Diskussion einer Funktionsschar

15.03.2007, 17:20

bcs

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Diskussion einer Funktionsschar

hallo!
hab probleme mit dieser aufgabe:
soll am mittwoch als referat halten!
die 1 hab ich naja schon einiger massen.
stellt sich dabei nur die frage was mit der 3 vor dem e beim ableiten passiert...
die andern aufgaben hab ich eigentlich noch gar nicht!
mach mich da heut dran!
die funktion soll g index k (x) = 3*e hoch -kx² heißen

also hier die aufgabe:

Gegeben ist die Funktionenschar gk(x) = 3e^(-kx²) mit k > 0.
1. Diskutieren Sie die Funktionsgraphen von gk und zeichnen Sie g1.

2. Zeigen Sie, dass sich alle Wendetangenten im Punkt $\begin{eqnarray*} S ( 0 ;\frac{6}{\sqrt{e}} ) \end{eqnarray*}$
Sie die Flächeninhalte Ak, die die Wendetangenten jeweils mit der x-Achse einschließen.
3. In den Wendepunkten werden jeweils die Lote auf die Koordinatenachsen gefällt. Diese
Lote schließen mit den Koordinatenachsen Rechtecksflächen A'k ein.
Berechnen sie Ak: A'k.
4. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von k die Koordinaten des Schnittpunktes T der
Funktionen gk und g’k Berechnen Sie die Ortskurve des Schnittpunktes T.
5. Berechnen Sie die Kurvenpunkte von g1, die vom Ursprung die kleinste Entfernung haben. Wie groß ist diese Entfernung?

hoffe, dass ihr mir helfen könnt!
cu
christian

15.03.2007, 17:32

zt

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$\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ ist eine Konstante und mit der passiert nix.

Wie sehen denn deine ersten 2 Ableitungen aus?

Den Graphen kannst du alleine zeichnen?

15.03.2007, 18:21

bcs

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also, die erste hab ich jetzt gerechnet, aber die ergebnisse scheinen mir doch sehr komisch.
sollte eben diskutieren.
1. hab ich die Symmetrie zur y-Achse beweisen, weil da eben x² steht und das - dann + wird.
2. dadurch keine Punktysmmetrie zum Ursprung
3. Extremstellen
g' k (x) = -6kx e ^(-kx²)
hier ist doch x=0, dann 0 in g''k(x) eingesetzt kommt auch 0 raus!
aber irgendwie kann des doch nich stimmen.
weil des muss doch > bzw. < als 0 sein um dann entweder TP oder HP ist und was kommt so dann heraus?
bekomm dann einen Extrempunkt
g''k (x) = 12k²x² e ^(-kx²)
g'''k (x) = -24k³x³ e ^(-kx²)
und beim wendepunkt auch. bedeutet, dass dann das der Extrempunkt ein Wendepunkt ist?
Für x gegen + unendlich hab ich - unendlich
und für gegen - hab ich + rausbekommen!
werde mich dann mal an die 2 vorwagen!

15.03.2007, 20:37

zt

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Hallo,

du musst natürlich bei der 2. Ableitung die Produktregel anwenden!

Dann wirst du auch feststellen, dass es kein Wendepunkt ist.

16.03.2007, 15:57

bcs

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erstmal danke für die antworten!
so weiter gerechnet... bzw. verbessert...
g''k (x) = -6*k*e^(-kx²)+k*x³e^(-kx²)
dann g' k (x) = 0 => x=0
x=0 in g'' eingesetz: -6k => da k positiv -6k<0, also Hochpunkt

dann g'''k (x) = 2*k*x*e^(-kx²)*(1+1,5k+kx³)
dann g''k(x)=0 => x= \sqrt[3]{6}
g'''k ( \sqrt[3]{6} ) \neq 0 , denn kein produkt kann null werden also Wendestelle bei \sqrt[3]{6}

ja so weit bin ich jetzt. stellt sich wieder mal die frage, obs stimmt besonders die \sqrt[3]{6}
bei aufgabe 2 hab ich noch keine idee, darf aber noch krümmungsverhalten und solche geschichten machen!

