arithmetische Reihe

15.03.2007, 22:11

Nataliiiii

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arithmetische Reihe

Ich schreibe am Montag eine Klassenarbeit und bin dabei die ganzen Aufgaben durchzurechnen, denn von jedem Thema machen wir immer nur ein Paar in der Schule.

Die Textaufgabe lautet:

Bei einer trapezförmigen Dachfläche enthält die

oberste Ziegelreihe 274 Ziegel,
die zweite 288 und
die dritte 302.

Wie viele Dachziegel befinden sich in der untersten Reihe, wenn die Dachfläche aus insgesamt 17920 Dachziegeln besteht.

ich habe:

$\begin{eqnarray*} S_n =17920,~ a_1=274,~ d=14 \end{eqnarray*}$

gesucht ist ja n=? und dann an=? ich habe schon alles mögliche versucht. Hammer

Hammer

Ist hier vielleicht eine Möglichkeit die ich nicht kenne. für die Anwort bedanke mich im Voraus. DANKE

ModEdit: Latex

15.03.2007, 22:20

tigerbine

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RE: arithmetische Reihe, brauche bitte Hilfe
$\begin{eqnarray*} a_0=274 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1=288 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2=302 \end{eqnarray*}$

...

$\begin{eqnarray*} a_n = 274 + 14 \cdot n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_n=\sum_{j=0}^n(a_0 + 14 \cdot j) = a_0\cdot(n+1) + 14\cdot \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_n=17920 \end{eqnarray*}$

Wiki-Link

15.03.2007, 22:24

Nataliiiii

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RE: arithmetische Reihe, brauche bitte Hilfe
vielen Dank, aber leider kann ich nicht nachvollziehen deine Berechnung, geht es vielleicht einfacher? wäre sehr dankbar verwirrt

verwirrt

15.03.2007, 22:24

klarsoweit

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RE: arithmetische Reihe, brauche bitte Hilfe
Ist $\begin{eqnarray*} a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \end{eqnarray*}$ eine arithmetische Reihe, dann gilt:
$\begin{eqnarray*} S_n = \sum_{k=1}^n~a_k = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \end{eqnarray*}$

Jetzt a_n und die anderen bekannten Werte in die Formel für S_n einsetzen und nach n auflösen.

@tigerbine: man sollte sich noch einigen, ob die arithmetische Reihe mit a_0 oder a_1 anfängt.

15.03.2007, 22:25

Bert

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RE: arithmetische Reihe, brauche bitte Hilfe

Zitat:

Original von Nataliiiii

ich habe:

$\begin{eqnarray*} S_n =17920,~ a_1=274,~ d=14 \end{eqnarray*}$

gesucht ist ja n=? und dann an=?

Ja.

15.03.2007, 22:35

tigerbine

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RE: arithmetische Reihe, brauche bitte Hilfe
@klarsoweit:

Ich wollte es in Bezug zum Wiki-Artikel stellen. Mir ist es gleich ob wir bei 0 oder 1 anfangen. Dachte nur mit 0 wird es "einfacher" $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ zu erkennen.

Lieben Gruß Wink

Wink

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15.03.2007, 22:35

Nataliiiii

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RE: arithmetische Reihe, brauche bitte Hilfe
aber a(n) ist doch bei mir auch unbekannt

(also haltet mich bitte nicht für doof, aber ich kriege es nicht hin) unglücklich

unglücklich

15.03.2007, 22:38

tigerbine

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RE: arithmetische Reihe, brauche bitte Hilfe
Fasse diese 3 mal zu einer Gleichung zusammen. Dann gibt es nur noch eine Unbekannte, nämlich n Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} a_0 =274 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_n=\sum_{j=0}^n(a_0 + 14 \cdot j) = a_0\cdot(n+1) + 14\cdot \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_n=17920 \end{eqnarray*}$

15.03.2007, 22:56

Nataliiiii

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gibt es denn nicht noch einen einfacheren weg. ich mache zwar fachabi aber in der abendschule, wir haben pro woche nur 2 stunden mathe, wir sind nicht so weit bzw. uns werden die grundkenntnisse vermitteln keine vertiefungen

15.03.2007, 23:09

tigerbine

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lange in den TR eingeben Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} 17920 = 274\cdot(n+1) + 7 \cdot n(n+1) \end{eqnarray*}$

Ausmultiplizieren

$\begin{eqnarray*} 17920 = 274n+274 + 7n^2+7n \end{eqnarray*}$

Zusammenfassen und sortieren:

$\begin{eqnarray*} 0 = 7n^2+281n-17646 \end{eqnarray*}$

Nullstellen bestimmen:

$\begin{eqnarray*} n_{1,2} = \frac{-281 \pm \sqrt{573049}}{14} \end{eqnarray*}$

entscheiden, welches n richtig ist.

