Berechnung einer Inverse bei einer Matrix

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05.10.2004, 16:16	Holden20	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung einer Inverse bei einer Matrix Hallo, ich habe eine Frage zur Berechnung einer Inverse: Die Matrix lautet: A= 5 0 -5 0 2 4 2 0 1 Wie berechnet man nun die Inverse?
05.10.2004, 17:16	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Erweiter die Matrix mit der Einheitsmatrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 & 0 & -5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Durch geschickte Zeilenoperationen mit der erweiterten Matrix überführst du die Matrix auf die Form: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & & & \\ 0 & 1 & 0 & & A^{-1} & \\ 0 & 0 & 1 & & & \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann steht die rechte 3x3-Matrix für die Invertierte zu A.
06.10.2004, 01:31	Holden20	Auf diesen Beitrag antworten »
Inversieren einer Matrix Hallo und vielen Dank für die Hlfe, aber wie vollführe ich denn eine geschickte Zeilenoperation bei dieser Matrix? Das ist mein Problem.
06.10.2004, 01:39	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau mal in der Literatur unter Gauss-Eleminierungsverfahren. Das ist die Antwort auf Deine Frage. Eine andere Möglichkeit ist es $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ mit Hilfe der Adjungierten Matrix auszurechnen. Also $\begin{eqnarray} A^{-1}=\frac{1}{det(A)}A_{adj} \end{eqnarray}$ . Diese Adjungierte setzt sich aus den transponierten Unterdeterminanten von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ zusammen. Bei einer 3x3 Matrix sollte das vielleicht sogar einfacher sein. Grüsse...
06.10.2004, 01:56	Holden20	Auf diesen Beitrag antworten »
Inversieren Hallo habe gerade mal beim Gauss nachgeguckt. Ein Bspl.: gegeben: 1 4 1 = 7 3 2 4 = -1 2 5 4 = 4 warum kann man dann daraus schließen: 1 4 1 =7 0 -10 1 =-22 0 -3 2 = -10 woher kommen die -10 und -22?
06.10.2004, 02:03	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
1 4 1 = 7 3 2 4 = -1 2 5 4 = 4 Multiplizier die erste Zeile mit -3 und addiere sie mit der zweiten => 1 4 1 = 7 0 -10 1 = -22 2 5 4 = 4 Jetzt multiplizier die erste Zeile mit -2 und addiere sie mit der dritten und Du bekommst. 1 4 1 =7 0 -10 1 =-22 0 -3 2 = -10
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06.10.2004, 02:14	Holden20	Auf diesen Beitrag antworten »
oh man, wie kommt die -10 zu stande?ICh steh auf dem Schlauch. Die erste Zeile mit -3 mulitplizieren bedeutet in diesem Fall: 1 0 2 ? addiere mit der zweiten, bedeutet: 3 2 4 ? -3 verstehe ich ja, um eine 0 zu bekommen, aber die -10 verstehe ich nicht.
06.10.2004, 02:23	Holden20	Auf diesen Beitrag antworten »
vielleicht ist dies einfacher: 5x(11) + 0x (21) + -5x(31) =1 0x (11) + 2x (21) + 4x (31) =0 2x (11) + 0x (21) + 1x (31) =0 Lösung von (11), (21), (31) ? ist x(21) dann nicht = -2 ??? und x (31) = 1 ???
06.10.2004, 02:24	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
1 4 1 = 7 3 2 4 = -1 2 5 4 = 4 Multiplizier die erste Zeile mit -3 und addiere sie mit der zweiten also => -3 -12 -3 = -21 3 2 4 = -1 ------------------------ 0 -10 1 = -22 <------------------- das ist die neue Zeile 2 Jetzt multiplizier die erste Zeile mit -2 und addiere sie mit der dritten Zeile also => -2 -8 -2 =-14 2 5 4 = 4 ------------------- 0 -3 2 = -10 <------------------- das ist die neue Zeile 3
06.10.2004, 02:37	Holden20	Auf diesen Beitrag antworten »
oh, ich habe es verstanden, die erste Zeile ist 1 4 1 = 7 *-3 (+2. Zeile) ok, das habe ich verstanden. zurück zu meiner Aufg.: 5 0 -5 0 2 4 2 0 1 5 0 -5 = 1 0 2 4 = 0 2 0 1 = 0 daraus ergibt sich, wenn ich die Dritte mit -2 multipliziere aber 5 0 -5 =1 0 2 4 =0 -8 0 11 =-2 oder nicht? ist das richtig
06.10.2004, 02:42	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir fangen am besten mal hier an. Das LGS ist durch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\3 & 2 & 4 \\2 &5 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 4\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gegeben. Wir können dieses durch Gauss Eleminierung in eine Dreiecksgestalt überführen und dadurch sehr bequem lösen. Erstmal schreiben wir das System oben als erw. Koeffizientenmatrix, da der Vektor (x,y,z) redundant ist. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\3 & 2 & 4 \\2 &5 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 4\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ als erstes multiplizieren wir Zeile 1 mit -3 und addieren sie zu Zeile 2. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\0 & -10 & 1 \\2 &5 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 7 \\ -22 \\ 4\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ als zweites multiplizieren wir Zeile 1 mit -2 und addieren sie zu Zeile 3. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\0 & -10 & 1 \\0 &-3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 7 \\ -22 \\ -10\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ das war jetzt schon die Halbe Miete. Jetzt dividieren wir die Zeile 2 durch -10 und erhalten $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\0 & 1 & -\frac{1}{10} \\0 &-3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 7 \\ \frac{22}{10} \\ -10\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wir multiplizieren Zeile 2 mit 3 und addieren das zu Zeile 3 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\0 & 1 & -\frac{1}{10} \\0 &0 & 2+\frac{3}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 7 \\ \frac{22}{10} \\ -10-\frac{66}{10}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ was aber nichts anderes ist als $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\0 & 1 & -\frac{1}{10} \\0 &0 & \frac{23}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 7 \\ \frac{22}{10} \\ -\frac{166}{10}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wir erinnern uns das $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\0 & 1 & -\frac{1}{10} \\0 &0 & \frac{23}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 \\ \frac{22}{10} \\ -\frac{166}{10}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} \frac{23}{10}z = -\frac{166}{10} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 23z = -166 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z = -\frac{166}{23} \end{eqnarray}$ usw. usv.