16.03.2007, 17:11

zt

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Erstmal würde ich sagen, dass deine 2. Ableitung falsch ist.

$\begin{eqnarray*} g_k(x)=3e^{-kx^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_k'(x)=-6kx{e^{-kx^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_k''(x)={6ke^{-kx^2}}\left(2kx^2-1\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_k''(x)=0\quad\Leftrightarrow\quad{x_{0,1}}=\pm\frac{1}{\sqrt{2k}} \end{eqnarray*}$

den Fall $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ brauchen wir ja laut Aufgabenstellung nicht betrachten.

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16.03.2007, 23:10

bcs

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also hab jetzt mal(hab nämlich freitag abends nix besseres zu tun!!) die 1 zusammen geschrieben, habs dann eingescannt und hochgeladen!
hab zu fast allem fragen...
ist des so richtig so?
aus dem steigen und fallen werd ich überhaupt nich schlau, steigt des bis -6k und hat dann sowas wie n hochpunkt und sinkt dann?
Ist den HP richtig?
was is das mit der stetigkeit? warum komm ich da dann auf einen Tiefpunkt?
hat die krümmung eine wendestelle bei +/- 1/ wurzel 2k ?
ist die bei + oder - links oder rechts gekrümmt?
ist der wendepunkt ein terrassenpunkt?

also hier die scans:

http://666kb.com/i/amon724mbivct8xwa.jpg

http://666kb.com/i/amon5olif49tm59qy.jpg

http://666kb.com/i/amon5kdj9j5tklsbe.jpg

gott ich hab schon lange nix mehr gerechnet...
im deinem profil steht, dass du in der 10ten bist, wir ham sowas in der 10ten aber noch nich gerechnet...

17.03.2007, 00:46

zt

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Zitat:

..die 1 zusammen geschrieben..

Das sieht man.

Zitat:

hab zu fast allem fragen...

Ich merk schon.

Zitat:

hat dann sowas wie n hochpunkt und sinkt dann?

Das hat ein HP so an sich, dass links davon die Funktionswerte größer werden und rechts davon fallen.

Zitat:

Ist denn HP richtig?

Ja, siehe Graph oben und deine / meine Rechnung.

Zitat:

was is das mit der stetigkeit?

Das fragst du dich reichlich spät. In deinen Aufzeichnung hast du ja bereits für den Def.- und Wertebereich $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ festgelegt. Im Prinzip brauchst'de nur kuggn, ob irgendwo durch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ geteilt wird. Du weisst ja.. $\begin{eqnarray*} \frac{\text{bla}}{0} \end{eqnarray*}$ ist nicht definiert.

Zitat:

warum komm ich da dann auf einen Tiefpunkt?

Hört sich so an, als beziehst du das auf die Stetigkeit, oder was? (was keinen Sinn macht.)

Zitat:

hat die krümmung eine wendestelle bei +/- 1/ wurzel 2k ?

Ich glaube. Deine Rechnungen kann ich leider überhaupt nicht nachvollziehen. Schreib' doch bitte alles in $\begin{eqnarray*} \text{\LaTeX} \end{eqnarray*}$ mit dem Formeleditor aus dem Forum hier.

Zitat:

wendepunkt ein terrassenpunkt?

Das hast du ja selbst rausgekriegt. Hätte man aber auch am Graphen ablesen können. Btw.. deine 3. Ableitung ist falsch, aber nur minimal.

Wenn du Fragen hast, dann stelle sie bitte nacheinander.

17.03.2007, 13:45

bcs

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ok...
hab mal den HP ausgerechnet und bekomm dann $\begin{eqnarray*} HP(-6k ; 3e^{36 k^{3}}) \end{eqnarray*}$ und der y-wert wär für k=1 $\begin{eqnarray*} 1,29*10^{16} \end{eqnarray*}$ . des kann doch nich richtig sein.

für die krümmung hab ich $\begin{eqnarray*} x>+ \frac{1}{\sqrt{2k}} \end{eqnarray*}$ , also linksgekrümmt und
$\begin{eqnarray*} x>- \frac{1}{\sqrt{2k}} \end{eqnarray*}$ also rechtgekrümmt. müsste eigentlich stimmen?!

