uneigentliches integral - existenz

14.03.2007, 13:42

Monstar

uneigentliches integral - existenz

hallo, hab hier ne aufgabe bei der ich nicht recht weiß wie ich anfangen soll:

es sei $\begin{eqnarray*} f: [0,\infty[ -> R \end{eqnarray*}$ eine nicht negative, monoton abnehmende funktion für welche das uneigentliche integral $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~f(t)~dt \end{eqnarray*}$ existiert. beweise oder widerlege:

a) es existiert eine konstante c>=0 so, dass die abschätzung f(t) <= c/t für alle t >0 gilt

hm naja man kann das integral ja aufteilen in die grenzen 0 bis a (0<a<unendlich) und a bis unendlich. wenn das integral existiert dann muss es ja für 0 bis a kleiner sein als $\begin{eqnarray*} \frac{c}{t^\alpha}, 0<\alpha<1 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} \frac{c}{t} <= \frac{c}{t^\alpha},\alpha < 1 \end{eqnarray*}$ also kann (oder muss?) die funktion größer sein als c/t ?

b) das uneigentliche integral $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~(f(t))^2~dt \end{eqnarray*}$ existiert ebenfalls

leider keine ahnung aber rein intuitiv würde ich sagen nein weil sich ja dadurch auch die potenzen erhöhen so dass die abschätzungen nicht mehr zutreffen

c) aussage b) gilt auch, wenn man in der vorraussetzung $\begin{eqnarray*} [0,\infty[ \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} ]0,\infty[ \end{eqnarray*}$ ersetzt.

rein intuitiv würde ich ebenfalls nein sagen, leider ohne begründung..

bin für hilfe dankbar!

14.03.2007, 22:50

Abakus

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RE: uneigentliches integral - existenz
Meine erste Idee wäre das Integralkriterium irgendwie anzuwenden bzw. damit die Sache anzuschauen. Ist mit dem Kriterium etwas anzufangen ?

Grüße Abakus smile

15.03.2007, 10:53

Monstar

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ist denn meine vermutung für die a) richtig? oder kann man immer so ein c finden, so dass das für alle t gilt?

bei der c ist mir eingefallen dass ja so eine "problemstelle" nicht unbedingt bei 0 sein muss, so dass ein ausschließen der 0 nicht unbedingt was an der existenz ändert.. hmm

und zur b) ist mir ein gegenbeispiel eingefallen (hoffe ich *g*)

wenn $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~f(t)~dt \exists \Rightarrow \int_{0}^{a}~f(t)~dt \exists \end{eqnarray*}$ auch. das heißt $\begin{eqnarray*} f(t) \leq \frac{1}{t^\alpha}, 0 < \alpha < 1 \end{eqnarray*}$ oBdA $\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow (f(t))^2 \leq \frac{1}{t^{2\alpha}} = \frac{1}{t} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ es existiert nicht

15.03.2007, 14:26

WebFritzi

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Zitat:

Original von Monstar
wenn $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~f(t)~dt \exists \Rightarrow \int_{0}^{a}~f(t)~dt \exists \end{eqnarray*}$ auch. das heißt $\begin{eqnarray*} f(t) \leq \frac{1}{t^\alpha}, 0 < \alpha < 1 \end{eqnarray*}$

Sowas hast du oben auch schonmal geschrieben. Wie kommst du darauf?

15.03.2007, 14:53

Monstar

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naja das sind die vergleichskriterien die wir aufgeschrieben haben, lieg ich damit total falsch?

15.03.2007, 16:23

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Aussage b) ist richtig, und auch sehr einfach nachzuweisen: Wegen der Monotonie gilt

$\begin{eqnarray*} (f(t))^2 = f(t)\cdot f(t) \leq f(0)\cdot f(t) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t\geq 0 \end{eqnarray*}$

Also folgt

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{\infty} ~ (f(t))^2 ~ \dd t \leq f(0)\cdot \int\limits_{0}^{\infty} ~ f(t) ~ \dd t < \infty \end{eqnarray*}$ .

Ebenso klar dürfte dann aber auch sein, dass das bei c) nicht so klappt.

15.03.2007, 16:51

Monstar

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hm ich hab jetzt mal mit maple rumprobiert mit dem integral $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~sin(x^2)~dx \end{eqnarray*}$ welches existiert aber $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~(sin(x^2))^2~dx \end{eqnarray*}$ existiert nicht verwirrt

was ist denn mit der a?

15.03.2007, 16:57

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Aha. Und du bist dir ganz sicher, dass $\begin{eqnarray*} f(x) = \sin(x^2) \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist, wie es in der Voraussetzung gefordert wird ? Und nichtnegativ ...

15.03.2007, 17:00

Monstar

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oh das hab ich irgendwie ziemlich überlesen Hammer

15.03.2007, 17:01

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Das ist doch das wesentliche hier, ohne das ist doch die ganze Aufgabe witzlos.

15.03.2007, 18:41

WebFritzi

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Frage ist noch immer, ob (a) stimmt. Da bin ich mir ziemlich unsicher. Ich würd sagen ja, aber ich kanns nicht zeigen.

15.03.2007, 19:50

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Es stimmt. Augenzwinkern

15.03.2007, 19:59

WebFritzi

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Dann zeig mal her. Ich denk's mir so: Es gibt eine monoton steigende und unbeschränkte Folge reeller Zahlen (x_n), so dass

$\begin{eqnarray*} f(x_n) > \frac{n}{x_n} \end{eqnarray*}$

gilt. Um die kann man (in der Annahme, die Funktion ist stetig) kleine Intervalle I_n machen, so dass

$\begin{eqnarray*} f(x) > \frac{n}{x} \end{eqnarray*}$

für x aus I_n gilt. Aber die Längen der Intervalle könnten ja schnell gegen Null gehen. Vielleicht ist's auch viel zu kompliziert gedacht.

15.03.2007, 20:00

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Zitat:

Original von WebFritzi
Vielleicht ist's auch viel zu kompliziert gedacht.

Ja.

Sei $\begin{eqnarray*} c := \int\limits_{0}^{\infty} ~ f(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$ der als endlich vorausgesetzte Integralwert.

Aufgrund der Nichtnegativität des Integranden kann man abschätzen

$\begin{eqnarray*} c \geq \int\limits_0^x ~ f(t) ~ \dd t \geq \int\limits_0^x ~ f(x) ~ \dd t = x\cdot f(x) \end{eqnarray*}$ ,

das zweite > folgt natürlich aus der Monotonie von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Tja, und das ist a).

15.03.2007, 20:15

WebFritzi

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Oh Gott, wie einfach. Hammer

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