Ableitung(Jakobimatrix) ..

06.10.2004, 00:22

Reinhard

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Ableitung(Jakobimatrix) ..

Hallo. Habe nächste Woche Klausur und stehe einfach bei zwei Aufgaben an, wie man die richtig angeht.

Sei f(x,y) die Funktion in R2 nach R2

F(x,y) =(f1(x,y),f2(x,y))=(xy(xy-1),e^xy – x^2* y^2)

a) Besitzt die Komponentenfunktion f1(x,y) lok. Bzw globale Extrema?
b) In welchen punkten lokal invertierbar?
c) Berechnen sie die Ableitung (Jakobimatrix) der zu f(x,y) inversen Funktion f^-1 im Punkt (1,0).

WÄre jemand so nett und könnte mir das in Verständlicher Form zeigen, hab mich echt schon viel damit beschäftigt, komm einfach nicht weiter *schnüff*

Reinhard

06.10.2004, 00:55

gast

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Zunächst einmal ist
$\begin{eqnarray*} F(x,y)=(f_1(x,y),f_2(x,y))^{T} \end{eqnarray*}$
ein Vektorfeld. Die erste Ableitung eines Vektorfeldes ist gerade die Jakobimatrix welche in diesem Fall durch

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gegben ist.

06.10.2004, 09:04

Reinhard

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a)
Gradient von f = ( x^{2} y^{2}, e^xy - x^{2}* y^{2} )

1. x^{2} y^{2} = 0
2. e^xy - x^{2}* y^{2}=0

laut meiner meinung, nach 1. muss x oder y null sein. Dies verletzt aber die 2. Bedingung da e^0 =1 ist.

Laut meiner Meinung keine Extremwerte, gibts dass ?

L.g REinhard

06.10.2004, 12:09

gast

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Bei erstens sind ja erst mal nur die Extremwerte der Komponentenfunktion f1 gefragt. Von da her könnte diese schon welche haben.

Die Aufgabenformulierung erscheint mir aber etwas seltsam. Ich kann auch nur raten. Vielleicht ist damit gemeint das Du zunächst den Gradienten von f1 bilden sollst, also

$\begin{eqnarray*} f_1(x,y)=xy(xy-1)=(xy)^{2}-xy \end{eqnarray*}$

der Gradient ist dann das Vektorfeld

$\begin{eqnarray*} f_1(x,y)=\begin{pmatrix} 2xy^2-y \\ 2yx^2-x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man sich überlegen wann dieser Gradient 0 wird. Das würde dann auf die Extremwerte von f_1 fürhen.

Bin mir aber nicht sicher ob das hier auch so gemeint ist. Am besten Du fragst mal einen Deiner Kameraden.

Grüsse...

06.10.2004, 14:38

Philipp-ER

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Hi.
Bitte überprüfe deine Funktion nochmal. Gilt wirklich
$\begin{eqnarray*} f_1(x,y)=xy\cdot(xy-1) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f_2(x,y)=e^{xy}-x^2\cdot y^2 \end{eqnarray*}$ ?
Oder steht vielleicht das y bei f_2 nicht im Exponenten sondern als Faktor dahinter?
Ich hätte nämlich vermutet, dass es sich bei dieser Aufgabe um eine direkte Anwendung des Umkehrsatzes handelt, aber wenn ich gerade richtig gerechnet habe, kann man diesen bei dieser Funktion gar nicht anwenden (f' ist nirgendwo invertierbar?).
Oder habe ich mich vielleicht verrechnet bzw begehe einen Denkfehler?

06.10.2004, 14:43

WebFritzi

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Ne, hast recht. Is so. Und außerdem gibt es keinen Punkt (x,y), so dass F(x,y) = (1,0). Demnach kann man die dritte Aufgabe auch nicht lösen. Da MUSS was faul sein.

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06.10.2004, 16:09

Reinhard

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stimmt, ich hab mich vertan

also f1 = xy(xy-1)
f2 = e^x * y -x^2*y^2

a) Gradient = (2xy^2 - y,2x^2y-x)

mh, wie geht man da vor ,
also wenn ich mir 2xy^2 -y = 0 anschaue , dann ist es erfüllt, wenn y = 0 ist, dies widerspricht aber der zweiten Gleichung..

AUf jeden Fall macht da das lernen gleich mehr spass, wenn man auf so ein Board mit Fragen zurückgreifen kann. Ist ja nicht so, dass es mich nicht interessiert, nur ohne Hilfe manchmal langwieriger...