für den wendepunkt bekomm ich ein ähnlich komisches ergebniss wie für den HP
$\begin{eqnarray*} x_{1/2} = \pm \frac{1}{\sqrt{2k}} \end{eqnarray*}$
also

$\begin{eqnarray*} WP_1 (\frac{1}{\sqrt{2k}} ; 3e^{- \frac{1}{2} k²}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} WP_2 (\frac{1}{\sqrt{2k}} ; 3e^{\frac{1}{2} k²}) \end{eqnarray*}$
und die werte find ich auch komisch, deswegen konnt ich für k=1 immer noch keinen Graphen zeichnen.. traurig

traurig

17.03.2007, 14:01

Bjoern1982

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Zitat:

hab mal den HP ausgerechnet und bekomm dann $\begin{eqnarray*} HP(-6k ; 3e^{36 k^{3}}) \end{eqnarray*}$

Die Extremstelle ist doch x=0

Zur Krümmung:

Die Krümmung ändert sich immer an den Wendestellen.
Wenn du 2 Wendestellen hast, dann gibt es 3 zu betrachtende Krümmungsintervalle.

Wendepunkte:

Die y-Koordinaten stimmen nicht...das k kürzt sich weg

Gruß Björn

17.03.2007, 14:02

zt

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Zitat:

Original von bcs
hab mal den HP ausgerechnet und bekomm dann $\begin{eqnarray*} HP(-6k ; 3e^{36 k^{3}}) \end{eqnarray*}$ und der y-wert wär für k=1 $\begin{eqnarray*} 1,29*10^{16} \end{eqnarray*}$ . des kann doch nich richtig sein.

Ist es auch nicht. Du hast weiter oben doch selbst rausgekriegt, dass das Extremum bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ liegt. Also gilt für den Hochpunkt $\begin{eqnarray*} \text{HP}\left(0/f(0)\right) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ , oder? Also lautet der HP: $\begin{eqnarray*} \text{HP}\left(0/3\right) \end{eqnarray*}$ . (Der HP ist also von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ nicht abhängig)

Soweit klar?

Deine Funktionenscharr für t=1..10 im Anhang!

17.03.2007, 14:39

bcs

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Zur Krümmung:

Die Krümmung ändert sich immer an den Wendestellen.
Wenn du 2 Wendestellen hast, dann gibt es 3 zu betrachtende Krümmungsintervalle.

also des mit der krümmung versteh ich etz gar nich mehr...

Zitat:

Original von Bjoern1982
Wendepunkte:

Die y-Koordinaten stimmen nicht...das k kürzt sich weg

ja stimmt, hab ich zur abwechslung mal übersehn.

aber hat des dann nich gleich mit der 2. aufgabe zu tun?
weil
2. Zeigen Sie, dass sich alle Wendetangenten im Punkt $\begin{eqnarray*} S ( 0 ;\frac{6}{\sqrt{e}} ) \end{eqnarray*}$
Sie die Flächeninhalte Ak, die die Wendetangenten jeweils mit der x-Achse einschließen.
wie kommt man den an die wendetangenten?

17.03.2007, 14:46

zt

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Zitat:

Original von zt
$\begin{eqnarray*} g_k''(x)={6ke^{-kx^2}}\left(2kx^2-1\right) \end{eqnarray*}$

Wendetangenten sind Geraden. Und Geraden haben die Form

$\begin{eqnarray*} y=mx+n \end{eqnarray*}$ .

Also musst du $\begin{eqnarray*} f\left(\pm{\frac{1}{\sqrt{2k}}}\right)=f'\left(\pm{\frac{1}{\sqrt{2k}}}\right)\cdot{\pm{\frac{1}{\sqrt{2k}}}}+n \end{eqnarray*}$

nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auflösen, um die Tangentengleichung aufstellen zu können.

Edit: Deine Aufgabe 2 verstehe ich nicht. Da fehlt was, oder?

