Wurzeln ableiten!?

05.10.2004, 19:50

pape

Wurzeln ableiten!?

Nabend!

Ich habe da nen verständnis Problem mit dem Ableiten einer Wurzel...

$\begin{eqnarray*} f(x)= \sqrt{3x+2} \end{eqnarray*}$

ok... also dass da
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+2}} \end{eqnarray*}$
rauskommt weiß ich.. aber ich verstehe nicht warum!

man bildet ja die ableitung, indem man die potenz -1 rechnet und mit der potenz multipliziert...
also bei der wurzel ja so
$\begin{eqnarray*} 1*\sqrt{3x+2} ^{1-1} \end{eqnarray*}$

das wäre aber dann ja
$\begin{eqnarray*} \sqrt{3x+2} ^{0} \end{eqnarray*}$

x^0 ergibt ja bekanntlich 1 (mit x<>0)

....naja dann habe ich mal amders überlegt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3x+2} = (3x+2)^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

wenn man jetzt die ableitung bildet sieht das bei mir so aus:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*(3x+2)^\frac{-1}{2} \end{eqnarray*}$

und jetzt?
kann mir das irgendjemand klar machen?
ich raff nicht wie die 3 im zähler zustande kommt...?!?!?! verwirrt

05.10.2004, 19:53

BraiNFrosT

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Deine Überlegung ist schon richtig.

Allerdings ist das eine verkettete Funktion bei der
du innere Ableitung noch berücksichtigen musst.

05.10.2004, 20:12

pape

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..hm... aber wenn ich dann einen schritt weitergehe kommt da was anderes raus:

allg. gilt ja:
$\begin{eqnarray*} x^{-n}=\frac{1}{x^n} \end{eqnarray*}$
so... wenn ich jetzt
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*(3x+2)^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
weiter auflöse kommt bei mir da das raus:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*(\frac{1}{\sqrt{3}}*\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{2\sqrt{3x+2}} \end{eqnarray*}$
und da fehlt doch +2 im zähler....????

1.was mache ich da falsch?
2.was war eigentlich an meiner ersten überlegung der denkfehler?
3.was ist eine verkettete funktion, bzw. eine innere Ableitung?

thx for help

grz

05.10.2004, 20:15

Mathespezialschüler

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Bis jetzt hast du alles richtig gemacht!! Bis auf die Tatsache, dass du die "innere Ableitung" vergessen hast.
Sagt dir die Kettenregel etwas? Wenn ihr das noch nich hattet, dann kannst du das noch nicht ableiten. Augenzwinkern

edit: An deiner ersten Überlegung hattest du den Denkfehler, dass du gedacht hast, der Exponent sei 1. Er ist aber 1/2.

Du kannst natürlich auch

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{3x+2})^1 \end{eqnarray*}$

schreiben. Wenn du das ableitest, brauchst du allerdings wieder die angesprochene Kettenregel, die du ja wohl noch nicht kannst.

Übrigens hast du doch nich alles richtig gemacht, du darfst den Bruch so natürlich nicht auseinanderziehen,
1. weil $\begin{eqnarray*} \sqrt{a+b}\ne \sqrt{a}+\sqrt{b} \end{eqnarray*}$ (edit: siehe Leopolds Beitrag)
2. weil $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b+c}\ne \frac{a}{b}+\frac{a}{c} \end{eqnarray*}$

!!

05.10.2004, 20:17

Leopold

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SUMMEN BITTE NIEMALS SUMMANDENWEISE RADIZIEREN!

Zur Abschreckung:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{16+9} = \sqrt{16} + \sqrt{9} \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} 5 = 4 + 3 \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} 5 = 7 \end{eqnarray*}$

WIRKLICH?

05.10.2004, 20:21

BraiNFrosT

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Eine verkettete Funktion sind 2 Zusammenhängende Funktionen.

Bei dir :

g(x) = 3x + 2

f(x) = ( g(x) )^(1/2)

Oder auch f(g(x))

Ableitung = f ' (x) * g ' (x)

Nun siehst du wahrscheinlich selbst deinen Fehler.
Wie kommst du denn auf die Aufgabe wenn ihr das
in der Schule nicht behandelt habt ?

