin{eqnarray} x_3 = c_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2 = c_2 - b_{23}\cdot x_3 = c_2 - b_{23}\cdot c_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1 = c_1 - b_{12}\cdot x_2 -b_{13}\cdot x_3 \end{eqnarray}$ Jetzt stehen da genug Variablen, wo soll da 1 = 0 gelten?
13.03.2007, 21:27	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn x3=0 und c3=n wobei n nicht 0 ist... EDIT: NE hab mich vertan, anders herum, c3=0 und x3= irgend was anderes
13.03.2007, 21:34	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Das macht keinen Sinn. Man bestimmt doch $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ so, dass gilt $\begin{eqnarray} x_3 = c_3 \end{eqnarray}$ Wenn Du drei linear unabhängige Vektoren eines dreidimensionalen Vektorraum hast, aknnst Du jeden beliebigen Vektor als Linearkombination dieser 3 darstellen. D.h. ein solcher von dir angegebener Widerspruch wird nicht auftreten. Edit: Auch das ist sinnlos. Da wir immer passende $\begin{eqnarray} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray}$ finden werden.
13.03.2007, 21:37	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ok ok, mal weg von den Vektoren und deren Abhängigkeit... Dir ist doch klar, dass es Widersprüche der von mir beschiebenen Art gibt, oder???? Also solche LGS, die eine Leere Lösungsmenge haben.
13.03.2007, 21:42	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist mir schon klar. Und das tritt dann auf, wenn der Vektor auf der rechten Seite nicht im Bild der Abbildung /Matrix A liegt. Dann sind aber die 3 Vektoren auf der linken Seite nicht linear unabhängig. Beispiel: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
13.03.2007, 21:51	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, das heißt, wenn wir einen Widerspruch haben, sind die übrigen Vektoren von einander l.a. und damit sind dann ja alle l.a.???
13.03.2007, 21:58	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, sie wären auch ohne Widerspruch linear abhängig gewesen. Wenn wir i einer Menge von n Vektoren 2 linear abhängige haben, ist die ganze Menge linear abhängig. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Für deinen Beweis der Aussage bedeutet dies folgendes. Du hast 4 Vektoren. Du wählst 3 aus. Sind diese linear abhängig, dann sind auch die 4 linear abhängig. Sind sie linear unabhängig, so laßt sich der vierte als Linearkombination dieser drei darstellen, (siehe Oben, Dreiecksmatrix etc.) und sie sind wieder linear abhängig.
13.03.2007, 22:01	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das ist klar, aber was, wenn die drei nicht abhängig sind????
13.03.2007, 22:02	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann tritt obiger Fall mit der Dreiecksmatrix in Kraft. Siehe Edit meines letzten Posts.
13.03.2007, 22:09	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
aso, das ist dann die Basis, bzw Standard-Basis?
13.03.2007, 22:11	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
3 linear unabhängige Vektoren bilden die Basis eines dreimimensionalen Vektorraums. Sind aber i.A. nicht die Standardbasis. Diese ist nämlich noch normiert und orthogonal.
13.03.2007, 22:17	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, von Orthogonalen und anderen Winkel bezogenen Vektoren und deren Rechnungen haben wir noch nicht im Unterricht gesprochen. Hab deswegen ja auch 'bzw' geschrieben Danke fü deine Hilfe, ich denke, dass ich es jetzt verstanden habe.

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