17.03.2007, 15:19

bcs

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Aufgabe 2:
2. Zeigen Sie, dass sich alle Wendetangenten im Punkt $\begin{eqnarray*} S ( 0 ;\frac{6}{\sqrt{e}} ) \end{eqnarray*}$
Sie die Flächeninhalte Ak, die die Wendetangenten jeweils mit der x-Achse einschließen.
habs ganz oben auch ausgebessert!

hab die 2 bisschen gerechnet und für die tangntengleichund ne formel in der sammlung gefunden!
meine rechnung:

http://666kb.com/i/ampbuepparmzek5e2.jpg
hab dann auch schon mal versucht zu integrieren, schaut aba auch komisch aus...

17.03.2007, 15:28

zt

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Zitat:

Original von bcs
Aufgabe 2:
2. Zeigen Sie, dass sich alle Wendetangenten im Punkt $\begin{eqnarray*} S ( 0 ;\frac{6}{\sqrt{e}} ) \end{eqnarray*}$ WAS?
Sie die Flächeninhalte Ak Hä?, die die Wendetangenten jeweils mit der x-Achse einschließen.

Was soll das heißen? Kannst du nichtmal einen Satz vervollständigen??

17.03.2007, 16:08

bcs

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sry wer lesen kann is halt doch im vorteil!
2. Zeigen Sie, dass sich alle Wendetangenten im Punkt $\begin{eqnarray*} S (0 ; \frac{6}{\sqrt{e}} ) \end{eqnarray*}$ schneiden und berechnen Sie die Flächeninhalte $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ , die die Wendetangenten jeweils mit der x-Achse einschließen.
habs ganz oben auch ausgebessert!

17.03.2007, 16:29

zt

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Klingt schon besser, aber eine Gerade kann keinen Flächeninhalt nur mit der x-Achse einschließen. Es muss noch eine andere Begrenzung geben: zBsp: Ein Intervall. Ist das die Aufgabenstellung in Wortlaut?

17.03.2007, 16:42

bcs

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1:1
aber der graph hat doch bei 0 sein maximum und zwar bei 3 und nich bei 3,6161
müsste der schnittpunkt aller wendetangente nich dann beim wendepunkt sein?

17.03.2007, 16:55

zt

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Hast du mal die Tangentengleichung aufgestellt?

Dann siehst du die Lösung nämlich sofort. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.03.2007, 19:11

bcs

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ehm ich hab inzwischen als tangentengleichung $\begin{eqnarray*} y=3 \end{eqnarray*}$
ohne x und k!

17.03.2007, 19:15

zt

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Ich schrieb doch:

Zitat:

Original von zt

Zitat:

Original von zt
$\begin{eqnarray*} g_k''(x)={6ke^{-kx^2}}\left(2kx^2-1\right) \end{eqnarray*}$

Wendetangenten sind Geraden. Und Geraden haben die Form

$\begin{eqnarray*} y=mx+n \end{eqnarray*}$ .

Also musst du $\begin{eqnarray*} f\left(\pm{\frac{1}{\sqrt{2k}}}\right)=f'\left(\pm{\frac{1}{\sqrt{2k}}}\right)\cdot{\pm{\frac{1}{\sqrt{2k}}}}+n \end{eqnarray*}$

nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auflösen, um die Tangentengleichung aufstellen zu können.

Edit: Deine Aufgabe 2 verstehe ich nicht. Da fehlt was, oder?

Wenn du das auflöst, dann erhälst du für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nämlich was??

17.03.2007, 20:17

bcs

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dann bekomm ich $\begin{eqnarray*} n= 18 \frac{1}{\sqrt{2k}} e^{-\frac{1}{2}} -\frac{1}{\sqrt{2k}} +3e^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$
fehlt da nich irgendwie des $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

hab aus der formel sammlung diese formel: $\begin{eqnarray*} y = f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) \end{eqnarray*}$ und wenn ich da einsetz bekomm ich $\begin{eqnarray*} y=3 \end{eqnarray*}$

17.03.2007, 20:52

zt

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Ich komme echt nicht mit was du da rechnest, zumal du alle wesentlichen Rechenschritte einfach unterschlägst!

