inverses der exp. Matrix |
05.10.2004, 23:15 | Borack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
inverses der exp. Matrix edit: exp(Bt) bezeichnet die exponential matrix |
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05.10.2004, 23:20 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich denke da spricht nichts gegen, denn |
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05.10.2004, 23:22 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Exponent -1 bei einem Funktionsbezeichner (wie hier exp) bedeutet nicht Kehrwertbildung, sondern Übergang zur Umkehrfunktion. Das ist hier aber nicht gemeint. Hier geht es um die Kehrwertbildung. Richtig ist daher |
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05.10.2004, 23:26 | Borack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sorry, meinte natürlich exponential MATRIX .. nicht funktion. und das inverse einer matrix berechnet man ja bekanntlich anders |
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05.10.2004, 23:30 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was ist B? Eine Matrix? Und t? Ein Skalar? |
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05.10.2004, 23:46 | gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja Kehrwert ist auch nicht ganz richtig, vielmehr geht es um die Bestimmung der inversen Matrix. also ist quasi die inverse Matrix zu Erst mal müssen dazu ein paar Vorraussetzungen gelten zum Beispiel das die Matrizen quadratisch sind eca. Falls die Matrix eine Diagonalform hat stimmt der Ausdruck auf jeden Fall, da ja . Und da man ja jede nicht singuläre Matrix auf sowas zurückführen kann (über othogonale Transformationen z.B. über die Matrix der Eigenvektoren) ist sollte die Vermutung auch stimmen. |
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06.10.2004, 00:05 | Borack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die exponential matrix exp(Bt) ist folgendermassen definiert: wobei Eigenwert zur Matrix B ist. (her für 3*3 matrix) .. Matrix wird gebraucht um in lin. alg. Inhomogene Diffgl. zu lösen. |
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06.10.2004, 00:16 | Borack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hei gast (... besorg dir einen namen ) ja so meinte ich das. bei der diagonalmatrix ist der fall klar. dass dies allerdings bei jeder.. oberen dreiecksmatrix(?) der fall sein soll ist mir noch unklar... muss mir das nochmals durch den kopf gehen lassen. |
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06.10.2004, 00:19 | gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schau Dir die Definition noch mal genau an. Sie sieht glaube eher so aus. wobei I die Einheitsmatrix ist. |
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06.10.2004, 00:33 | Bruce | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Problem ist dann wohl Folgendes: Für jede normale (nXn) Matrix B gilt: exp(-B)*exp(B)=E (Einheitsmatrix). Beweisskizze: Für einen beliebigen Vektor a ist zu zeigen, daß exp(-B)*exp(B)*a=a gilt. Da B normal ist, existiert eine Orthonormalbasis ei (i1,2,...n) von Eigenvektoren zu den Eigenwerten wi von B. Es gilt: a = <a|e1>*e1+...+<a|en>*en exp(B)*a = exp(w1)*<a|e1>*e1+...+exp(wn)*<a|en>*en exp(-B)*exp(B)*a = exp(-B)*[exp(w1)*<a|e1>*e1+...+exp(wn)*<a|en>*en] = exp(-w1)*exp(w1)*<a|e1>*e1+...+exp(-wn)*exp(wn)*<a|en>*en = <a|e1>*e1+...+<a|en>*en = a Hier steht <a|b> für das Skalarprodukt zweier Vektoren a,b. Gruß von Bruce. |
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06.10.2004, 00:41 | gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja das ist ja klar. was aber gefragt war ist glaube . Ums mal beim Namen zu nennen (sollte aber stimmen, siehe oben). Grüsse... |
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06.10.2004, 03:38 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ist es! Ich hab mir ein wenig Gedanken gemacht und kann jetzt zeigen, warum ist. Zunächst einmal ist Jetzt fassen wir alle Summanden zusammen, in denen vorkommt. Für den Exponenten p gibt es stets p+1 Möglichkeiten, ihn als Summe zweier positiver Zahlen k+j zu schreiben, nämlich 0+p, 1+(p-1), 2+(p-2), ... , (p-1)+1, p+0. Also haben alle Summanden die Form , wobei , und es gibt 2n+1 mögliche Exponenten p, nämlich p=0, p=1, ... , p=2n. Es folgt: also auch . Das gilt für alle quadratischen Matrizen . Damit haben wir auch gleich gezeigt: . Also ist für jede quadratische Matrix invertierbar mit |
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06.10.2004, 13:24 | Borack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmm. ok. vielen dank für die bemühungen aber irgendwie seh ich das immer noch nicht. z.b. bei der matrix wäre es ziemlich praktisch das inverse davon durch ein schnell verfahren angeben zu können und nicht durch über den normalen weg bestimmen zu müssen. ... aber ich befürchte das obige verfahren funktioniert hier nicht.. oder ich sehs einfach nicht/was falsch |
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06.10.2004, 14:09 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist keine Definition. B kann ja mehrere Eigenwerte haben. Welchen nimmst du dann? |
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06.10.2004, 22:57 | Borack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nein, ist wirklich keine definition im eigentlichen sinn. bei mehreren eigenwerten ist obere matrix als block bezüglich einer gesamtmatrix zu betrachten. |
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07.10.2004, 01:57 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da mir aufgefallen ist, dass meine Abhandlung da oben nicht ganz richtig ist, liegt es mir am Herzen, hier nochmal was richtiges reinzustellen. Ziel ist es zu zeigen, dass für jede stetige, lineare Abbildung A eines Banachraumes X in sich selbst die Abbildung existiert, und dass . In unendlich-dimensionalen Räumen sind nicht alle linearen Abbildungen stetig. Ist X ein Banachraum und B(X) der Raum aller stetigen linearen Abbildungen von X in sich selbst, dann kann man zeigen, dass B(X) wieder ein Banachraum ist. Das wollen wir hier aber mal lieber aussparen. Jetzt können wir endlich zum Hauptergebnis gelangen. Der folgende Satz sagt sogar noch mehr aus. |
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