Diskussion einer Funktionsschar

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bcs Auf diesen Beitrag antworten »
Diskussion einer Funktionsschar
hallo!
hab probleme mit dieser aufgabe:
soll am mittwoch als referat halten!
die 1 hab ich naja schon einiger massen.
stellt sich dabei nur die frage was mit der 3 vor dem e beim ableiten passiert...
die andern aufgaben hab ich eigentlich noch gar nicht!
mach mich da heut dran!
die funktion soll g index k (x) = 3*e hoch -kx² heißen

also hier die aufgabe:

Gegeben ist die Funktionenschar gk(x) = 3e^(-kx²) mit k > 0.
1. Diskutieren Sie die Funktionsgraphen von gk und zeichnen Sie g1.

2. Zeigen Sie, dass sich alle Wendetangenten im Punkt
Sie die Flächeninhalte Ak, die die Wendetangenten jeweils mit der x-Achse einschließen.
3. In den Wendepunkten werden jeweils die Lote auf die Koordinatenachsen gefällt. Diese
Lote schließen mit den Koordinatenachsen Rechtecksflächen A'k ein.
Berechnen sie Ak: A'k.
4. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von k die Koordinaten des Schnittpunktes T der
Funktionen gk und g’k Berechnen Sie die Ortskurve des Schnittpunktes T.
5. Berechnen Sie die Kurvenpunkte von g1, die vom Ursprung die kleinste Entfernung haben. Wie groß ist diese Entfernung?



hoffe, dass ihr mir helfen könnt!
cu
christian
zt Auf diesen Beitrag antworten »

ist eine Konstante und mit der passiert nix.

Wie sehen denn deine ersten 2 Ableitungen aus?

Den Graphen kannst du alleine zeichnen?
 
 
bcs Auf diesen Beitrag antworten »

also, die erste hab ich jetzt gerechnet, aber die ergebnisse scheinen mir doch sehr komisch.
sollte eben diskutieren.
1. hab ich die Symmetrie zur y-Achse beweisen, weil da eben x² steht und das - dann + wird.
2. dadurch keine Punktysmmetrie zum Ursprung
3. Extremstellen
g' k (x) = -6kx e ^(-kx²)
hier ist doch x=0, dann 0 in g''k(x) eingesetzt kommt auch 0 raus!
aber irgendwie kann des doch nich stimmen.
weil des muss doch > bzw. < als 0 sein um dann entweder TP oder HP ist und was kommt so dann heraus?
bekomm dann einen Extrempunkt
g''k (x) = 12k²x² e ^(-kx²)
g'''k (x) = -24k³x³ e ^(-kx²)
und beim wendepunkt auch. bedeutet, dass dann das der Extrempunkt ein Wendepunkt ist?
Für x gegen + unendlich hab ich - unendlich
und für gegen - hab ich + rausbekommen!
werde mich dann mal an die 2 vorwagen!
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

du musst natürlich bei der 2. Ableitung die Produktregel anwenden!

Dann wirst du auch feststellen, dass es kein Wendepunkt ist.

bcs Auf diesen Beitrag antworten »

erstmal danke für die antworten!
so weiter gerechnet... bzw. verbessert...
g''k (x) = -6*k*e^(-kx²)+k*x³e^(-kx²)
dann g' k (x) = 0 => x=0
x=0 in g'' eingesetz: -6k => da k positiv -6k<0, also Hochpunkt

dann g'''k (x) = 2*k*x*e^(-kx²)*(1+1,5k+kx³)
dann g''k(x)=0 => x= \sqrt[3]{6}
g'''k ( \sqrt[3]{6} ) \neq 0 , denn kein produkt kann null werden also Wendestelle bei \sqrt[3]{6}

ja so weit bin ich jetzt. stellt sich wieder mal die frage, obs stimmt besonders die \sqrt[3]{6}
bei aufgabe 2 hab ich noch keine idee, darf aber noch krümmungsverhalten und solche geschichten machen!
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal würde ich sagen, dass deine 2. Ableitung falsch ist.









