Hilfe, suche Zielfunktion |
| 11.10.2004, 14:49 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Hilfe, suche Zielfunktion Die Aufgabe lautet so: Streichholzschachteln bestehen aus einem Behälter und einer Hülle. Die Hülle sieht so aus: 3 mal eine Fläche von 5cm mal c, sowie zweimal eine Fläche von 5cm mal b. der Behälter: zwei Mal c mal b, zwei Mal 5cm mal c, vier Mal s mal c und ein Mal b mal 5cm. Das Fassungsvermögen des Behälters betrage 20 cm3. Länge:5cm, Breite b, Hähe c Die Dicke des KArtons ist vernachlässigbar. a) Die Laschenlänge s sei 1/2 b Untersuchen sie, wie b und c gewählt werden müssen, damit der MAterialverbrauch minimal ist. b) Für s wird ein anderer Bruchteil von b kleiner 1/2 gewählt. Untersuchen sie, ob sich das Ergebnis ändert. Was isr zu beobachten, wenn s=1,o cm fest gewählt wird? Wäre echt super, wenn mir jemand helfen könnte, ich komme damit einfach nicht klar und das ganze wird benotet. Alle Hilfsmittel sind erlaubt. Lösungen bitte wenn möglich mit Weg. Vielen vielen DAnk!!! |
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| 11.10.2004, 15:06 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Hilfe, suche Zielfunktion Hast du die Aufgabe wirklich wörtlich abgeschrieben? (Wenn nein, dann mach das bitte noch). Also hast du schon ne Idee für die Aufgabe? Wovon hängt denn der Materialverbrauch ab? 
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| 11.10.2004, 15:17 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Hilfe, suche Zielfunktion soll das heissen, dass b = 5, der rest ist dann wohl lösbar? werner |
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| 11.10.2004, 19:08 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Hilfe, suche Zielfunktion nur nicht verwirren lassen. Schreibe doch erstmal die Gleichungen für Oberfläche und Volumen auf. Das gibt zwei Gleichungen, in denen irgendwie b und c drin steckt. Die Oberfläche soll minimal werden. Randbedingung ist das konstante Volumen = 20 cm³. Poste mal, was du raus hast. Wenns nicht weiter geht, helfe ich wieder. |
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| 11.10.2004, 22:44 | GAst | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Hilfe, suche Zielfunktion Also, ich hab das jetzt nochmal probiert: OHülle = Oberfläche Hülle =15c + 10b = 5(3c+2b) OBehälter=2cb+10c+4sc+5b VBehälter = Volumen Behälter = 5bc = 20 cm3 damit kann ich dann ja eine Variable ausdrücken, zum Beispiel b=20cm3/5c = 4cm3/c wenn ich das jetzt in die Oberflächenfunktion von der Hülle einsetze, krieg ich die Oberflähe von der Hülle in Abhängigkeit c raus: OHülle=15c + 10(4/c) = 15c + 40/c = (15cc + 40)/c Aber was muss ich damit jetzt machen? In den Taschenrechner (GTR) eingeben, oder was? Und wie krieg ich dann das mit dem s raus? Kann ich über den GTR irgendwie sehen, was b oder c ist oder beide? ICh muss da dann das Minimum suchen, oder? Aber wovon? ICh kann ja auf der Kurve nur die Oberfläche von der Hülle darstellen, oder? Könnt ihr mir noch Tipps geben, wie ich da jetzt weiterkomm? Vielen Dank!!! |
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| 12.10.2004, 10:21 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Hilfe, suche Zielfunktion die Gleichungen für Oberfläche und Volumen sind in Ordnung. Geschickter ist es, die Volumengleichung nach c aufzulösen, also: c = 4 / b Dies nun in die Oberfächengleichung einsetzen. Für die Teilaufgabe a) soll s = b / 2 gesetzt werden. Das auch in die Oberfächengleichung einsetzen. Nun erhältst du eine Gleichung für die Oberfläche, in der nur noch die Variable b vorkommt. Die Bestimmung des Minimums geht mit Differentialrechnung. Ich nehme an, das ist dir geläufig, oder? |
