n-maliger Münzwurf |
| 12.11.2003, 09:37 | asdJani | Auf diesen Beitrag antworten » |
| n-maliger Münzwurf Sie lautet: Eine faire Münze werden n-mal geworfen; pn sei die Wahrscheinlichkeit, dass dabei nie das Symbol "Zahl" zweimal hintereinander fällt. Geben sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum für dieses Experiment an, und bestimmen Sie eine Rekursionsformel für die Größen pn, n aus N Ich habe jetzt raus bekommen das für n>1 gilt: pn = (n+2^(n-2))/2^n Stimmt das so und ist dann dann schon in fertige Rekursionsformel? Müsste in der Formel nicht irgendwo pn-1 vorkommen? Bitte helft mir!!! 
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| 15.11.2003, 20:13 | martins1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Auf eine rekursionsformel könnte man folgendermaßen kommen: Sei k(n) die Anzahl an Möglichkeiten, eine Münze so zu werfen, dass Zahl niemals zweimal hintereinander auftritt und der letzte Wurf Kopf ist. z(n) sei das selbe wie k(n), nur ist der letzte Wurf Kopf. Sei p(n) die Wahrscheinlichkeit eine Münze n Mal zu wefen, ohne dass Zahl zweimal hintereinander auftritt. Man kann sich leicht überlegen, dass p(n)=(k(n)+z(n))/2^n. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Anzahl der günstigen Fälle durch die Anzahl der mäglichen Fälle. Weiters überlegt man sich, dass k(n+1)=k(n)+z(n). Wenn du eine Wurffolge hast, wo Zahl nie 2mal hintereinander auftritt und du wirfst Kopf, dann erhälst du eine neue sequenz mit dieser Eigenschaft. Außerdem ist z(n+1)=k(n). Nur wenn bei einer Wurffolge Kopf am Ende ist, kannst du Zahl anfügen, ohne dass Zahl zweimal hintereinander Auftritt. Wir haben damit folgende Rekursionsformeln: k(n+1)=k(n)+z(n)=k(n)+k(n-1) k(1)=1 z(1)=1=k(0) Damit ist p(n)=(k(n)+k(n-1))/2^n=k(n+1)/2^n Außerdem ist p(n-1)=k(n)/2^(n-1) und damit k(n)=2^(n-1)*p(n-1) Und p(n-2)=k(n-1)/2^(n-2) woraus folgt k(n-1)=2^(n-2)*p(n-2) Setzen wir in p(n) ein, erhalten wir p(n)=(2^(n-1)*p(n-1)+2^(n-2)*p(n-2))/2^n Nachdem man heraushebt und kürzt, bleibt übrig: p(n)=(2p(n-1)+p(n-2))/4 Bemerkung: Betrachtet man die Rekursionsformel für k(n), fällt auf, dass es die Rekursionsformel für die Fibonacci-Zahlen ist, allerdings aufgrund der Startwerte etwas verschoben. Es gilt: k(n)=f(n+1), wobei f(n) die Folge der Fibonaci-Zahlen bezeichnet. Damit ist auch p(n)=f(n+2)/2^n Und da es für die Folge der Fibonacci-Zahlen eine explizite Formel gitb, lässt sich auch für p(n) leicht eine explizite Darstellung finden. f(n)=1/sqrt(5)*(A^n-B^n) wobei A=(1+sqrt(5))/2 und B=(1-sqrt(5))/2 |
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| 16.11.2003, 13:19 | asdJani | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi Martins1, vielen Dank, hast mir sehr geholfen. 
Meinst Du, wenn ich das so ähnlich schreibe ist das in Ordnung oder muss ich die Rekursionsformel noch mal extra beweisen? Wenn ja, wie? Am Besten mit Induktion, oder? Mfg, Jani |
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| 16.11.2003, 14:58 | martins1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich glaube nicht, dass noch ein extra Beweis notwendig ist. Das wichtigste ist zu begründen, wie man auf die Rekursionsformeln für k(n) und z(n) kommt, und die Beziehung p(n)=(k(n)+z(n))/2^n. Das sind die einzigen Stellen, wo "nichtmathematisch" argumentiert wurde. Der Rest besteht nur aus Umformungen und Einsetzungen. Vielleicht bedarf die Beziehung k(n)=f(n+1) eines Beweises. Wie gesagt, ich glaube nicht, dass man noch einen Beweis dafür braucht. Diese Herleitung sollte auch genügen. |
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