Matrix

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06.10.2004, 03:41	Holden20	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix Gegeben ist die Matrix: A= 4 1 5 8 Wie bestimme ich nun Rg A? Wie bestimme ich die Eigenwerte von A und wie bestimme ich zu jedem Eigenwert den Eigenvektor?
06.10.2004, 05:00	carsten	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Rang einer Matrix ist die Anzahl linear unabhaengiger Zeilen (oder Spalten). Wenn beide Zeilen linear unabhaengig sind, dann hat die Matrix also Rang 2. Eigenwerte einer Matrix A sind die Loesungen folgender Gleichung: $\begin{eqnarray} det(A- \lambda \cdot I)=0 \end{eqnarray}$ hier: $\begin{eqnarray} det\begin{pmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 5 & 8-\lambda \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ Es gibt also 2 Loesungen fuer $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ . Um einen Eigenvektor $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ zu einem Eigenwert zu bestimmen loest man die Gleichung: $\begin{eqnarray} A \cdot x = \lambda \cdot x \end{eqnarray}$ fuer einen Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda=3 \end{eqnarray}$ saehe das so aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = 3 \cdot \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ fuer den Eigenvektor $\begin{eqnarray} x = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Gruesse Carsten
06.10.2004, 16:46	Holden20	Auf diesen Beitrag antworten »
warum ist der Eigenvektor hier 4 - \ 1 =0 5 8 - \ =0 und nicht 4 1 - \ 5 8 - \ ? und wie berechnet man das nun, also was ist \ ? zweite Frage zum Eigenwert: Bspl: \=3 4x(1) 1x(1) = 3x(1) 5x(2) 8x(2) = 3x(2) = 5x(1) = 3x(1) ----= x(1)=3/5 ? 13x(2)=3x(2) ------=x(2)=3/13 ?
06.10.2004, 16:50	Holden20	Auf diesen Beitrag antworten »
ach und noch was. also, wenn gefragt wird bestimmen sie Rg A, dann muss ich nur die Zeilen der Matrix zählen, also z.B. 4 5 1 8 dann lautet das Ergebnis = 2 ? Wow, hätte ich mir schwerer vorgestellt,grins
06.10.2004, 20:44	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, NEIN!, du musst nicht nur die Zeilen bzw. Spalten zählen! Der Rang ist die Anzahl der lin. unabhängigen Spalten. Z.B. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Hat nur eine unabhängige Zeile, also hat de Matrix den Rang 1! Gruß Anirahtak
06.10.2004, 21:34	carsten	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaube Du hast da einiges missverstanden, vielleicht fehlen Dir auch noch ein paar wichtige Hilfsmittel. Weisst Du was eine Determinante ist, wie man sie berechnet? Weisst Du wie man eine Matrix mit einem Vektor multipliziert? $\begin{eqnarray} det\begin{pmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 5 & 8-\lambda \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ Mit Definition der Determinante: $\begin{eqnarray} (4- \lambda ) \cdot (8- \lambda) - (5 \cdot 1) = 0 \end{eqnarray}$ das ergibt eine quadratische Gleichung mit 2 Loesungen, diese beiden sind die Eigenwerte der Matrix. zum Eigenvektor: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = 3 \cdot \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ergibt 2 Gleichungen (nach Vektor-Matrix-Multiplikation muessen beide Komponenten der Vektoren auf rechter und linker Seite der Gleichung uebereinstimmen): $\begin{eqnarray} 4x_{1}+x_{2}=3x_{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5x_{1}+8x_{2}=3x_{2} \end{eqnarray}$ Wie man leicht sieht stimmen beide Gleichungen ueberein. Das liegt daran, dass es nicht den Eigenvektor zu einem Eigenwert gibt, sondern mehrere und von denen sucht man sich einen repraesentativ aus. EDIT: $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist ein griechischer Buchstabe und heisst Lambda und wird unter anderem fuer die Kennzeichnung von Eigenwerten benutzt. Gruesse Carsten
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07.10.2004, 12:08	Holden20	Auf diesen Beitrag antworten »
aha, also hat die Matrix 4 1 5 8 wie viele unabhängige Ränge? Gar keinen? ____________________________________________________ ok, also ist der Eigenwert dieser Matrix = 32 - 12 (Lambda) - (Lambda)² = 5 (Lambda) (12- Lambda) = -27 (Lambda) = -27/12 -Lambda richtig? und wie bekomme ich dann das Lambda auf der rechten Seite weg? Oh man, die Schulzeit ist zu lange her!tschuldige, diese blöde Frage! Und die beiden Eigenwerte setzt man dann in die Eigenvektoren (wie in deinem Bspl. 3 + den anderen Eigenwert?) und bekommt die Eigenvektoren? Enno ________________________________________________ Äh zwei unabhängige Ränge. Aber warum? ________________________________________________ wenn man sich dann einen Eigenvektor repräsentativ aussucht wäre es z.b: 5x1 + 8x2 =3 x2 5x1 = -5 x2 x1 = -x2 ? und das ist der EIgenvektor? EDIT: Doppelposts entfernt. Bitte keine Doppelposts!!!! Gruß Anirahtak
07.10.2004, 12:48	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Bitte keine Doppelposts!!! Dafür gibt es die EDIT-Funktion! "Unahbängige Ränge" gibts überhaupt nicht. Es gibt unabhängige Zeile/Spalten und halt den Rang. Falls du unaghänge Spalten meinst: Du betrachtest die Vektoren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und untersuchst sie auf lineare Abhängigkeit. Sind sie unabhängig, dann hast du den Rang 2, sind sie abhängig und mind. ein Vektor ist ungleich $\begin{eqnarray} \vec{0} \end{eqnarray}$ , dann ist der Rang 1 und sind alles Einträge der Matrix =0, dann hat sie den Rang 0. Gruß Anirahtak
08.10.2004, 10:14	Holden20	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, tschuldige, dass mit dem editieren war mir noch nicht so geläufig, dafür aber jetzt. die Unabhängigkeit habe ich nun verstanden. Vielen Dank. Wie man die Eigenwerte ausrechnet habe ich auch verstanden, mit Lambda u.s.w.. In meinem Bspl.= 3 und 9 aber wie setze ich die Eigenwerte ein, um EIgenvektoren zu bestimmen? 4 1 x1 = 3 x1 5 8 x2 x2 4x1 + x2 = 3x1 5x1 + 8x2 =3x2 = x1 =-x2 ?? 5x2 = -5x1 ----- x2= -x1 ??? und das gleiche für den Eigenwert 9? Gruß Enno
08.10.2004, 17:21	carsten	Auf diesen Beitrag antworten »
3 und 9 sind richtig :] , fuer den Eigenvektor zum Eigenwert 3 bekommst du die Gleichung: $\begin{eqnarray} x_{1}=-x_{2} \end{eqnarray}$ , jetzt musst du nur noch einen Vektor angeben, der diese Eigenschaft hat, zum Beispiel $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ im Prinzip kriegst du eine Art Richtung raus und Eigenvektoren sind alle Vektoren, die die Bedingung $\begin{eqnarray} x_{1} =- x_{2} \end{eqnarray}$ erfuellen. Fuer 9 loest du dann: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = 9 \cdot \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Gruesse Carsten

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