Allgemeine Geradengleichung:
$\begin{eqnarray*} y=mx+n \end{eqnarray*}$

Du kennst einen Punkt, der auf der Wendetangente liegt. Nämlich: $\begin{eqnarray*} \text{WP}\left(\overbrace{\pm\frac{1}{\sqrt{2k}}}^{x}\big/\overbrace{ f_k\left(\pm\frac{1}{\sqrt{2k}}\right)}^{y}\right) \end{eqnarray*}$

Jetzt hat die Gleichung der Wendetangente nur noch eine Unbekannte nämlich $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \overbrace{f_k\left(\pm{\frac{1}{\sqrt{2k}}}\right)}^{y}=\overbrace{f_k'\left(\pm{\frac{1}{\sqrt{2k}}}\right)}^{\text{Steigung}\ m}\cdot{ \overbrace{\pm\frac{1}{\sqrt{2k}}}^{x}}+n \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} y=\frac{3}{\sqrt{e}} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} m=(\pm{1})\cdot{\frac{(-3)\cdot \sqrt{2k}}{\sqrt{e}}} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} n=\frac{6}{\sqrt{e}} \end{eqnarray*}$

Und da du weisst, dass das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in der Geradengleichung $\begin{eqnarray*} y=mx+n \end{eqnarray*}$ für den Schnittpunkt mit der y-Achse steht,
hast du festgestellt, das alle Wendetangenten durch du den Punkt $\begin{eqnarray*} \text{S}\left(0\big/\frac{6}{\sqrt{e}}\right) \end{eqnarray*}$ gehen.

17.03.2007, 21:42

bcs

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ok habs!
bei m hast du gleich x mit eingerechnet!

heißt die gleichung der tangente:
$\begin{eqnarray*} g_{T_k}(x)= \frac{\pm 6}{\sqrt{e} \sqrt{2k}} x +\frac{6}{\sqrt{e}} \end{eqnarray*}$

17.03.2007, 21:52

zt

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Okay! Hast du weitere Fragen?

17.03.2007, 22:03

bcs

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heißt die gleichung der tangente:
$\begin{eqnarray*} g_{T_k}(x)= \frac{\pm 6}{\sqrt{e} \sqrt{2k}} x +\frac{6}{\sqrt{e}} \end{eqnarray*}$

des halt steht aber schon oben und eben wie ich des eben integrier.

EDIT: hab etz mal versucht zu integrieren, und hab dabei die sachen vor dem x als konstante gesehn und hab deswegen:
$\begin{eqnarray*} G_{T_k}(x)= \frac{\pm 6}{\sqrt{e} \sqrt{2k}} x² +\frac{6}{\sqrt{e}} x \end{eqnarray*}$
gekommen.

bei aufgabe 3 hab ich mir überlegt, dass man die parallelen zu den achsen einfach nimmt, also die koordinaten von dem WP und dann in die Flächenformel vom Rechteck schmeisst. also:
$\begin{eqnarray*} A= g h \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A= \frac{3}{\sqrt{e}} * \frac{1}{\sqrt{2k} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A= \frac{1,8}{\sqrt{2k}} \end{eqnarray*}$
dann muss man halt noch des verhältniss ausrechnen.

bei der 4ten weiß ich einfach nich was ne ortskurve is.
für den schnittpunkt hab ich einfach $\begin{eqnarray*} g_k(x)= g_k'(x) \end{eqnarray*}$
gemacht und $\begin{eqnarray*} T (-\frac{1}{2}k ; 3k² e^{-\frac{1}{4}k³} ) \end{eqnarray*}$

und bei der 5 hab ich überhaupt keine idee.

17.03.2007, 22:10

zt

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Stelle deine Fragen bitte nacheinander.

Wir haben doch eben festgestellt, dass der Anstieg folgendermaßen ist:

$\begin{eqnarray*} m=(\pm{1})\cdot{\frac{(-3)\cdot \sqrt{2k}}{\sqrt{e}}} \end{eqnarray*}$

Wieso hat deine Tangentengleichung jetzt bitte eine andere Steigung? verwirrt

verwirrt

17.03.2007, 22:15

bcs

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von zt

Jetzt hat die Gleichung der Wendetangente nur noch eine Unbekannte nämlich $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \overbrace{f_k\left(\pm{\frac{1}{\sqrt{2k}}}\right)}^{y}=\overbrace{f_k'\left(\pm{\frac{1}{\sqrt{2k}}}\right)}^{\text{Steigung}\ m}\cdot{ \overbrace{\pm\frac{1}{\sqrt{2k}}}^{x}}+n \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} y=\frac{3}{\sqrt{e}} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} m=(\pm{1})\cdot{\frac{(-3)\cdot \sqrt{2k}}{\sqrt{e}}} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} n=\frac{6}{\sqrt{e}} \end{eqnarray*}$

weil du da geschrieben hast, dass des eine die steigung ist und des andere x. und in der tangentengleichung muss doch des x auch vorkommen?

