Funktion x -> e^x

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07.10.2004, 14:28	Soulmate	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion x -> e^x Hi! Brauche mal wieder Hilfe bei folgender Aufgabe: Die Tangente in einem Punkt P(u/v) an das Schaubild von x->e^x schneidet die x-Achse in S. Gib die Abszisse von S in Abhängigkeit von u an. Wie lässt sich danach die Tangente in einem gegebenen Punkt des Schaubildes konstruieren? Von welchem Schaubild ist denn da die Rede und was ist überhaupt eine Abszisse?
07.10.2004, 14:33	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion x -> e^x Hi mal wieder Abszisse ist die x-Achse! Das Schaubild ist der Graph der Funktion. Jetzt fangen wir erstmal wieder an: Wir haben einen Punkt mit (u/v). Wie groß ist v und wie groß ist die Steigung der Tangente an den Graph in diesem Punkt?
07.10.2004, 15:03	Soulmate	Auf diesen Beitrag antworten »
und was ist S? Kannst du eine Zeichnung dazu machen oder geht das erst wenn man das ausgerechnet hat? irgendwie kapiere ich auch nicht wirklich die aufgabenstellung. "Gib die Abszisse von S in Abhängigkeit von u an." - versteh ich nicht. ich hab keine ahnung wie ich darauf komme wie groß v und m sind. y = mx + n v = m * u + n v/u - n = m
07.10.2004, 15:08	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Also eine Zeichnung kriegst du. Ich sage mal, was man machen soll: Man hat einen Punkt (u/v), der gehört zum Graph der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=e^x \end{eqnarray}$ . Also: $\begin{eqnarray} v=f(u)=e^u \end{eqnarray}$ Jetzt soll man in diesemPunkt die Tangente an den Graphen legen. Die Tangente hat dann einen Schnittpunkt mit der x-Achse, der hängt aber von der tangente ab (is klar) und die Tangente hängt von u ab (auch klar?). Also hängt auch der Schnittpunkt S mit der x-Achse von u ab. Was wir jetzt machen wollen: Wir bestimmen die Gleichung der Tangente, so wie wir es bei den letzten Aufgaben vor n paar Tagen auch gemacht haben: Wie groß ist die Steigung der Tangente?? (Denk an die Ableitung!!) Der Punkt $\begin{eqnarray} (u\|e^u) \end{eqnarray}$ gehört dazu ..., bestimme damit n. Versuch das erstmal! Bild kommt gleich! edit: Das Bildchen:
07.10.2004, 15:26	Soulmate	Auf diesen Beitrag antworten »
wie bist du auf die idee gekommen, dass man v ersetzen muss? und wie kommt man darauf, dass man die tangentengleichung braucht (in der aufgabe steht doch nix davon)? f(x) = e^x f´(x) = e^x m = e^x P(u/e^u) y=my + n e^u = e^x * u + n /: ue^x e^u/ue^x = n so? woher weiß man denn in welchem punkt die tangente dir kurve schneidet (zeichnung) ? edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte edit-Funktion benutzen! Danke. (MSS)
07.10.2004, 15:34	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Also dass man v ausrechnen muss, is relativ klar, man braucht ja den Punkt. In der Aufgabe ist nach S gefragt, das ist die Nullstelle der Tangente, dazu braucht man die Tangentengleichung! Es gilt doch, dass die Steigung= der Ableitung in dem Punkt u ist, also: $\begin{eqnarray} m=f'(u)=e^u \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=mx+n \end{eqnarray}$ Der Punkt (u/e^u) gehört dazu: $\begin{eqnarray} e^u=e^u\cdot u+n \end{eqnarray}$ Jetzt musst du nach n umstellen, wenn du durch (ue^u) teilst, dann bekommst du das: $\begin{eqnarray} \frac{e^u}{ue^u}=1+\frac{n}{ue^u} \end{eqnarray}$ Das bringt dich nicht weiter, du musst subtrahieren!! $\begin{eqnarray} e^u=e^u\cdot u+n\ \ \ \|\ -u\cdot e^u \end{eqnarray*}$ Mach mal! Wenn man den Punkt (u/v) hat, dann muss doch die Tangente den Graph auch bei (u/v) schneiden bzw. berühren! Bei dem Bild ist nur ein Beispiel für u=2. PS: Bitte benutze die edit-Funktion, keine Doppelposts!! Danke
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07.10.2004, 15:53	Soulmate	Auf diesen Beitrag antworten »
der doppelpost war eigentlich nicht beabsichtigt e^u = e^u * u + n / -u * e^u e^u - u * e^u = n hab aber keine ahnung wie ich das zusammenfassen soll...
07.10.2004, 16:07	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, du kannst e^u ausklammern! $\begin{eqnarray} n=e^u-ue^u=e^u(1-u) \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} y=e^u\cdot x+e^u(1-u) \end{eqnarray}$ Jetzt suchen wir die Nullstelle: $\begin{eqnarray} 0=e^u\cdot x+e^u(1-u) \end{eqnarray}$ Das musst du jetzt nach x aufösen!
07.10.2004, 16:23	Soulmate	Auf diesen Beitrag antworten »
0 = e^u * x + e^u * (1-u) /:e^u 0= 1 * x + 1 * (1-u) 0 = x + (1-u) /- (1-u) - (1-u) = x
07.10.2004, 16:25	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau! :] $\begin{eqnarray} x=-(1-u)=u-1 \end{eqnarray}$ Und wie heißt nun der Punkt S?
07.10.2004, 16:30	Soulmate	Auf diesen Beitrag antworten »
S ( u-1 / e^u) richtig?
07.10.2004, 16:37	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum e^u? S ist doch der Schnittpunkt mit der x-Achse, also ist S(u-1\|0)!!! $\begin{eqnarray} -(1-u)=-1-(-u)=-1+u=u-1 \end{eqnarray}$ Und jetzt nochmal zusammengefasst: Die Tangente an den Graph der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=e^x \end{eqnarray}$ im Punkt u geht durch den Punkt $\begin{eqnarray} P(u\|e^u) \end{eqnarray}$ und hat die Steigung $\begin{eqnarray} m=e^u \end{eqnarray}$ . Ihre Nullstelle (=Abszisse von S) ist bei $\begin{eqnarray} x_1=u-1 \end{eqnarray}$ , sie geht somit auch durch den Punkt $\begin{eqnarray} Q(u-1\|0) \end{eqnarray}$ . Die Tangentegleichung lautet $\begin{eqnarray} y=e^u\cdot x+(1-u)\cdot e^u \end{eqnarray}$ . Wie lässt sich nun die Tangente konstruieren? Welche zwei Punkte hast du denn gegeben für die Tangente?
07.10.2004, 16:49	Soulmate	Auf diesen Beitrag antworten »
die punkte P (u/e^u) und Q (u-1/0) einfach verbinden, oder was meinst du?
07.10.2004, 20:28	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau! :] Einfach die Punkte verbinden ... Jetzt ist die Aufgabe fertig oder hast du noch Fragen?
07.10.2004, 21:36	Soulmate	Auf diesen Beitrag antworten »
warum ist eigentlich nur von der anhängigkeit von u die rede gewesen? Der Schnittpunkt (S) ist doch auch abhängig von v oder nicht?
07.10.2004, 21:48	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, eigentlich nicht, denn v ist ja durch u eindeutig bestimmt (hängt also auch weider von u ab!!).

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