05.10.2004, 20:31

pape

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danke für die zahlreichen antworten!

also.. hab Mathe Lk 12.1 in der 11 habe ich das aber nicht gemacht...soweit ich weiß macht man da auch nur faktor-, summen- und potenzregel (habe ich im übrigen auch nicht in der 11 hergeleitet usw...aber die kann ich einigermaßen...)

wir haben als hausaufgabe auf die produktregel zu beweisen und halt noch zahlreiche aufgaben ausm buch...
die eigentliche aufgabe lautet:

leite ab:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x*\sqrt{3x+2} \end{eqnarray*}$

mit den verkettete (begriff war mir nur nicht so geläufig, da letzte std erste mal gehört...)
Funktionen g(x)=x und h(x)=Wurzelkram...
(das ist nochnichmals die eigentliche aufgabe, sondern das beispiel, wie es funktionieren soll.. daher weiß ich das ergebnis, aber wie man da hinkommt steht da nicht weiter erklärt für die ableitung der wurzel...sondern nur für die produktregel, die man dort ja benötigt.. )

alles kein problem, nur dass man bei der produktregel ja irgendwo h'(x) benötigt und das krieg ich nicht gebacken...

grml

edit: das mit den summandenradizieren... schon klar... das ergebnis is aber doch richtig?! hab da nur grad nicht aufgepasst als ich das im formeleditor getippt habe...

05.10.2004, 20:37

Leopold

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Zitat:

Original von BraiNFrosT
Oder auch f(g(x))

Ableitung = f ' (x) * g ' (x)

VORSICHT!

Richtig ist:

Ableitung = f ' (g(x)) · g ' (x)

05.10.2004, 20:38

Mathespezialschüler

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Ok, dann machen wir das mal.

Sagen wir, wir haben eine verkettete Funktion, die sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} h(x)=f(g(x)) \end{eqnarray*}$

Wir haben also zwei Funktion ineinander verkettet, also $\begin{eqnarray*} h(x)=f(u) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u=g(x) \end{eqnarray*}$ . Also

$\begin{eqnarray*} h(x)=f(g(x))=f(u) \end{eqnarray*}$

wobei du unbedingt beachten musst, dass u von x abhängt!
Dann ist die Ableitung

$\begin{eqnarray*} h(x)=f'(u)\cdot u'=f'(g(x))\cdot g'(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt nehmen wir uns deine Funktion

$\begin{eqnarray*} h(x)=\sqrt{3x+2} \end{eqnarray*}$

Wir haben hier $\begin{eqnarray*} f(g(x))=\sqrt{g(x)}=f(u)=\sqrt{u} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u=g(x)=3x+2 \end{eqnarray*}$ .
Also leiten wir nach obiger Regel ab:

$\begin{eqnarray*} f'(g(x))=f'(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}=\frac{1}{2\sqrt{g(x)}}=\frac{1}{2\sqrt{3x+2}} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} g'(x)=3 \end{eqnarray*}$

Nach der Regel multiplizieren:

$\begin{eqnarray*} h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{3x+2}}\cdot 3=\frac{3}{2\sqrt{3x+2}} \end{eqnarray*}$

und da haben wir die Ableitung.

War das einigermaßen verständlich?

05.10.2004, 20:44

pape

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jo danke, ist verständlich!

nur ist das dann voll sinnlos:

Lehrer:"Als Hausaufgabe macht ihr mal [...] , die kettenregel machen wir nächste stunde.. beschäftigt euch damit nicht, sondern macht nur die aufgaben"

wohlbemerkt: die kettenregel wurde nicht aufgeschrieben (nur in klammern am rand der tafel als existierend gekennzeichnet mit "(kettenregel"))

grml

trotzdem danke an alle, für die sehr schnellen antworten!

20.10.2010, 21:43

bmxler

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*\frac{Ableitung%20Des%20Terms%20Unter%20Der%20Wurzel}{\sqrt{Der%20Normale%20Term}} \end{eqnarray*}$

20.10.2010, 21:58

Iorek

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Ein 6 Jahre alter Thread...ist das ein Rekord? verwirrt

Was denken sich solche Leute dabei, immer so alte Threads rauszukramen?

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Wurzeln ableiten!?

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