vollständige induktion auf ungleichung anwenden

13.10.2004, 17:30

jan

vollständige induktion auf ungleichung anwenden

hallo,

bräuchte hierbei mal bitte hilfe:

Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Ungleichung:
Sei $\begin{eqnarray*} -1 < c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} c \neq 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} 1+n*c<(1+n)^{n} \end{eqnarray*}$

ich weiß, daß eine vollständige induktion aus induktionsanfang und induktionsschluß bestehen muß, aber ich bekomme keinen gescheiten ansatz hin...

danke.

13.10.2004, 17:39

Mazze

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Also das Ding sieht mir schon recht tricky aus. Klar ist das n abhaengig von c ist. Zu jedem c existiert ein n so dass die Ungleichung gilt.Aber nicht alle n erfuellen die Ungleichung. Waehle ich c = 10 so muss n mindestens 3 sein. Ich wuerde wohl zu erst den Zusammenhang von c und n ergruenden bevor ich mit der Induktion anfangen wuerde. Ich mach mir mal n Paar Gedanken dazu.

13.10.2004, 17:55

WebFritzi

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Um mal in klaren Worten zu sprechen: die Behauptung ist falsch! Fang nicht an, sie beweisen zu wollen. Das KANN nichts werden.

13.10.2004, 18:59

Mathespezialschüler

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@jan
Meinst du vielleicht

$\begin{eqnarray*} (1+c)^n>1+nc \end{eqnarray*}$

??

13.10.2004, 19:53

Mazze

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Zitat:

Um mal in klaren Worten zu sprechen: die Behauptung ist falsch!

Zu jedem c aus R findet man ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ in N so das die Behauptung gilt. Sieht man leicht daran das (1+n)^n wesentlich stärker wächst als 1+cn und so irgendwann größer sein muss. Allerdings kann man das imo nicht mehr über Induktion zeigen. Es ist sogar so das für alle $\begin{eqnarray*} n > n_0 \end{eqnarray*}$ die Aussage dann erst recht gilt.

13.10.2004, 20:39

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mazze
Zu jedem c aus R findet man ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ in N so das die Behauptung gilt.

Die Ungleichung. Nicht die Behauptung.

13.10.2004, 20:46

Mazze

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Zitat:

Die Ungleichung. Nicht die Behauptung.

Erschieß mich Hammer

13.10.2004, 20:55

Tobias

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Das Problem ist wohl eher, dass man zu jedem n ein c finden kann, für das die Ungleichung zu einer falschen Aussage wird. (Es sind ja alle c > -1 zugelassen).

Ich geh mal davon aus, dass hier eher die Bernoulli'sche Ungleichung gemeint ist, die MSS angesprochen hat:

$\begin{eqnarray*} (1+c)^n>1+nc \end{eqnarray*}$

Der Induktionsschluß ist hier ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} (1+c)^{n+1} = (1 + c)(1 + c)^n \end{eqnarray*}$

13.10.2004, 21:39

WebFritzi

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Editier das bitte wieder weg, Tobi. Wenn, dann soll er das doch selber machen.

14.10.2004, 10:59

jan

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hallo,

vielen dank für die hilfe, nur hab ich mich leider nicht verschrieben. die aufgabe lautet genau so, wie ich sie oben hingeschrieben habe. weiß troztdem noch jemand rat??

danke.

14.10.2004, 11:21

Tobias

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Wie wir schon sagten, da lässt sich nichts beweisen, denn die Ungleichung gilt nicht.

$\begin{eqnarray*} 1+nc < (1+n)^{n} \end{eqnarray*}$

Man findet zu jedem beliebigen $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ immer ein $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb{R}_{\geq -1} \end{eqnarray*}$ , so dass:

$\begin{eqnarray*} 1 + nc \geq (1+n)^n \end{eqnarray*}$ .

Würdest du die Aufgabe so formulieren, dann ginge es eventuell:

Gegeben sei ein festes $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb{R}_{\geq -1} \end{eqnarray*}$ . Ab einem $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ die Ungleichung ...
Aber das steht da ja nicht.

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