Beweis mit vollständiger Induktion

Neue Frage »

Gordon Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mit vollständiger Induktion
Hallo!

Kann mir jemand mal die (Un)gleichung n! > oder = 2^(n-1) mit vollständiger Induktion beweisen...Ich bin irgendwie abgestürzt...

Vielen Dank schon mal

Gordon
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das musst du schon selber machen. Der erste Schritt ist, (n+1)! durch n! auszudrücken. Dann kannst du auf n! die Induktionsvoraussetzung loslassen. Der Rest ist Formsache. Du darfst übrigens nicht mit n=0 verankern. Das geht daneben. Du musst schon mit n=1 anfangen. Die Behauptung ist zwar für n=0 richtig, aber die vollst. Ind. lässt sich damit nicht durchführen.
Gordon Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich ja....

Zu beweisen ist ja (n+1)! > oder = 2^n....das ist schon klar....aber wenn ich einfach für n (n+1) einsetze, ist das doch nicht schon bewiesen....es muss ja gelten

(n+1)n! > oder = 2^n (n+1) = 2^n

Oder hab ich die Induktion noch nicht verstanden?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis mit vollständiger Induktion
Also die vollständige Induktion besteht aus 2 Schritten:
1. Beweise die Behauptung für einen "Anker", z.B: n = 1:

1! = 1 >= 1 = 2^0

2. jetzt muß der Schritt von n auf n + 1 erfolgen, das heißt, man muß zeigen:
Wenn die Behauptung für n gilt, dann gilt sie auch für n + 1, konkret:

n! >= 2^(n-1) ==> (n+1)! >= 2^n

Bitte mal selbst versuchen und bei Problemen nochmal melden.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Also du willst ja beweisen, dass gilt. Die Induktionsverankerung ist mit n=1 gegeben. Du brauchst den Induktionsschritt.
Du muss jetzt beweisen, dass aus auch folgt, dass gilt. Dazu musst du das aber auch einsetzen.
Wie du richtig gesagt hast, macht man zuerst



So jetzt benutzt du das gegebene (setzt es ein) und hast dann . Dann musst du noch zeigen, dass ist und du bist fertig!

edit: klarsoweit war schneller Augenzwinkern
Gordon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis mit vollständiger Induktion
Genau

die Verankerung habe ich. War ja auch nicht so schwer Augenzwinkern

Dann zubeweisen ist ja: (n+1)! >= 2^n

....das ist mir klar....aber wie?

wenn ich einfach für" n" "(n+1)" einsetze, ist das doch nicht schon bewiesen....oder?

Mein Ansatz war:


(n+1)n! >= 2^(n-1) * (n+1) = 2^n



ABer da komme ich nicht weiter. Ich bin einfach nicht von 2^(n-1) * (n+1) nach 2^n gekommen!!!

Ist dann der Ansatz eventuell falsch?
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis mit vollständiger Induktion
Zitat:
Original von Gordon
wenn ich einfach für" n" "(n+1)" einsetze, ist das doch nicht schon bewiesen....oder?

Nein, natürlich nicht.

Zitat:
Original von Gordon
Mein Ansatz war:


(n+1)n! >= 2^(n-1) * (n+1) = 2^n



ABer da komme ich nicht weiter. Ich bin einfach nicht von 2^(n-1) * (n+1) nach 2^n gekommen!!!


Der Ansatz ist schonmal gut, du hast ja schonmal die Voraussetung für n eingesetzt. Dann hast du richtig hingeschrieben:



Aber warum soll das sein? Damit die Ungleichung gilt, brauchst du doch auch hier nur eine Ungleichung dafür, du musst also zeigen, dass ist. DAnn gilt auch



Schon ne Idee? Augenzwinkern
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Netterweise geht das auch mit Induktion. :P

Induktionsverankerung:


Induktionsvoraussetzung:


Induktionsschluss:


Allerdings ist so eine Subinduktion hier nicht nötig, da man eigentlich sofort sagen kann:
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das is ja nun n bißchen sinnlos
Sowas triviales, was man in einer Zeile beweisen kann, da noch ne induktion anzusetzen. :P
Man muss ja nun nich alles nach Schema F machen... Augenzwinkern
Gordon Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure Hilfe...habs endlich hinbekommen!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »