kleinste Oberfläche eines Quaders

14.03.2007, 21:20

Ratloser

kleinste Oberfläche eines Quaders

Hallo,

ich bin mir bei meinem Lösungsansatz für die nachfolgende Aufgabe nicht ganz sicher, daher wollte ich gerne nachfragen.

Aufgabe:
Eine Zigarrenkiste (mit Deckel) soll bei einem Volumen von 900cm³ eine Länge von 30cm besitzen. Wie sind die Breite und Höhe zu wählen, damit möglichst wenig Material (kleinste Oberfläche) verbraucht wird? Die Mindestbreite und -höhe sollen jeweils 3 cm betragen.

Mein Ansatz:
- Oberflächenformel des Quaders für alle Variablen ausser a ein x einsetzen
- zu b und c 3cm addieren

Allg. Formel:
O=2(a*b+a*c+b*c)

$\begin{eqnarray*} O(x)=60x+3+60x+3+2*x*x \end{eqnarray*}$

Eingesetzt und zusammengefasst:
$\begin{eqnarray*} O(x)=120x+6+2x^2 \end{eqnarray*}$

14.03.2007, 22:04

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Du musst schon die Klammern ordentlich setzen.

$\begin{eqnarray*} O(b,c)=2\left(30(3+b)+30(3+c)+bc\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O(b,c)=2\left(90+30b+90+30c+bc\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=\frac{900}{30c}=\frac{30}{c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} O(b,c) \end{eqnarray*}$ einsetzen und nach $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ableiten. Oder?

14.03.2007, 22:31

Ratloser

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Zitat:

Original von zt
Du musst schon die Klammern ordentlich setzen.

$\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} O(b,c) \end{eqnarray*}$ einsetzen und nach $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ableiten. Oder?

Sicher das ich nicht b und c durch x ersetzen muss?

Im übrigen was hat es mit
$\begin{eqnarray*} b=\frac{900}{30c}=\frac{30}{c} \end{eqnarray*}$

auf sich als Ergebnis der Klammern kann das ja wohl nicht sein

14.03.2007, 22:39

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ratloser
Sicher das ich nicht b und c durch x ersetzen muss?

Ganz sicher. Du kannst allenfalls eine Variable durch x ersetzen. Und selbst das ist überflüssig. Du brauchst auch nicht auf b und c 3 addieren, um die Mindesthöhe zu gewährleisten. Nimm die Formel für die Oberfläche, setze a=30 und c=30/b ein. Dann hast du eine Funktion, die nur noch von b abhängt.

14.03.2007, 22:56

Ratloser

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Zitat:

Original von klarsoweit
Ganz sicher. Du kannst allenfalls eine Variable durch x ersetzen. Und selbst das ist überflüssig. Du brauchst auch nicht auf b und c 3 addieren, um die Mindesthöhe zu gewährleisten. Nimm die Formel für die Oberfläche, setze a=30 und c=30/b ein. Dann hast du eine Funktion, die nur noch von b abhängt.

Das klingt logisch, im eigentlichen sind die beiden Größen unabhängig voneinander.

Wie du aber auf c=30/b kommst ist mir persönlich rätselhaft auf was für einer Grundlage beruht diese Feststellung? Bzw. woraus entnimmst du das?

Minimal Größen dienen offenbar zur Irreführung

14.03.2007, 23:02

Xmas

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Ganz ehrlich ihr macht es euch zu kompliziert Forum Kloppe

Es ist offensichtlich das bei einer Schachtel mit Deckel das maximalvolumen ein Würfel ist. Ist a gegeben nehme man b=c.
so ergibt sich 900cm³=a*b*b und bei a = 30cm ergibt sich b=c=30^(1/2)

Die ausfürhliche lösung ist natürlich 900=a*b*c => 30/b=c
O(b)=2*(30*b+30*30/b+b*30/b)=60b+1800/b+30 dann Ableiten 0setzen O'(b)=60-180/b²=0 => 60b²=1800 =>b²=30 => b=30^(1/2)

Ich wüsste aber nicht warum man es sich so schwer machen sollte, da die erkenntnis das produkt aus 2 zahlen deren Summe festgelegt ist, ist dann maximal wenn die zu Multiplizierenden Zahlen gleich sind, vollkommen ausreicht

14.03.2007, 23:11

Ratloser

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Jetzt wirds klarer....

Volumenformel umformen und nach b oder c auflösen und diesen Teil dann in die Oberflächenformel einsetzen und ableiten.....

Wieso denke ich immer über 3 Ecken böse

14.03.2007, 23:14

Xmas

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Freut mich wenn ich helfen konnte Wink

15.03.2007, 02:20

mYthos

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"Textaufgabe" ist bei weitem kein aussagekräftiger Titel!
Ausserdem gehört die Aufgabe in den Analysis-Bereich

Titel geändert und *verschoben*

mY+

@Xmas: Die Lösung bereits voraussetzen ist NICHT erlaubt, auch wenn es offensichtlich ist. Das Ganze ist und bleibt so, dass es über das Nullsetzen der 1. Ableitung abgehandelt werden muss!

15.03.2007, 07:13

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Zitat:

Original von mYthos
@Xmas: Die Lösung bereits voraussetzen ist NICHT erlaubt, auch wenn es offensichtlich ist.

Da stimme ich dir zu.