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| 12.10.2004, 15:05 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also, mit der Differenzialgleichung weiß ich nicht genau, wie ich das anstellen soll, wir haben da mal was zu gemacht, aber das kam nur kurz in ner LErnleistung vor. Ich hab das jetzt mit dem Taschenrechner gemacht. Dann krieg ich raus: b = 2,82 daraus dann nach einsetzen: c = 1,41 und s ebenfalls s=1,41 (jeweils cm) Stimmt das? Oder kommt da über die Differenzialgleichung was anderes raus? WIie mach ich das? Wie ist das jetzt bei der Aufgabe b? Muss ich da einfach über das b c und s ausrechnen und dann vergleichen, wie sich der MAterialverbrauch ändert? Aber das wär ja dann ziemlich einfach. oder kann ich da wieder eine Funktion bilden, deren Minimum ich dann suchen kann? |
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| 12.10.2004, 15:19 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Hilfe, suche Zielfunktion Das Minimum der Funktion mit der Differentialrechnung suchen geht wie folgt: Bilde die 1. Ableitung der Funktion und suche die Nullstellen. An den gefundenen Nullstellen können Extremwerte liegen. Für ein Minimum reicht es dann aus, wenn zusätzlich die 2. Ableitung der Funktion an dieser Stelle > 0 ist. Hat man das mit der Differentialrechnung noch nicht gemacht, kann man bei einer Parabel 2. Grades (das ist bei dieser Aufgabe der Fall) den Scheitelpunkt der Parabel bestimmen. Ich denke, das sollte gehen. Ich habe für das Minimum einen Wurzelausdruck raus. Poste mal deine Lösung auch als Wurzelausdruck. Die anderen Teilaufgaben gehen im Prinzip ähnlich. |
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| 12.10.2004, 17:50 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
HAb das jetzt probiert, mit der Differentialgleichung. ICh glaube, dass stimmt so weit, also ich habe jetzt raus: b= 2mal Wurzel 2, c und s sind jeweils Wurzel 2 krieg das nicht hin, mit der schreibweise hier. HAst du das gleiche raus? Oder ist da was falsch? |
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| 13.10.2004, 10:31 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also bei der Aufgabe a) habe ich für die Oberfläche: O(b) = 100/b + 15b + 16 das Minimum ist bei b = 2*Wurzel(5/3) Schreibe mal deine Formel und dann schauen wir, wer von uns den Fehler hat. |
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| 13.10.2004, 11:53 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ICh habe als Oberflächenfunktion von b die folgende: O(b) = 2*(4/b)*b+10*4/b + 4*b/2*4/b +5b = 16 + 40/b + 5b sieht irgendwie anders aus, oder? |
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| 13.10.2004, 12:08 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wie du selbst etwas früher schon geschrieben hast, ist: OHülle = Oberfläche Hülle =15c + 10b = 5(3c+2b) OBehälter=2cb+10c+4sc+5b Das zusammengesetzt ergibt für die Oberfläche: O = 15c + 10b + 2bc + 10c + 4sc + 5b = 25c + 15b + 2bc + 4sc Jetzt c = 4/b einsetzen: O = 100 / b + 15b + 8 + 16s/b Und jetzt noch s = 0,5 * b einsetzten: O = 100 / b + 15b + 16 |
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| 13.10.2004, 20:03 | GAst | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ach so, dann weiß ich jetzt, was ich da falsch gemacht habe!!! Ich habe nur eine teil-Oberfläche betrachtet. Dann probier ich das jetzt nochmal komplett! MAl schaun, ob es dann klappt! |
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| 14.10.2004, 20:22 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich weiß nicht, genau, ich glaub, da ist jetzt wieder was falsch: ich hab jetzt raus: b=2,582 = rund Wurzel 6,7 oder 1,875 * Wurzel 2 Sieht aber irgendwie nicht so sinnvoll aus. Was kommt da bei dir raus? Und was genau hast du mit der Funktion gemacht? |
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| 15.10.2004, 09:00 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
die Oberflächenfunktion ist O(b) = 15b + 16 + 100/b hast du das auch rausbekommen? die 1. Ableitung ist: O'(b) = 15 - 100 / b² davon die Nullstelle suchen: 100 / b² = 15 ==> b² = 100 / 15 = 20 / 3 b = 2 * Wurzel(5/3) =~ 2,582 (die negative Nullstelle ist nicht relevant) das ist auch dein Ergebnis. Ich würde aber mit dem Wurzelausdruck weiter rechnen. Mit gerundeten Ergebnissen rechnen ist nicht ohne Risiko. |
