integration

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10.10.2004, 22:38	folgensucher	Auf diesen Beitrag antworten »
integration hallo. ich komm hier nicht weiter $\begin{eqnarray} \huge I(x) = \int \sqrt{1-x^2} dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \huge x = sin(u) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \huge dx = cos(u)du \end{eqnarray}$ so jetzt einsetzen: $\begin{eqnarray} \huge I(x) = \int \sqrt{1-cos^2(u)}cos(u) du \end{eqnarray}$ und was mach ich jetzt??
10.10.2004, 23:01	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt haste's ja...
10.10.2004, 23:07	lupo1977	Auf diesen Beitrag antworten »
Sollte das dann nicht $\begin{eqnarray} I(u)=\int \sqrt{(1-\sin^{2}(u))}\cos(u)du \end{eqnarray}$ sein?
10.10.2004, 23:18	folgensucher	Auf diesen Beitrag antworten »
natürlich lupo. es muss $\begin{eqnarray} \huge I(x) = \int \sqrt{1-sin^2(u)}cos(u)dx \end{eqnarray}$ heißen. aber wie löse ich das jetzt??
10.10.2004, 23:29	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Sag mal, willste mich verarschen??? Im anderen Thread hast du gerade gesagt, du hättest es gepeilt, und jetzt kommt die gleiche Frage wieder???!!!
10.10.2004, 23:30	folgensucher	Auf diesen Beitrag antworten »
@webfritzi von was redest du?? kannst du mir bitte helfen.
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10.10.2004, 23:32	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry. Das warst garnicht du... Ich bitte um Vergebung. Es ist sin^2 + cos^2 = 1.
10.10.2004, 23:35	folgensucher	Auf diesen Beitrag antworten »
also: $\begin{eqnarray} \huge I(x) = \int \sqrt{cos^2(u) + sin^2(u) - sin^2(u)}cos(u)du \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \huge I(x) = \int \sqrt{cos^2(u)}cos(u)du \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \huge I(x) = \int cos^2(u)du \end{eqnarray}$ ja??
10.10.2004, 23:38	folgensucher	Auf diesen Beitrag antworten »
und dann partielle integration: $\begin{eqnarray} \huge I(x) = \int cos^2(u)du \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I(x) = \frac{u}{2} + \frac{sin(2u)}{4} \end{eqnarray}$
10.10.2004, 23:39	folgensucher	Auf diesen Beitrag antworten »
und dann partielle integration: $\begin{eqnarray} \huge I(x) = \int cos^2(u)du \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{u}{2} + \frac{sin(2u)}{4} \end{eqnarray}$ jetzt u = arcsin(x) $\begin{eqnarray} I(x) = \frac{arcsin(x)}{2} + \frac{sin(2arcsin(x))}{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{arcsin(x)}{2} + \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2} \end{eqnarray}$ okay??
10.10.2004, 23:44	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.
11.10.2004, 17:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, wie oft die in diesem Strang behandelte Frage im letzten halben Jahr schon gestellt und beantwortet wurde. Ich kann es langsam nicht mehr hören! (@ folgensucher: Das ist kein Vorwurf an dich, der du die Frage ja zum ersten Mal stellst.) Ich will die Aufgabe daher einmal ganz anders angehen. Man braucht zur Lösung nämlich nicht mehr als einen naiven Integral- und Flächenbegriff und die Kenntnis der Flächenformel für den Kreis, wie sie wohl in den meisten Bundesländern in der 10. Jahrgangsstufe vermittelt wird. Wir setzen $\begin{eqnarray} F(x) = \int_0^x~\sqrt{1-t^2}~\mbox{d}t \ , \ \ x \in [-1,1] \end{eqnarray}$ Der Integrand hat den oberen Einheitshalbkreis als Graphen. Für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} F(x)>0 \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} F(x)<0 \end{eqnarray}$ , da in diesem Fall die untere Integrationsgrenze größer als die obere ist. Der Fall $\begin{eqnarray} F(0)=0 \end{eqnarray}$ ist sowieso klar, da untere und obere Integrationsgrenze hier übereinstimmen. (Die folgende Überlegung gilt auch für negative $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Der Winkel $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ fällt dann ebenfalls negativ aus und ebenso werden die aufgeführten Flächen durch die Formeln negativ bewertet.) Die Zeichnung zeigt, daß sich der zu berechnende Flächeninhalt aus einem Kreissektor mit dem (im Bogenmaß gemessenen) Mittelpunktswinkel $\begin{eqnarray} \varphi \, , \ \sin{\varphi}=x \end{eqnarray}$ und einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten $\begin{eqnarray} x \, , \ \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray}$ zusammensetzt. Daher folgt unmittelbar: $\begin{eqnarray} F(x) = \frac{1}{2} \varphi + \frac{1}{2} \; x \cdot \sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2} \arcsin{x} + \frac{1}{2} \; x \cdot \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray}$ F ist nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} f: \ x \; \mapsto \; \sqrt{1-x^2} \, , \ x \in [-1,1] \end{eqnarray}$ oder anders ausgedrückt: $\begin{eqnarray} \int_{}{}~\sqrt{1-x^2}~\mbox{d}x \ = \ \frac{1}{2} \arcsin{x} + \frac{1}{2} \; x \cdot \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray}$

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