Zitat:

Original von mYthos
Das Ganze ist und bleibt so, dass es über das Nullsetzen der 1. Ableitung abgehandelt werden muss!

Da stimme ich dir nicht zu: Es gibt auch andere Wege, ein Minimum/Maximum zu bestimmen, z.B. wäre hier auch die Nutzung von AMGM (Ungleichung zwischen arithmetischen und geometrischen Mittel) möglich, m.E. sogar der schnellere Weg.

15.03.2007, 23:24

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Zitat:

Original von Arthur Dentz.B. wäre hier auch die Nutzung von AMGM (Ungleichung zwischen arithmetischen und geometrischen Mittel) möglich, m.E. sogar der schnellere Weg.

Was ist das? Wie funktioniert's?

16.03.2007, 07:20

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Zuerst mal AMGM in der vollständigen Form, die sollte man schon kennen:

Zitat:

Ungleichung zwischen arithmetischen und geometrischen Mittel

Es seien $\begin{eqnarray*} a_1,\ldots,a_n \end{eqnarray*}$ nichtnegative reelle Zahlen. Dann gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{a_1+ \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1\cdot \ldots \cdot a_n} \end{eqnarray*}$ ,

und Gleichheit tritt genau dann ein, wenn $\begin{eqnarray*} a_1 = \cdots = a_n \end{eqnarray*}$ ist.

Konkret im vorliegenden Fall: Wir sind momentan bei der Oberflächenformel

$\begin{eqnarray*} O(b) = 60b + \frac{1800}{b} + 60\qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

AMGM auf die ersten beiden Glieder angewandt bedeutet

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \left( 60b + \frac{1800}{b} \right) \geq \sqrt{60b \cdot \frac{1800}{b}} = 60\sqrt{30} \end{eqnarray*}$

mit Gleichheit im Fall $\begin{eqnarray*} 60b = \frac{1800}{b} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} b=\sqrt{30} \end{eqnarray*}$ . Eingesetzt Formel (*) kriegt man gleich noch das zugehörige Minimum

$\begin{eqnarray*} O(b) = 60b + \frac{1800}{b} + 60\geq 120\sqrt{30}+60 = O(\sqrt{30}) \end{eqnarray*}$ .

Ist zugegebenermaßen nicht so flexibel anwendbar wie das "allgemeine" Verfahren über Ableitungen, besitzt aber in den Fällen, wo es anwendbar ist, folgende Vorteile:

1.Es ist elementar, es sind also keinerlei Kenntnisse der Differentialrechnung nötig

2.Es liefert sofort das globale Extremum - der beim anderen Verfahren nötige Nachweis, dass das lokale auch ein globales Extremum ist, entfällt.

3.Auch anwendbar (allerdings wieder nur in speziellen Fällen) bei Extremwertbestimmungen mit mehreren Variablen. Man denke nur an die vorliegende Aufgabe, wenn auch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ "frei" wählbar gewesen wäre:

$\begin{eqnarray*} O(a,b) = 2ab + \frac{1800}{a} + \frac{1800}{b} \geq 3\sqrt[3]{2ab \cdot \frac{1800}{a} \cdot \frac{1800}{b}} = 180\sqrt[3]{30} \end{eqnarray*}$

mit Gleichheit für $\begin{eqnarray*} 2ab=\frac{1800}{a}=\frac{1800}{b} \end{eqnarray*}$ , was $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ und damit dann $\begin{eqnarray*} 2a^2=\frac{1800}{a} \end{eqnarray*}$ , also Seitenlänge $\begin{eqnarray*} a=\sqrt[3]{900} \end{eqnarray*}$ bedeutet. Also $\begin{eqnarray*} a=b=c \end{eqnarray*}$ , das erwartete Resultat.

19.03.2007, 11:04

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Ergänzend will ich nicht verhehlen, dass diese Methode auch "versagen" kann - selbst in Fällen, wo man auf den ersten Blick meinen möchte, sie funktioniert. Als Beispiel die Aufgabe aus

Extremwertaufgabe (max Volumen Höhe)

Dort ist das Volumen $\begin{eqnarray*} V(x) = (50-2x)(85-2x)x \end{eqnarray*}$ zu maximieren. Mit der eben demonstrierten Methode könnte man forsch rangehen und abschätzen

$\begin{eqnarray*} V(x) = \frac{1}{4}\cdot (50-2x)(85-2x)4x \leq \frac{1}{4}\cdot \left( \frac{50-2x+85-2x+4x}{3} \right)^3 = \frac{45^3}{4} \end{eqnarray*}$ ,

stimmt auch als Abschätzung. Dummerweise aber kann die Gleichheit hier nicht erreicht werden, dazu müsste nämlich $\begin{eqnarray*} 50-2x=85-2x=4x \end{eqnarray*}$ erfüllt sein, zwei Gleichungen für eine Unbekannte, die hier in dem Fall nicht lösbar ist. Also ist das Verfahren hier gescheitert, und man bleibt lieber reumütig beim "üblichen" Verfahren.

Zusammenfassend kann man also sagen, es gehört doch ein gewisses "Auge" dazu um zu erkennen, wann man AMGM bei Extremwertaufgaben sinnvoll anwenden kann - und wann eben nicht. Da das der Mehrzahl der Schüler sicher schwer zu vermitteln ist, lässt man diese Methode im normalen Schulunterricht lieber weg, zu meinem vollsten Verständnis. Augenzwinkern

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