17.03.2007, 22:21

zt

Auf diesen Beitrag antworten »

Ui, ui, ui..

Um eine Geradengleichung aufzustellen, musst du $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bestimmen.

$\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ hatten wir ja sofort (über die Ableitung am Punkt $\begin{eqnarray*} x_{\text{Wendestelle}} \end{eqnarray*}$ ) und nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ haben wir umgestellt.

Daraus folgt: Die Tangengleichung ist:

$\begin{eqnarray*} y=(\pm{1})\cdot{\frac{(-3)\cdot \sqrt{2k}}{\sqrt{e}}}\cdot{x}+\frac{6}{\sqrt{e}} \end{eqnarray*}$

(Das war übrigens Stoff der 5. Klasse)

17.03.2007, 22:25

bcs

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sorry fürs wiederzwischenrein fragen

Zitat:

Original von zt

$\begin{eqnarray*} m=(\pm{1})\cdot{\frac{(-3)\cdot \sqrt{2k}}{\sqrt{e}}} \end{eqnarray*}$

des hab ich doch nich verstanden, bzw. mach irgendwas bei ausrechnen falsch.
hab etz des auf meinem blatt stehn:
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{\sqrt{e} } = \frac{-6k}{2k}-n \end{eqnarray*}$
und wenn ich des dann komplett auflös kommt dann
$\begin{eqnarray*} n= \sqrt e \end{eqnarray*}$
kanns am anfang stand da:
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{\sqrt{e} } = -6k(\pm \frac{1}{\sqrt{2k}})(\pm \frac{1}{\sqrt{2k}}) +n \end{eqnarray*}$

17.03.2007, 22:44

zt

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Erstmal solltest du $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ korrekt bestimmen, bevor du dich an $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ wagst:

$\begin{eqnarray*} g_k'(x)=-6kx{e^{-kx^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m=g_k'\left(\pm{\frac{1}{\sqrt{2k}}}\right) = (-6)\cdot{k}\cdot{\left(\pm{\frac{1}{\sqrt{2k}}}\right)} \cdot{e^{-k\cdot{\left(\pm{\frac{1}{\sqrt{2k}}}\right)^2}}} = (-6)\cdot{k}\cdot{\left(\pm{\frac{1}{\sqrt{2k}}}\right)} \cdot{e^{-\frac{1}{2}}}= (-3)\cdot{\left(\pm{\frac{\sqrt{2^2\cdot{k^2}}}{\sqrt{2\cdot{k}}}}\right)} \cdot{e^{-\frac{1}{2}}} = (-3)\cdot{\left(\pm{\sqrt{\frac{2^2\cdot{k^2}}{2\cdot{k}}}}\right)} \cdot{e^{-\frac{1}{2}}} = \frac{(-3)\cdot{\pm\sqrt{2\cdot{k}}}}{\sqrt{e}} \end{eqnarray*}$

Soweit klar?

18.03.2007, 14:04

bcs

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Zitat:

Original von zt
$\begin{eqnarray*} g_k'(x)=-6kx{e^{-kx^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m=g_k'\left(\pm{\frac{1}{\sqrt{2k}}}\right) = (-6)\cdot{k}\cdot{\left(\pm{\frac{1}{\sqrt{2k}}}\right)} \cdot{e^{-k\cdot{\left(\pm{\frac{1}{\sqrt{2k}}}\right)^2}}} = (-6)\cdot{k}\cdot{\left(\pm{\frac{1}{\sqrt{2k}}}\right)} \cdot{e^{-\frac{1}{2}}} \end{eqnarray*}$

bis dahin hab ichs genau gleich, aber dann rechne ich:
$\begin{eqnarray*} \frac{-6\pm \frac{1}{\sqrt{2k}}}{ \sqrt e } = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -6k \frac{\pm 1}{\sqrt{e} \sqrt{2k} }*\frac{\pm 1}{ \sqrt{2k} } = \end{eqnarray*}$ hab da dann den x-wert mit eingesetzt!