L.g Reinhard

06.10.2004, 17:49

gast

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Tut mir leid ich sehe auch gerade das ich mich oben vertippt habe :P.

Also noch mal zu a) hier ist ja gefragt

a) Besitzt die Komponentenfunktion f1(x,y) lok. Bzw globale Extrema?

Das würde ich folgendermassen verstehen. Zunächst sollten wir den Gradienten von f1 bilden. Dieser Gradient zeigt immer in Richtung des höchsten Zuwachses. Da wo er =0 ist könnten Extremwerte liegen. Also würde ich erst mal so anfangen

$\begin{eqnarray*} \nabla f_{1}=grad(f_1)=\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x}\\ \\\frac{\partial f_1}{\partial y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2xy^2-y \\ 2x^2y-x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die zweite Komponentenfunktion f2 würde ich jetzt erst mal gar nicht betrachten (zumindest verstehe ich so die Aufgabenstellung) sondern erst mal die Frage beantworten wann

$\begin{eqnarray*} \nabla f_{1}=0 \end{eqnarray*}$

gilt!

Anders ausgedrückt müssen wir das nicht lineare Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2xy^2-y \\ 2x^2y-x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

lösen.

06.10.2004, 17:59

gast

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Die Lösung des nicht linearen LGS oben ist dann.

der Punkt (0,0)

und alle Punkte auf einer Gerade der Form

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{2s},s\right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ !

06.10.2004, 18:07

gast

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Achso

geschockt

erstens keine gerade und zweitens natürlich

$\begin{eqnarray*} s\in\mathbb{R}\backslash\{0\} \end{eqnarray*}$

Falls ich mich vertan habe, naja was solls . Hauptsache das Prinzip ist klar Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

06.10.2004, 19:27

Reinhard

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wie kommt man da auf 1/s ?

also ich komm aus gleichung 1, das x = 1/2y sein muss.
Eingesetzt in die 2. Gleichung bekomme ich dann y = 0 raus. x = 1/2*0) ist aber nicht definiert, also kanns ja auch nicht gelten oder ?

06.10.2004, 19:34

gast

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Unter der Annahme das $\begin{eqnarray*} x\neq0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\neq0 \end{eqnarray*}$ kann man Gleichung 1 durch y und Gleichung 2 durch x teilen. Der Rest folgt unmittelbar.

07.10.2004, 13:42

Reinhard

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b) In welchen punkten lokal invertierbar?
c) Berechnen sie die Ableitung (Jakobimatrix) der zu f(x,y) inversen Funktion f^-1 im Punkt (1,0).

wäre nett, könnte mir nich jemand zeigen , wie man b und c machen kann.
doch auch bei a bin ich mir nicht sicher, ob das so stimmt.

Liebe Grüße Reinhard

07.10.2004, 23:19

lupo1977

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Ich finde Aufgabe a) ist doch schon prima gelöst (ich war vorher gast Wink

Wink

), oder?

so jetzt zu b)

f1 = xy(xy-1)
f2 = e^x * y -x^2*y^2

Invertierbarkeit bedeuted soviel als wann ist das totale Differential unseres Vektorfeldes bijektiv.

Wir bilden unsere Jakobimatrix. Und schaun mal wann die Determinante 0 ist und wann nicht. In allen Punkten wo die Jakobimatirx singulär wird haben wir definitiv keine Bijektivität und damit keine Invertierbarkeit.

11.10.2004, 11:31

Philipp-ER

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Zitat:

Original von lupo1977
...
Wir bilden unsere Jakobimatrix. Und schaun mal wann die Determinante 0 ist und wann nicht. In allen Punkten wo die Jakobimatirx singulär wird haben wir definitiv keine Bijektivität und damit keine Invertierbarkeit.

Ich wage, dem zu widersprechen.
det A !=0 ist hinreichend, aber nicht notwendig für lokale Umkehrbarkeit.
Das sieht man ja zum Beispiel an f:R->R mit f(x)=x^3 im Nullpunkt, oder?

@Reinhard: Mich erstaunt immernoch, dass man bei c) nicht den Umkehrsatz anwenden kann (die Ableitung ist an der Stelle (1,0) nicht invertierbar, richtig?). Stimmt der Punkt wirklich?

11.10.2004, 13:34

lupo1977

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Zeigt man lokale Invertierbarkeit in einer Stell $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ nicht gerade dadurch das man die Determinante der Jakobimatrix in diesem Punkt überprüft? Ich habe das zumindest noch so im Kopf.

11.10.2004, 13:46

Reinhard

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Ja der Punkt stimmt wirklich ..

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