Kreise

14.03.2007, 00:44	Nion	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreise Ging bei meiner letzten Frage ja ganz schnell und konnte die nun auch loesen - versuche es daher nochmals mit einer letzten Aufgabe Gesucht sind die Gleichungen der Kreise, die folgende Bedinnungen erfuellen: - beruehrt die x-Achse - geht durch $\begin{eqnarray} P(5/2) \end{eqnarray}$ - beruehrt den Kreis $\begin{eqnarray} k': x^2 + (y-6)^2 = 1 \end{eqnarray}$ umschliessend. Anhand der Gleichung fuer k' ist dessen Mittelpunkt (M') ersichtlich bei $\begin{eqnarray} M' (0/6) \end{eqnarray}$ - meine Ueberlegung ist nun, dass der Kreis also den von P am weitesten entfernten Punkt (in der Skizze "A") umkreisen muss. Der Mittelpunkt muss daher von A und P gleichweit entfernt sein, also auf der eingezeichneten Geraden liegen. Ab hier fehlt mir aber die zeichnerische und rechnerische Idee, diese Aufgabe zu loesen. (Nebenbei sehe ich auch nur eine Loesung, aber das wird sich wohl in der Rechnung klaeren)
14.03.2007, 01:01	Nion	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab meine Skizze noch etwas erweitert, da man ja aus A, P und dem Punkt auf der x-Achse ein Dreieck bilden koennte. Das wuerde dann natuerlich auch den Mittelpunkt bestimmen: Schnittpunkt der Seitenhalbierenden des Dreiecks. Scheine der Loesung schon einen Schritt naeher zu sein - hoffe ich doch
14.03.2007, 12:22	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, den Punkt auf der x-Achse kennst du aber nicht, diesen müsstest du zuerst konstruieren! Daran allein scheitert schon die von dir vorgestellte Methode. Auch deine erste Skizze entspricht nicht den Tatsachen, denn P muss NICHT notwendigerweise auf der Verbindungslinie der Mittelpunkte beider Kreise liegen, desgleichen auch nicht A und P, wenn A der Berührungspunkt ist. Der konstruktive Weg ist eher komplex, als verlegen wir uns auf die Berechnung, die verhältnismäßig einfach ist: Wir setzen den Mittelpunkt des unbekannten Kreises k, welcher den Radius r haben möge, mit M(m;r) an. Die zweite Koordinate ist deswegen r, weil der Kreis die x-Achse berühren soll. Für die zwei Unbekannten m, r erhalten wir nunmehr zwei Gleichungen aus folgenden Bedingungen: 1. Punkt P(5;2) auf k 2. Distanz MM' = r - 1, wegen der umschließenden Berührung des Kreises k', M'(0;6), mit dem Radius 1 (Innenberührung). $\begin{eqnarray} k: (x - m)^2 + (y - r)^2 = r^2 \end{eqnarray}$ ------------------------------------------ $\begin{eqnarray} 1.: \ (5 - m)^2 + (2 -r)^2 = r^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2.: \ m^2 + (r - 6)^2 = (r - 1)^2 \end{eqnarray}$ ----------------------------------------- Löse also dieses System und skizziere die daraus erhaltenen Lösungen, und dir wird klar werden, wie die wahren Verhältnisse liegen. Eventuell ergeben sich dann daraus Hinweise für einen konstruktiven Weg. [Kontr.: Zwei Lösungen! m1 = 5/3, r1 = 34/9 bzw. m2 = 15, r2 = 26] mY+

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