den Fall brauchen wir ja laut Aufgabenstellung nicht betrachten.

bcs Auf diesen Beitrag antworten »

also hab jetzt mal(hab nämlich freitag abends nix besseres zu tun!!) die 1 zusammen geschrieben, habs dann eingescannt und hochgeladen!
hab zu fast allem fragen...
ist des so richtig so?
aus dem steigen und fallen werd ich überhaupt nich schlau, steigt des bis -6k und hat dann sowas wie n hochpunkt und sinkt dann?
Ist den HP richtig?
was is das mit der stetigkeit? warum komm ich da dann auf einen Tiefpunkt?
hat die krümmung eine wendestelle bei +/- 1/ wurzel 2k ?
ist die bei + oder - links oder rechts gekrümmt?
ist der wendepunkt ein terrassenpunkt?

also hier die scans:
http://666kb.com/i/amon724mbivct8xwa.jpg
http://666kb.com/i/amon5olif49tm59qy.jpg
http://666kb.com/i/amon5kdj9j5tklsbe.jpg

gott ich hab schon lange nix mehr gerechnet...
im deinem profil steht, dass du in der 10ten bist, wir ham sowas in der 10ten aber noch nich gerechnet...
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
..die 1 zusammen geschrieben..

Das sieht man.

Zitat:
hab zu fast allem fragen...

Ich merk schon.

Zitat:
hat dann sowas wie n hochpunkt und sinkt dann?

Das hat ein HP so an sich, dass links davon die Funktionswerte größer werden und rechts davon fallen.

Zitat:
Ist denn HP richtig?

Ja, siehe Graph oben und deine / meine Rechnung.

Zitat:
was is das mit der stetigkeit?

Das fragst du dich reichlich spät. In deinen Aufzeichnung hast du ja bereits für den Def.- und Wertebereich festgelegt. Im Prinzip brauchst'de nur kuggn, ob irgendwo durch geteilt wird. Du weisst ja.. ist nicht definiert.

Zitat:
warum komm ich da dann auf einen Tiefpunkt?

Hört sich so an, als beziehst du das auf die Stetigkeit, oder was? (was keinen Sinn macht.)

Zitat:
hat die krümmung eine wendestelle bei +/- 1/ wurzel 2k ?

Ich glaube. Deine Rechnungen kann ich leider überhaupt nicht nachvollziehen. Schreib' doch bitte alles in mit dem Formeleditor aus dem Forum hier.

Zitat:
wendepunkt ein terrassenpunkt?

Das hast du ja selbst rausgekriegt. Hätte man aber auch am Graphen ablesen können. Btw.. deine 3. Ableitung ist falsch, aber nur minimal.




Wenn du Fragen hast, dann stelle sie bitte nacheinander.
bcs Auf diesen Beitrag antworten »

ok...
hab mal den HP ausgerechnet und bekomm dann und der y-wert wär für k=1 . des kann doch nich richtig sein.

für die krümmung hab ich , also linksgekrümmt und
also rechtgekrümmt. müsste eigentlich stimmen?!

für den wendepunkt bekomm ich ein ähnlich komisches ergebniss wie für den HP

also



und die werte find ich auch komisch, deswegen konnt ich für k=1 immer noch keinen Graphen zeichnen.. traurig
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
hab mal den HP ausgerechnet und bekomm dann


Die Extremstelle ist doch x=0

Zur Krümmung:

Die Krümmung ändert sich immer an den Wendestellen.
Wenn du 2 Wendestellen hast, dann gibt es 3 zu betrachtende Krümmungsintervalle.

Wendepunkte:

Die y-Koordinaten stimmen nicht...das k kürzt sich weg

Gruß Björn
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bcs
hab mal den HP ausgerechnet und bekomm dann und der y-wert wär für k=1 . des kann doch nich richtig sein.


Ist es auch nicht. Du hast weiter oben doch selbst rausgekriegt, dass das Extremum bei liegt. Also gilt für den Hochpunkt .

ist doch , oder? Also lautet der HP: . (Der HP ist also von nicht abhängig)

Soweit klar?