16.03.2007, 08:46

klarsoweit

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RE: arithmetische Reihe, brauche bitte Hilfe

Zitat:

Original von tigerbine
@klarsoweit:

Ich wollte es in Bezug zum Wiki-Artikel stellen. Mir ist es gleich ob wir bei 0 oder 1 anfangen. Dachte nur mit 0 wird es "einfacher" $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ zu erkennen.

Da Natali den Anfangswert mit a_1 bezeichnet hat, wäre es sicherlich besser, dies beizubehalten. Jetzt muß halt noch beachtet werden, daß die Lösung aus deiner Gleichung noch um 1 erhöht werden muß, um auf die Anzahl der Ziegelreihen zu kommen.

Bevor man sich auf einen Wiki-Artikel bezieht, hielte ich es für besser, erstmal mit Natali zu klären, welche Formeln sie aus der Abendschule kennt. Ob es richtig ist, die quadratische Gleichung bis ins letzte vorzurechnen, sei mal dahingestellt.

16.03.2007, 08:55

Nataliiiii

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ich bin dir wirklich dankbar für deine Hilfe. Das Ergebnis laut Lösungsbuch ist 35, ich kommen aber auf 34. Das ist aber egal, das Lösungsbuch muss ja auch nicht immer stimmen.

aber lösung nutzt mir wenig, ich möchte es verstehen.

die pq-Formel kann ich, aber warum durch 14 aufeinmal. kannst du mir vielleicht helfen, die Formeln bis zur pq Formel Schritt zu Schritt umzustellen.

im Lösungsbuch ist es so angegeben:

a(n)-a(1) 2xS(n)
n=-------------------- +1=-------------
d a(1)+a(n)

verwirrt

verwirrt

16.03.2007, 09:03

tigerbine

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Auf den Grund dafür, dass Du zur Lösung noch 1 dazuzählen musst, hast klarsoweit schon hingewiesen. Es liegt daran, dass ich bei j=0 begonnen habe.

Des weiteren habe ich zur Lösung der quadratischen Gleichung nicht die pq-Formel, sondern die abc-Formel verwendet.

Ich versuche mal dein Buch zu "übersetzen". Schreib bitte in latex klammern:

\frac{Zähler}{Nenner}

danke

16.03.2007, 09:16

Nataliiiii

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$\begin{eqnarray*} \frac{a_n-a_1}{d}+1= \frac{2\cdot S_n}{a_1+a_n} \end{eqnarray*}$

16.03.2007, 09:18

Nataliiiii

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gesucht ist n

bei dem zweiten Bruch soll es heißen 2 mal Sn

16.03.2007, 09:20

tigerbine

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und wo soll das n hingehören? Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.03.2007, 09:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von Nataliiiii
$\begin{eqnarray*} \frac{a_n-a_1}{d}+1= \frac{2\cdot S_n}{a_1+a_n} \end{eqnarray*}$

Genau genommen:
$\begin{eqnarray*} n = \frac{2\cdot S_n}{a_1+a_n} \end{eqnarray*}$
Das entspricht der von mir oben angegebenen Formel für S_n umgestellt nach n.
In dieser Formel kannst du noch a_n durch $\begin{eqnarray*} a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \end{eqnarray*}$ ersetzen. Dann hast du auf der rechten Seite nur noch bekannte Werte.

18.03.2007, 20:21

Nataliiiii

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vielen Dank für Eure Antworten, hat mir wirklich was gebracht. ich hoffe, dass der test morgen auch klappt

Freude

Freude

Wink

18.03.2007, 20:30

tigerbine

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Viel Erfolg!

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