06.10.2004, 02:44	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
verzeihung da ist ein vorzeichenfehler drin. tut mir leid.
06.10.2004, 03:02	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Anders. Wir invertieren jetzt mal die Matrix Schritt für Schritt ok A= 5 0 -5 0 2 4 2 0 1 Wir benutzten Gauss Jordan also. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 & 0 & -5 \\ 0 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Als erstes würde ich Zeile eins durch 5 dividieren, so erhalten wir $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zeile eins mit -2 multiplizieren und zu Zeile drei addieren könnte helfen, also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{2}{5} & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das sieht schon mal nicht schlecht aus. so jetzt rechnen wir die Zeilen nach oben. Als erstes Zeile 3 durch 3 dividieren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{2}{15} & 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und nun Zeile 3 mit -4 multiplizieren und zu Zeile 2 addieren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ \frac{8}{15} & 1 & \frac{-4}{3} \\ -\frac{2}{15} & 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ jetzt noch Zeile 3 zu Zeile 1 addieren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{5}-\frac{2}{15} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{8}{15} & 1 & \frac{-4}{3} \\ -\frac{2}{15} & 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ jetzt noch zeile 2 durch 2 dividieren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{15} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{4}{15} & \frac{1}{2} & \frac{-2}{3} \\ -\frac{2}{15} & 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die hintere Matrix sollte gerade $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ sein.
06.10.2004, 03:02	Holden20	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, bis zur halben Miete ist jetzt alles (zum Glück) Glas klar. Aber bei der Inversierung müssen wir doch die gegebene Matrix umwandeln in 1 0 0 0 1 0 0 0 1 also wie wandeln man dann die 23/10 um? und in der ZEile davor hast du doch die zweite Zeile 3 genommen oder, um die -3 in der 3. Zeile wegzubekommen, richtig? warum heißt es denn danach: 2 + 3/10 und nicht (3 -1/10 (aus der zweiten Zeile) + 2 (aus der dritten Zeile) = -31/10 + 20/10 = -11/10 ?
06.10.2004, 03:05	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei Gauss Jordan wird wie oben gezeigt getrickst. Wir nutzen das Gauss Eleminierungsverfahren und rechnen parallel die inverse aus. Das Verfahren heisst in der Literaur "Gauss-Jordan Verfahren". Hoffe Dir ist jetzt alles klarer...
06.10.2004, 03:09	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
>Ok, bis zur halben Miete ist jetzt alles (zum Glück) Glas klar. >Aber bei der Inversierung müssen wir doch die gegebene Matrix umwandeln in 1 0 0 >0 1 0 >0 0 1 >also wie wandeln man dann die 23/10 um? >und in der ZEile davor hast du doch die zweite Zeile 3 genommen oder, um >die -3 in der 3. Zeile wegzubekommen, richtig? warum heißt es denn danach: >2 + 3/10 und nicht (3 -1/10 (aus der zweiten Zeile) + 2 (aus der dritten >Zeile) = -31/10 + 20/10 = -11/10 ? wie gesagt da hab ich mich verrechnet. naja, ist ja auch schon spät...
06.10.2004, 03:10	Holden20	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, aber wenn man -4 mit der dritten mulitpliziert dann heißt es doch -60/15 (-4) - 2/15 = -62/15 ?oder nicht. Multipliziert man nur den Zähler einfach mit 4?
06.10.2004, 03:15	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
ich denke schon denn zum Bleistift $\begin{eqnarray} 4\frac{2}{15}=\frac{4}{1}\frac{2}{15}=\frac{42}{115}=\frac{8}{15} \end{eqnarray}$
06.10.2004, 03:24	Holden20	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, super vielen Dank. Bin wesentlich schlauer geworden und weniger verzweifelt. Ich freue mich. Kann ich noch eine Frage stellen oder bist du müde (tschuldige, wohne in Japan hier ist es 10.30 Uhr morgen.)
06.10.2004, 07:16	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Kontrolle empfehle ich das hier: http://www.matheboard.de/inverse_matrix_berechnen.php

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