Wurzel im Exponenten

10.10.2004, 22:40

wurzelknirps

Wurzel im Exponenten

Hallo zusammen,

ich plage mich seit zwei Tagen mit folgendem Problem:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{2})^{(\sqrt{2})^{\sqrt{2}}} \end{eqnarray*}$

Also einem Term mit Wurzeln im Exponenten.
Exponenten von Exponenten werden multipliziert, also sähe das wohl so aus:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{2})^{\sqrt{2}*{\sqrt{2}}} \end{eqnarray*}$

Soweit klar, es ist $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2})^2 = 2 \end{eqnarray*}$

Wenn ich jedoch die Wurzelausdrücke in gebrochenen Expontenen schreibe, komme ich durcheinander:

$\begin{eqnarray*} {{{2^\frac{1}{2}}^{(2^\frac{1}{2})}}^{(2^\frac{1}{2})}} \end{eqnarray*}$

Erst dachte ich, die Exponenten einfach zu multiplizieren, aber

$\begin{eqnarray*} {2^\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ gehört zusammen.

$\begin{eqnarray*} {2^\frac{1}{2}} * {2^\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ war meine zweite Idee, scheint aber völlig falsch zu sein.

Kann mir jemand das Licht anmachen?

Vielen Dank
Knirps

10.10.2004, 22:53

BlueBottle

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*zur übersichtlichkeit editiert*

von

$\begin{eqnarray*} {{{2^\frac{1}{2}}^{(2^\frac{1}{2})}}^{(2^\frac{1}{2})}} \end{eqnarray*}$

berechnest zuerst den oberen und mittleren exponenten

das wäre also:

$\begin{eqnarray*} {{{(2^\frac{1}{2})}}^{(2^\frac{1}{2})}} \end{eqnarray*}$

und sieht so aus :

$\begin{eqnarray*} 2^{\frac{1}{2} } * 2^{\frac{1}{2} } = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{2}{2}} = 2^{1} = 2 \end{eqnarray*}$

dann hast du noch da stehen

$\begin{eqnarray*} {{{2^\frac{1}{2}}}^{(2)}} = 2^{\frac{1}{2}* {2} } = 2^{\frac{2}{2}} = 2 \end{eqnarray*}$

10.10.2004, 22:59

rokkahontas

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äähhhmmm

is nicht

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} ^{\sqrt{x} } = \sqrt{x} ^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

oder bin ich da auf dem Holzweg??

10.10.2004, 23:07

wurzelknirps

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Zitat:

Original von BlueBottle
*zur übersichtlichkeit editiert*

dann hast du noch da stehen

$\begin{eqnarray*} {{{2^\frac{1}{2}}}^{(2)}} = 2^{\frac{1}{2}* {2} } = 2^{\frac{2}{2}} = 2 \end{eqnarray*}$

Hallo BlueBottle,

erstmal vielen Dank. Der Weg scheint auch der Richtige zu sein, aber mir ist es noch nicht ganz klar, wie Du von der Regel, das Exponenten von Exponenten multipliziert werden, auf eine Addition der Exponenten kommst.

Kannst Du mir bitte an diesem Beispiel den Weg etwas klarer aufzeigen?

$\begin{eqnarray*} {A{^{(x^\frac{n}{m})}}^{(y^\frac{o}{p})}} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank

Knirps

10.10.2004, 23:07

BlueBottle

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Zitat:

Original von rokkahontas
äähhhmmm

is nicht

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} ^{\sqrt{x} } = \sqrt{x} ^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

oder bin ich da auf dem Holzweg??

dann wäre ja

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

so wie du es im exponenten umgestellt hast, aber es ist so

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

10.10.2004, 23:12

rokkahontas

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okay, danke für die berichtigung

10.10.2004, 23:13

wurzelknirps

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Zitat:

Original von rokkahontas
äähhhmmm

is nicht

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} ^{\sqrt{x} } = \sqrt{x} ^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

oder bin ich da auf dem Holzweg??

Hm, ich würde sagen Holzweg, weil

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} ^{\sqrt{x} } = \sqrt{x}^{(x^{\frac{1}{2}})} \end{eqnarray*}$

habe aber seit 12 Jahren keine Mathematik mehr gehabt, erst seit etwa 3 Wochen übe ich fleissig.. also keine Gewähr Augenzwinkern

Knirps

10.10.2004, 23:15

BlueBottle

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Zitat:

Original von wurzelknirps

$\begin{eqnarray*} {A{^{(x^\frac{n}{m})}}^{(y^\frac{o}{p})}} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank

Knirps

mit diesem beispiel würde es nicht funktionieren, beim multipizieren der beiden potenzen muss *editiert* die basis * gleich sein, es geht um die potenzregel :

$\begin{eqnarray*} x^{a} * x^{b} = x^{a+b} \end{eqnarray*}$

also müsste man schreiben

$\begin{eqnarray*} {A{^{(x^\frac{n}{m})}}^{(x^\frac{o}{p})}} = A^{(x^{\frac{n}{m}+ \frac{o}{p}})} \end{eqnarray*}$

wobei hier $\begin{eqnarray*} \frac{n}{m} \end{eqnarray*}$ das a aus der regel ist und $\begin{eqnarray*} \frac{o}{p} \end{eqnarray*}$ das b aus der regel.

10.10.2004, 23:18

wurzelknirps

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Vielen herzlichen Dank smile

Knirps

10.10.2004, 23:21

Leopold

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Die klammerfreie Potenz

$\begin{eqnarray*} a^{b^{\,c}} \end{eqnarray*}$

ist gemäß allgemeiner Konvention folgendermaßen zu lesen:

$\begin{eqnarray*} a^{b^{\,c}}=a^{\left(b^{\,c}\right)} \end{eqnarray*}$

Daher ist

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}} = 1,76... \end{eqnarray*}$

Dagegen gilt:

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}=\sqrt{2}^{\,2}=2 \end{eqnarray*}$

10.10.2004, 23:26

BlueBottle

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ok sry das wusst ich ned, also muss man die klammen so setzen wie du sie zuletzt gesetzt hast sonst ergibt es nicht 2, eine wichtige ergänzung smile

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