Deine Funktionenscharr für t=1..10 im Anhang!
bcs Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982
Zur Krümmung:

Die Krümmung ändert sich immer an den Wendestellen.
Wenn du 2 Wendestellen hast, dann gibt es 3 zu betrachtende Krümmungsintervalle.


also des mit der krümmung versteh ich etz gar nich mehr...

Zitat:
Original von Bjoern1982
Wendepunkte:

Die y-Koordinaten stimmen nicht...das k kürzt sich weg


ja stimmt, hab ich zur abwechslung mal übersehn.

aber hat des dann nich gleich mit der 2. aufgabe zu tun?
weil
2. Zeigen Sie, dass sich alle Wendetangenten im Punkt
Sie die Flächeninhalte Ak, die die Wendetangenten jeweils mit der x-Achse einschließen.
wie kommt man den an die wendetangenten?
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zt



Wendetangenten sind Geraden. Und Geraden haben die Form

.

Also musst du

nach auflösen, um die Tangentengleichung aufstellen zu können.

Edit: Deine Aufgabe 2 verstehe ich nicht. Da fehlt was, oder?
bcs Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe 2:
2. Zeigen Sie, dass sich alle Wendetangenten im Punkt
Sie die Flächeninhalte Ak, die die Wendetangenten jeweils mit der x-Achse einschließen.
habs ganz oben auch ausgebessert!

hab die 2 bisschen gerechnet und für die tangntengleichund ne formel in der sammlung gefunden!
meine rechnung:
http://666kb.com/i/ampbuepparmzek5e2.jpg
hab dann auch schon mal versucht zu integrieren, schaut aba auch komisch aus...
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bcs
Aufgabe 2:
2. Zeigen Sie, dass sich alle Wendetangenten im Punkt WAS?
Sie die Flächeninhalte Ak Hä?, die die Wendetangenten jeweils mit der x-Achse einschließen.


Was soll das heißen? Kannst du nichtmal einen Satz vervollständigen??
bcs Auf diesen Beitrag antworten »

sry wer lesen kann is halt doch im vorteil!
2. Zeigen Sie, dass sich alle Wendetangenten im Punkt schneiden und berechnen Sie die Flächeninhalte , die die Wendetangenten jeweils mit der x-Achse einschließen.
habs ganz oben auch ausgebessert!
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Klingt schon besser, aber eine Gerade kann keinen Flächeninhalt nur mit der x-Achse einschließen. Es muss noch eine andere Begrenzung geben: zBsp: Ein Intervall. Ist das die Aufgabenstellung in Wortlaut?
bcs Auf diesen Beitrag antworten »

1:1
aber der graph hat doch bei 0 sein maximum und zwar bei 3 und nich bei 3,6161
müsste der schnittpunkt aller wendetangente nich dann beim wendepunkt sein?
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du mal die Tangentengleichung aufgestellt?

Dann siehst du die Lösung nämlich sofort. Augenzwinkern
bcs Auf diesen Beitrag antworten »

ehm ich hab inzwischen als tangentengleichung
ohne x und k!
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schrieb doch:

Zitat:
Original von zt
Zitat:
Original von zt



Wendetangenten sind Geraden. Und Geraden haben die Form

.

Also musst du

nach auflösen, um die Tangentengleichung aufstellen zu können.

Edit: Deine Aufgabe 2 verstehe ich nicht. Da fehlt was, oder?



Wenn du das auflöst, dann erhälst du für nämlich was??
bcs Auf diesen Beitrag antworten »

dann bekomm ich
fehlt da nich irgendwie des ?

hab aus der formel sammlung diese formel: und wenn ich da einsetz bekomm ich
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme echt nicht mit was du da rechnest, zumal du alle wesentlichen Rechenschritte einfach unterschlägst!


