Ableitung von arcsin(cos(x))

12.10.2004, 23:04

chiller

Ableitung von arcsin(cos(x))

Ich bin durch Zufall auf die Funktion f(x) = arcsin(cos(x)) gestossen,
die eine Zickzacklinie darstellt :

Bei der Ableitung hapert's dann aber :

$\begin{eqnarray*} f'(x) = - \frac{sin x}{\sqrt{1 - cos^2 x}} = -\frac{sin x}{sin x} = -1 \end{eqnarray*}$

Irgendwie kann das nicht sein.
Bitte um Aufklärung...

chiller

12.10.2004, 23:12

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1-\cos^2{x}} = \left| \; \sin{x} \; \right| \end{eqnarray*}$

Im übrigen gilt:

$\begin{eqnarray*} \arcsin{t}+\arccos{t}=\frac{\pi}{2} \, , \ t \in [-1,1] \end{eqnarray*}$

Somit folgt sofort:

$\begin{eqnarray*} x \in [0,\pi]: \ \ \arcsin{(\cos{x})} = \frac{\pi}{2} - \arccos{(\cos{x})} = \frac{\pi}{2} -x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \in [-\pi,0]: \ \ \arcsin{(\cos{x})} = \frac{\pi}{2} - \arccos{(\cos{x})} = \frac{\pi}{2} +x \end{eqnarray*}$

Der Rest folgt, weil die innere Funktion $\begin{eqnarray*} \cos{x} \end{eqnarray*}$ die Periode $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ besitzt.

Beachte, daß cos und arccos nur bezüglich der Intervalle $\begin{eqnarray*} [0,\pi] \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ Umkehrungen voneinander sind.

EDIT: Wieso wird das Pluszeichen in der zweiten Formel nicht angezeigt?

12.10.2004, 23:17

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

ps: die ableitung von $\begin{eqnarray*} \left|sin(x)\right| \end{eqnarray*}$ ist übrigens $\begin{eqnarray*} cos(x)sgn\left(sin(x)\right) \end{eqnarray*}$

12.10.2004, 23:19

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von iammrvip
ps: die ableitung von $\begin{eqnarray*} \left|sin(x)\right| \end{eqnarray*}$ ist übrigens $\begin{eqnarray*} cos(x)sgn\left(sin(x)\right) \end{eqnarray*}$

Wobei hilft das bei der Aufgabe?

12.10.2004, 23:20

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

weil er jetzt höchstwahrscheinlich

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{sin(x)}{\left|sin(x)\right|} \end{eqnarray*}$

ableiten will. und da hab ich das schonmal vorausschauend hingeschrieben Rock

12.10.2004, 23:26

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

nein, im Prinzip war 'er' schon fertig ....
die Zickzacklinie geklärt

12.10.2004, 23:30

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

aso. hab was verwechselt. Hammer

13.10.2004, 20:34

chiller

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, für die schnelle Aufklärung
P.S.: Wie man die Ableitung von Beträgen berechnet, weiß ich :
$\begin{eqnarray*} [ \mid x \mid ] ' = [ \sqrt{x^{2}} ] ' = \frac{x}{\sqrt{x^{2}}} = \frac{x}{\mid x \mid} \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Ableitung von arcsin(cos(x))

Verwandte Themen