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| 15.10.2004, 15:20 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, so weit stimmen wir überein. c ist dann demnach 2 / Wurzel 5/3 und s = Wurzel 5/3 Stimmts? Für b) wähl ich jetzt dann einfach mal s = 1/4 b geht doch, oder? dann setzte ich das in die Oberflächengleichung aus Teil a) ein. Die sieht dann so aus: O = 100/b + 15b + 12 Also fast geich, bis aus den letzten Summanden. f' (b) = -100/ bb + 15 kann das sein? Das wäre ja dann wieder genau das gleiche, wieoben, oder? Demnach hätte ich dann aber auch wieder die gleiche Nullstelle, was wiederum heißen würde, dass es eigentlich egal ist, wie groß s ist, solange es ein Bruchteil von b ist, der nicht größer als 1/2 ist, oder? Das Ergebnis würde also folglich gleich bleiben, für größere b würde es sich aber anders verhalten. Richtig? Damit könnte ich ja dann zur letzten Frage übergehen, wo s= 1 festgelegt ist. Wenn ich jetzt wieder sage: s = 1/2 b könnte ich als Umkehrschluss daraus jetzt ja folgern, dass b = 2 ist, oder? da c= 4/b wäre c dann ebenfalls =2 Stimmt das soweit? Aber was kann ich da jetzt beobachten? Dass die Oberfläche zunimmt? Oder muss ich da jetzt noch was anderes machen? |
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| 15.10.2004, 15:51 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der 1. Halbsatz ist richtig. Beim 2. Halbsatz verstehe ich nicht, was du mit "für größere b" meinst. Bei der Aufgabe mit s = 1 hast du was falsch verstanden. Die Sache mit s = 0,5 * b war doch eine Annahme, die man in Aufgabe a) gemacht hat. In Aufgabe c) vergißt man das und sagt, wir schauen mal was mit s = 1 herauskommt. Du kannst da nicht b = 2 rausfolgern. |
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| 18.10.2004, 14:47 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also, ich meine, dass das, was ich jetzt da rausbekommen habe für alle Funktionen O (b) gilt mit s< oder s= 1/2 b. Stimmt das nicht? Wäre s jetzt ein anderer Bruchteil von b, wäre es anders, d.h. der Tiefpunkt würde auch woanders liegen, oder? Für c) hab ich jetzt mal das folgende raus: also ich habe wieder die Oberflächenfunktion aus Teil a) genommen und wieder c durch 4/b ersetzt und zusätzlich s durch 1. Dann kriege ich raus: O(b)= 120/b +15b +2 Ist das richtig? O'(b) = - 120/bb - 15 O''(b) = 240/bbb okay? DAnn kann ich wieder die Nullstellen suchen, hier ist das + - Wurzel 8, weil nur die positive sinnvoll ist also b= Wurzel 8 c ist folglich 2/ Wurzel2 und s wie festgelegt =1 Ist das das, was gefragt ist? ICh hab jetzt einfach mal die jeweiligen Ergebnisse für b,c,s in O(b) eingesetzt. Dann krieg ich aber raus, dass in Aufgabe a) O(b) gesamt=99,53cm2 ist und in Aufgabe c) O(b) geamt=91,43 cm2 DAmit hätte ich dann aber bei s =1 einen geringeren Materialverbrauch. Kann das stimmen? Ich sollte doch bei a) ausrechnen, wann der Materialverbrauch minimal ist. Jetzt ist es aber in c) kleiner, als das von mir errechete Minimum. Kann das sein? Oder ist das das, was man beobachten kann? Wenn nicht, was kann man dann beobachten bei c)? |
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| 18.10.2004, 20:05 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also das stimmt so nicht oder ich mißverstehe, was du meinst. Wie du auch schon festgestellt hast, gilt folgendes: Solange s ein Bruchteil von b ist, also s = t * b mit 0 < t < 1 (eigentlich kann t auch > 1 sein, dann sieht die Schachtel aber etwas komisch aus), kommt immer das gleiche Minimum für b raus, nämlich b_min = 2*Wurzel(5/3). Natürlich ändert sich etwas die gesamte Oberfläche O(b_min) als Absolutbetrag, weil ja ein anderes s gewählt wurde.
Zunächst mal folgendes: Die Aufgaben a) und c) haben unterschiedliche Voraussetzungen: Bei a) soll s = 0,5 * b sein (egal wie groß b ist), bei c) soll s immer = 1 sein. Das wird auch zu unterschiedlichen Ergebnissen führen. Bei s = 1 sieht meine Oberflächenfunktion so aus: O(b) = 116/b + 15b + 8 Deine Funktion sieht etwas anders aus, bitte nochmal nachrechnen. |
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