Allgemeine Geradengleichung:


Du kennst einen Punkt, der auf der Wendetangente liegt. Nämlich:

Jetzt hat die Gleichung der Wendetangente nur noch eine Unbekannte nämlich :




mit , folgt

Und da du weisst, dass das in der Geradengleichung für den Schnittpunkt mit der y-Achse steht,
hast du festgestellt, das alle Wendetangenten durch du den Punkt gehen.
bcs Auf diesen Beitrag antworten »

ok habs!
bei m hast du gleich x mit eingerechnet!

heißt die gleichung der tangente:
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Okay! Hast du weitere Fragen?
bcs Auf diesen Beitrag antworten »

heißt die gleichung der tangente:


des halt steht aber schon oben und eben wie ich des eben integrier.

EDIT: hab etz mal versucht zu integrieren, und hab dabei die sachen vor dem x als konstante gesehn und hab deswegen:

gekommen.

bei aufgabe 3 hab ich mir überlegt, dass man die parallelen zu den achsen einfach nimmt, also die koordinaten von dem WP und dann in die Flächenformel vom Rechteck schmeisst. also:



dann muss man halt noch des verhältniss ausrechnen.

bei der 4ten weiß ich einfach nich was ne ortskurve is.
für den schnittpunkt hab ich einfach
gemacht und

und bei der 5 hab ich überhaupt keine idee.
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Stelle deine Fragen bitte nacheinander.

Wir haben doch eben festgestellt, dass der Anstieg folgendermaßen ist:




Wieso hat deine Tangentengleichung jetzt bitte eine andere Steigung? verwirrt
bcs Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zt

Jetzt hat die Gleichung der Wendetangente nur noch eine Unbekannte nämlich :




mit , folgt



weil du da geschrieben hast, dass des eine die steigung ist und des andere x. und in der tangentengleichung muss doch des x auch vorkommen?
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Ui, ui, ui..

Um eine Geradengleichung aufzustellen, musst du und bestimmen.

hatten wir ja sofort (über die Ableitung am Punkt ) und nach haben wir umgestellt.

Daraus folgt: Die Tangengleichung ist:



(Das war übrigens Stoff der 5. Klasse)
bcs Auf diesen Beitrag antworten »

sorry fürs wiederzwischenrein fragen
Zitat:
Original von zt





des hab ich doch nich verstanden, bzw. mach irgendwas bei ausrechnen falsch.
hab etz des auf meinem blatt stehn:

und wenn ich des dann komplett auflös kommt dann

kanns am anfang stand da:
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal solltest du korrekt bestimmen, bevor du dich an wagst:





Soweit klar?
bcs Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zt





bis dahin hab ichs genau gleich, aber dann rechne ich:


hab da dann den x-wert mit eingesetzt!






den wert dann in die geradengleichung und nach n aufgelöst:




hab dein m ergebniss in die gleichung eingesetz und komm dann so raus:


zt Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme bei dir echt nicht hinterher.

Du weisst schon, dass

ist?
bcs Auf diesen Beitrag antworten »

hä??
aber in der ableitung steht doch
wenn man den x-wert einsetzt, muss man doch multiplizieren und nich addiern bzw. subtrahieren?!
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Deswegen habe ich ja auch das Ungleichheitszeichen im letzten Beitrag verwendet.

Und wie kommst du dann auf:



? verwirrt
bcs Auf diesen Beitrag antworten »



da hab ich in die 1. ableitung x eingesetzt und


oder meinst du weil ich da des vergessen hab

so hab ichs auf blatt stehen:
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bcs
hab da dann den x-wert mit eingesetzt!


Für haben wir doch schon längst eingesetzt. da wo du meinst, wo ein stünde, steht aber ein !!

Bitte lies nochmal genau! Augenzwinkern
bcs Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber in der allgemeinen geradengleichung steht doch:

und

dann hab ich zu erst da einmal den x-wert eingesetzt und dann des ergebniss nochmal mit x multipliziert und dann -y, dann -n und mal *-1 gemacht. um auf n zu kommen!
bcs Auf diesen Beitrag antworten »

hab die 2te aufgabe so gelöst, wie ich denke komplett gelöst und mal wieder eingescannt.
http://666kb.com/i/amqkc4k863ciweqwn.jpg
http://666kb.com/i/amqkf7ixefsx6ilkn.jpg
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