Inzidenzaxiome / Parallelenaxiom |
| 15.03.2007, 21:18 | telefonmann | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Inzidenzaxiome / Parallelenaxiom wer kann mir eine Einweisung in die Axiomatik geben? Aufgabe: Die Menge E bestehe aus allen Punkten innerhalb des Einheitskreises, die Kreislinie gehört also nicht dazu, und die Geradenmenge G bestehe aus allen Sehnen innerhalb des Einheitskreises (Modell von Klein). Begründen Sie, dass dieses Modell den Inzidenzaxiomen aber nicht dem Parallelenaxiom genügt. Erst mal hab ich Schwierigkeiten mit dem 5. Inzidenzaxiom: Zu je drei auf ein und derselben Geraden liegenden Punkten gibt es höchstens eine Ebene mit der A, B, und C inzidieren. Wenn die drei Punkte auf einer Geraden liegen, dann müsste es doch unendlich viele Ebenen geben, nämlich all diejenigen, die um die Gerade "rotieren"?! Und warum genügt das Kleinsche Modell nicht dem Parallelenaxiom? Nehme ich eine beibige Sehne des Einheitskreises und einen beliebigen weiteren Punkt innerhalb des Einheitskreises, dann finde ich doch eine Parallele durch den Punkt zur Sehne. Genügt das nicht? Viele Grüße telefonmann |
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| 16.03.2007, 19:13 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Inzidenzaxiome / Parallelenaxiom
Vielleicht liegt es daran, dass du mehrere Parallelen findest und nicht nur genau eine. Kann das sein ? Bei der Ebene muss ich zunächst rückfragen: wie soll eine Ebene definiert sein ? Grüße Abakus 
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| 16.03.2007, 20:34 | telefonmann | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi Abakus, eine Ebene definiert sich doch grundsätzlich durch drei Punkte, oder? Zu: Nehme ich eine beibige Sehne des Einheitskreises und einen beliebigen weiteren Punkt innerhalb des Einheitskreises, dann finde ich doch eine Parallele durch den Punkt zur Sehne. Genügt das nicht? Hierbei gibt es nur eine einzige Parallele. Denke ich. Wie kann es denn mehrere Parallelen geben? Gruß telefonmann |
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| 17.03.2007, 00:05 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was ist denn per Definition genau eine Parallele ? Ist das hier nicht jede Sehne, die durch den vorgegebenen Punkt geht und die Ursprungssehne nicht schneidet ? Grüße Abakus
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| 17.03.2007, 19:40 | telefonmann | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn also im Kreis die Parallelen zu g1 wie unten abgebildet sind, heißt das, dass im Kleinschen Modell Parallelen auch so aussehen können, weil sie ja innerhalb des definierten Bereiches keinen Schnittpunkt aufweisen? 
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| 17.03.2007, 20:01 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Frage ist etwas ungenau und auf meine Fragen gehst du auch nicht ein. Parallel sind Geraden erstmal, wenn sie entweder gleich sind oder sich nicht schneiden. Nun gibt es zu einer Geraden g und einem nicht darauf liegendem Punkt P mehrere andere Geraden durch P, die g nicht schneiden. Es gibt also mehr als eine Parallele - und damit ist das Parallelenaxiom verletzt, wenn dort gefordert wird, dass es genau eine solche Parallele gibt. Grüße Abakus
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| 17.03.2007, 20:48 | telefonmann | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Frage ist etwas ungenau und auf meine Fragen gehst du auch nicht ein. Tut mir leid, war vor Erleuchtung ganz hin und weg 
Es gibt also mehr als eine Parallele - und damit ist das Parallelenaxiom verletzt, wenn dort gefordert wird, dass es genau eine solche Parallele gibt. Mein ich doch ;-) Ich glaub ich habs (bis dahin) gerafft. Danke Abakus! |
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