$\begin{eqnarray*} -6k \frac{ 1}{\sqrt{e} \sqrt{2k} }= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{ -6k }{\sqrt{e} \sqrt{2k} } = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{ -3}{\sqrt{e} } \end{eqnarray*}$
den wert dann in die geradengleichung und nach n aufgelöst:
$\begin{eqnarray*} \frac{ 3}{\sqrt{e} }=\frac{ -3}{\sqrt{e} }+n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n=\frac{6}{\sqrt{e} } \end{eqnarray*}$

hab dein m ergebniss in die gleichung eingesetz und komm dann so raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{ \sqrt{e}} = \frac{-3\pm \sqrt{2k}}{\sqrt{e} } +n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n= \frac{6 \pm \sqrt {2k}}{\sqrt{e}} \end{eqnarray*}$

18.03.2007, 14:26

zt

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Ich komme bei dir echt nicht hinterher.

Du weisst schon, dass

$\begin{eqnarray*} (-6)\cdot{k}\cdot{\left(\pm{\frac{1}{\sqrt{2k}}}\right)} \cdot{e^{-\frac{1}{2}}} \neq (-6)\cdot{k}\pm{\frac{1}{\sqrt{2k}}} \cdot{e^{-\frac{1}{2}}} \end{eqnarray*}$ ist?

18.03.2007, 14:33

bcs

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hä??
aber in der ableitung steht doch $\begin{eqnarray*} -6*k*x*e^{-kx²} \end{eqnarray*}$
wenn man den x-wert einsetzt, muss man doch multiplizieren und nich addiern bzw. subtrahieren?!

18.03.2007, 15:04

zt

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Deswegen habe ich ja auch das Ungleichheitszeichen im letzten Beitrag verwendet.

Und wie kommst du dann auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{-6\pm \frac{1}{\sqrt{2k}}}{ \sqrt e } = \end{eqnarray*}$

? verwirrt

verwirrt

18.03.2007, 15:08

bcs

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{-6\pm \frac{1}{\sqrt{2k}}}{ \sqrt e } = \end{eqnarray*}$

da hab ich in die 1. ableitung x eingesetzt und
$\begin{eqnarray*} e^{-0,5} = \frac {1}{\sqrt e} \end{eqnarray*}$

oder meinst du weil ich da des $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ vergessen hab

so hab ichs auf blatt stehen:
$\begin{eqnarray*} \frac{-6*\pm \frac{1}{\sqrt{2k}}}{ \sqrt e } = \end{eqnarray*}$

18.03.2007, 15:25

zt

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Zitat:

Original von bcs
$\begin{eqnarray*} -6k \frac{\pm 1}{\sqrt{e} \sqrt{2k} }*\frac{\pm 1}{ \sqrt{2k} } = \end{eqnarray*}$ hab da dann den x-wert mit eingesetzt!

Für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ haben wir doch schon längst $\begin{eqnarray*} \pm\text{bla} \end{eqnarray*}$ eingesetzt. da wo du meinst, wo ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ stünde, steht aber ein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ !!

Bitte lies nochmal genau! Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.03.2007, 15:38

bcs

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ja aber in der allgemeinen geradengleichung steht doch:
$\begin{eqnarray*} y=mx+n \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} m=g_k'(x)=6kxe^{-kx²} \end{eqnarray*}$
dann hab ich zu erst da einmal den x-wert eingesetzt und dann des ergebniss nochmal mit x multipliziert und dann -y, dann -n und mal *-1 gemacht. um auf n zu kommen!

18.03.2007, 20:38

bcs

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hab die 2te aufgabe so gelöst, wie ich denke komplett gelöst und mal wieder eingescannt.

http://666kb.com/i/amqkc4k863ciweqwn.jpg

http://666kb.com/i/amqkf7ixefsx6ilkn.jpg

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