Subst. + part. Integration

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15.03.2007, 13:55	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Subst. + part. Integration Hiho Ich habe mir - da wir Integralrechnugn erst nächstes Jahr bekommen - Substitution und partielle Integration anlernen wollen und habe einzelne Übungen auch gemacht (und richtig) - aber waren natürlich nur einfache Aufgaben. Ich habe mir nun selber die Aufgabe gestellt, das Integral von $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~xe^{1-2x}~dx \end{eqnarray}$ zu bestimmen. Mein Lösungsansatz war eig. erst substituieren und dann noch partiell zu integrieren - aber ich komme auf was falsches. Darum: Wie sieht es aus, wenn man die 2 Integrationsmethoden zusammen benutzt? Ein substituiertes Integral kann man doch auch ganz normal partiell integrieren und hinterher rücksubstitutieren, oder? Meine Subst. war $\begin{eqnarray} u = 1-2x \end{eqnarray}$ , dementsprechend komme ich dann auf: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2}\int_{}^{}~\frac{1-u}{2}e^u~du \end{eqnarray}$ Das dann partiell integrieren etc. pp. und am Ende auf $\begin{eqnarray} = e^{1-2x}(\frac{1}{2}x-1) \end{eqnarray}$ Ist allerdings falsch. Wäre jmd so nett und würde mir da etwas helfen? wikipedia hilft mir nicht wirklich air P.S.: Ich traue es mich kaum zu sagen, aber eine "Komplettlösung" wäre auch sehr nett. Wie gesagt - kommt ja eh erst nächstes Jahr dran, also HA-Schummeln o.ä. ist es nicht
15.03.2007, 14:11	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Subst. + part. Integration Ich würde erstmal vereinfachen: $\begin{eqnarray} e^{1-2x} = e \cdot e^{-2x} \end{eqnarray}$ Dann partiell integrieren.
15.03.2007, 14:13	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, werds gleich mal versuchen. Eig. gehts aber auch nicht um das Beispiel allein sondern allg., verstehst du? Darum würde ich es mal ganz gern mit Subst.+part. Integration haben, allein um zu sehen, wie man die beiden Dinge richtig zusammen anwendet. air
15.03.2007, 14:17	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann schreib mal deine Rechnung hin. Vom Ansatz her, war es prinzipiell ok.
15.03.2007, 14:50	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrsch. sind es gigantische Fehler, aber hab mir das auch erst gestern angefangen anzuschauen $\begin{eqnarray} \int~xe^{1-2x}~dx \end{eqnarray}$ Subst.: $\begin{eqnarray} u = 1-2x \end{eqnarray}$ Ableiten: $\begin{eqnarray} \frac{du}{dx} = -2 \Leftrightarrow dx = - \frac{du}{2} \end{eqnarray}$ Und um das x vor dem e-Teil mit u auszudrücken: $\begin{eqnarray} u = 1-2x \Rightarrow x = \frac{1-u}{2} \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} \Rightarrow -\frac{1}{2} \int~\frac{1-u}{2}e^u~du = -\frac{1}{4} \int~(1-u)e^u~du \end{eqnarray}$ So, nun part. integrieren mit: $\begin{eqnarray} q' = e^u & \Leftrightarrow & q = e^u \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p = 1-u & \Leftrightarrow & p' = -1 \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{4} \Bigg [ (1-u)e^u + \int~e^u~du \Bigg ] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = -\frac{1}{4}(1-u)e^u - \frac{1}{4}e^u \end{eqnarray}$ Rücksubst.: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{4}(-2x)e^{1-2x} - \frac{1}{4}e^{1-2x} = \frac{1}{2}xe^{1-2x} - \frac{1}{4}e^{1-2x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = e^{1-2x} \Big ( \frac{1}{2}x-\frac{1}{4} \Big ) \end{eqnarray}$ Hatte grad noch nen Fehler gefunden (Vorzeichen seufz) aber so ist das Ergebnis immernoch nicht richtig. air P.S.: Erm, ja, das "+C" sollte immer dabei sein. Spielt ja aber nun keine große Rolle...
15.03.2007, 14:55	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Rücksubstitution hast du beim ersten Summanden einen Vorzeichenfehler.
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15.03.2007, 14:59	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Hupsa. seufz Aber stimmt es denn sonst? Kurz korrigier air Edit: $\begin{eqnarray} e^{1-2x} \Big ( -\frac{1}{2}x - \frac{1}{4} \Big ) = -\frac{2x-1}{4}e^{1-2x} \end{eqnarray}$ Aber stimmen tuts imo immernoch nicht.
15.03.2007, 15:18	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ja, diese Vorzeichen: $\begin{eqnarray} e^{1-2x} \Big ( -\frac{1}{2}x - \frac{1}{4} \Big ) = -\frac{2x+1}{4}e^{1-2x} \end{eqnarray}$
15.03.2007, 15:37	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
seufz typisch. Neu angelernte Methode sitzt eig. - nur mal wieder so n dummer kleiner Fehler. Immerhin war es dann in den Punkten, die mir dabei wichtig sind - nämlich Integration - richtig Danke air

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