Ungleichungen

06.10.2004, 20:55

Doris

Ungleichungen

Hallo!

Ich habe ein Problem mit Ungleichungen, besser gesagt: Mit dem Bestimmen der Lösungsmenge.
z.B. folgende Aufgabe:

Geben sie alle x aus R an, für die gilt:
$\begin{eqnarray*} 1+\frac{5}{4+2x} \leq \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x\neq (-2) \end{eqnarray*}$

Gleichung auflösen:

$\begin{eqnarray*} 4+2x+5\leq 2x+x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2\geq 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1< 3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_2<(-3) \end{eqnarray*}$

Um die Lösungsmenge zu bestimmen muss ich die beiden Fälle
$\begin{eqnarray*} x>(-2) , x<(-2) \end{eqnarray*}$ betrachten.

Meine erste Frage ist, dreht sich das Relationszeichen um, wenn ich durch x teile, also die Wurzel ziehe?
Wenn x>(-2) ist, kann x ja immernoch negativ sein, also (-1), dann würde sich das Relationszeichen umdrehen, weil man durch eine negative Zahl teilt. Es könnte aber auch 1 sein, also eine positive Zahl, dann würde sich das Relationszeichen nicht umdrehen..?!?
Für x<(-2), kann x nur negativ sein, also dreht sich das Zeichen um.

Und wie stelle ich dann die Lösungsmenge da, wenn ich die passenden x für die beiden Fälle x>(-2) und x<(-2) gefunden habe?

06.10.2004, 21:17

zweiundvierzig

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Ich glaube, Du verwechselst da etwas. Die Wurzel zu ziehen (zu radizieren) bedeutet nicht, durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zu dividieren.

Wurzelziehen ist das hier:
$\begin{eqnarray*} a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m} \end{eqnarray*}$

Du hast ja bereits eine Quadratwurzel gezogen:
$\begin{eqnarray*} x^2\geq9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}\geq\pm \sqrt{9} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1,2}\geq\pm3 \end{eqnarray*}$

Bei einer Ungleichung musst Du das Relationszeichen nur umdrehen, wenn Du mit einer negativen Zahl multiplizierst.
$\begin{eqnarray*} x<-2 \end{eqnarray*}$ |*(-1)
$\begin{eqnarray*} -x>2 \end{eqnarray*}$

Überlege Dir doch einfach, ob Deine Aussage stimmt:
wenn x² größer als 9 ist, kann dann x kleiner als 3 sein?
Und warum heisst es bei Dir $\begin{eqnarray*} x_1<3 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} x_1\leq 3 \end{eqnarray*}$ ?

Die Aussage $\begin{eqnarray*} x\neq-2 \end{eqnarray*}$ ist übrigens nur um zu verhindern, dass durch 0 dividiert wird, da dies nicht definiert ist:
$\begin{eqnarray*} 1+\frac{5}{4+2*(-2)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1+\frac{5}{4-4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1+\frac{5}{0} \end{eqnarray*}$

Das war jetzt alles ein bisschen viel auf einmal, aber lies es Dir einfach in Ruhe durch und frage, wenn du dir unsicher bist.

06.10.2004, 21:45

Doris

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x kann natürlich nicht kleiner 3 sein, wenn x² größer als 9 ist, wenn x < 3 wäre käme man ja nicht auf mindestens 9, klar!
Also ist $\begin{eqnarray*} x_1\geq 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2\geq (-3) \end{eqnarray*}$ .

Um die Lösungsmenge zu bestimmen, muss ich doch erst die Definitionslücke finden, also $\begin{eqnarray*} x\neq-2 \end{eqnarray*}$ .

Dann schau ich auf dem "Zahlenstrahl" von (-2) nach rechts (für x>-2) und einmal nach links für x<(-2) um die Lösungsmenge zu bestimmen.

Also wäre dann $\begin{eqnarray*} \mathbb L =(-2,3)und(-3,-2) ohne (-2) \end{eqnarray*}$

Das ist aber anscheinend falsch. Als Lösung habe ich hier stehen:
$\begin{eqnarray*} \mathbb L =(-3,-2)und(3,\infty ) ohne (-2) \end{eqnarray*}$

06.10.2004, 22:22

navajo

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} x^2\geq 9 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Doris
Als Lösung habe ich hier stehen:
$\begin{eqnarray*} \mathbb L =(-3,-2)und(3,\infty ) ohne (-2) \end{eqnarray*}$

Sicher, dass das richtig ist?

Zum Beispiel wäre dann ja $\begin{eqnarray*} -2,5 \end{eqnarray*}$ eine Lösung der Ungleichung.

$\begin{eqnarray*} 2,5^2=6,25 \end{eqnarray*}$

6,25 ist aber kleiner als 9.

Meiner Meinung nach muss es heissen:

$\begin{eqnarray*} x\geq 3~oder~ x\leq -3 \end{eqnarray*}$

06.10.2004, 22:37

Doris

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Zitat:

Meiner Meinung nach muss es heissen:

$\begin{eqnarray*} x\geq 3~oder~ x\leq -3 \end{eqnarray*}$

Stimmt, dann müsste die Lösungsmenge
$\begin{eqnarray*} \mathbb L=(3,\infty )~und~(-\infty ,-3)~mit~3~und~-3 \end{eqnarray*}$ sein.

Danke für die Hilfe!

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