Basis eines Vektorraums |
| 13.10.2004, 19:47 | red-devil | Auf diesen Beitrag antworten » |
Basis eines Vektorraums
Hallo! Ich habe ein Problem mit der Lösung der folgenden Aufgabe: Für welche Werte des Parameters a bilden die folgenden Vektoren eine Basis von ? Gruss, red-devil |
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| 13.10.2004, 19:50 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ah interessantes Problem 
. Die Vektoren bilden dann eine Basis des R³ wenn alle 3 linear unabhängig sind. Es gibt da eine schöne Beziehung wie du das ganz leicht zeigen kannst. Wenn die Determinante der zugehörigen Matrix ungleich 0 ist so sind die Vektoren linear Unabhängig. Wenn Du die Beziehung nicht verwenden darfst zeig ich dir ganz schnell wie man das leicht beweisen kann
. |
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| 13.10.2004, 20:03 | red-devil | Auf diesen Beitrag antworten » |
also, im Unterricht haben wir das so gelöst. Wir haben das ganze in Stufenform gebracht, so dass am Ende das hier stand: -1 -1 a |0 0 a-2 2a-1 |0 0 0 a^2+2a+1 |0 dann: a^2+2a+1=(a+1)^2= 0 (also gleich Null gesetzt) a=-1 Aber in diesem Fall wäre ja dann die unterste Reihe komplett Null, was zur Folge hätte, dass es unendlich viele Lösungen gäbe. das wiederum heißt ja, dass die Vektoren linear abhängig sind, also keine Basis von R3. Oder irre ich mich da? |
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| 13.10.2004, 20:09 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hehe 
das ist genau das was ich gesagt hab. Wenn die Determinante 0 ist, sind die Vektoren linear Abhängig. Zeilenstufenform ist schon ein guter Weg , weil das ist nichts anderes als die Determinante zu berechnen. Wie Du richtig erkannt (wenn du richtig umgeformt hast) hast ist für a= -1 die Determinante 0. Das heißt für a =-1 sind die Vektoren linear abhängig und bilden keine Basis. Jetzt musst Du schauen wann in der zweiten Zeile zweiten Spalte eine 0 entsteht. Aha, für a = 2. Für a = 2 sind also die Vektoren auch keine Basis. Für alle anderen a sind die Vektoren eine Basis des R³
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| 13.10.2004, 20:13 | red-devil | Auf diesen Beitrag antworten » |
Stimmt, aber mit der Determinanten ist es einfacher. Dann war es doch so, wie ich gedacht habe. Wir haben nicht mehr dazu geschrieben, dass das genau die Zahl ist, bei der sie keine Basis bilden. Sah so aus, als wäre das die Zahl, bei der sie eine Basis bilden. Danke! Jetzt kann ich wenigstens schon mal eine meienr Aufgaben in der Mathe-Klausur morgen lösen! |
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