Ableitung von ln(x) |
| 12.11.2003, 21:03 | Bele | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Ableitung von ln(x) So, ich hab ein kleines Problem und irgendwie komme ich mit meinen Ansätzen nicht weiter. Wie leitet man y=ln(x) ab? Durch graphische Betrachtung ist mir klar, daß die Ableitung y'=1/x heißen muß, aber wenn ich versuche, rechnerisch von y zu y' zu kommen, hänge ich immer wieder an verschieden Stellen. Wäre nett, wnn ihr mir ein bisschen helfen könntet (rechenweg, bez. herleitung) |
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| 12.11.2003, 21:30 | movarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hi. Wie habt ihr die ln-Funktion denn definiert? Als Umkehrfunktion zur exp-Funktion? Dann bekommst du die Ableitung relativ einfach unter Verwendung der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion: f^(-1)(y)'=1/f'(f^(-1)(y)) exp'(x)=exp(x) und damit bekommt man dann sofort (ln(x))'=1/x. Oder habt ihr sie als ln:x->int[1;x]1/t dt definiert? Dann folgt die Ableitung sofort aus dem Hauptsatz der Integralrechnung. Vielleicht war ja die richtige Version schon dabei. Gruß Philipp |
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| 12.11.2003, 21:48 | Bele | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hi! Danke erstmal 
Kleine Frage zur Umkehrfeunktionsgrschichte. 1. Das f(y)^-1 bedeutet in dem Fall nicht 1/f(y), sondern einfach Umkehrfunktion, oder? Ich versuch nochmal aufzudröseln: f^-1(y') also umkehrfunktion = 1 / f'(f^(-1)(y)[b]also die Ableitung der Umkehrfunktion 
/b] ?exp(x) = exp'(x) <- das chack ich net so ganz... (ln(x))' = 1/x <- das ist wieder logisch 
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| 12.11.2003, 22:08 | movarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich nehme also an, dass ihr ln als die Umkehrfunktion zur e-Funktion definiert habt. Für die Ableitung der Umkehrfunktion einer Funktion, die ich, wie du richtig bemerkt hast, mit f^(-1) bezeichne, gilt: f^(-1)'=1/f'(f^(-1)) f(x) ist in diesem Fall also e^x, dann ist f^(-1)(x) gerade ln(x). e^x abgeleitet gibt ja wieder e^x, also ist f'(x) gerade e^x. Damit bekommt man: (ln(x))'=1/e^(ln(x)) und das ist, weil e^(ln(x)) ja gerade x ist, einfach 1/x, damit ist man fertig. |
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| 12.11.2003, 22:13 | Bele | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
(das ich ja nicht editieren kann, sorry) Das Thema ist in Mathe im Moment (noch) nicht aktuell. Es ist für den Physikunterricht.
Jo, es ist als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion definiert (be., haben wir es nur kurz angerissen) Die zweite Verion ist allerdings auch interessant, allerdings fehlt mir diese Definition. Als Ansatz (bessergesagt: Tipp) haben wir bekommen: x = e^y <- logisch, aber irgendwie hilft das mir auch nicht weiter, wenn ich versuche, diesen Term abzuleiten, komme ich auf: 1 = e^y' (?) Und da stecke ich vollkommen. Anders herum habe ich es auch versucht, also von 1/x auf den logarithmus (als Stammfunktion) zu kommen. theoretisch: (a/(n+1))*x^(n+1) | mit n=-1 und a=1 -> Hier stoße ich auf das Problem, daß ich im vorderen Quotient durch null teilen müsste -> nicht erlaubt, damit unlösbar. Der hintere Term würde 1 ergeben (x^0 =1 ). 
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| 12.11.2003, 22:25 | Bele | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wie geschrieben: ja
Hm, wo setze ich in diese Formel dann das f(x) ein?
Vorgang klar, Frage 2 Zeilen drüber
Jop, das ist verstanden Damit bekommt man: (ln(x))'=1/e^(ln(x)) und das ist, weil e^(ln(x)) ja gerade x ist, einfach 1/x, damit ist man fertig.[/quote] Danke
, so langsam verstehe ich's |
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| 12.11.2003, 22:28 | martins1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Herleitung von (ln x)' : x=e^y Ableiten 1=(e^y)*y' 1/(e^y)=y' Umformen der ursprünglichen Funktion: y=ln(x) einsetzen: y'=1/(e^ln x) y'=1/x Heureka, wir sind fertig. Die Potenzformel fürs integrieren, darf man nur dann anwenden, wenn der Exponent ungleich 1 ist, nur für die Fälle wurde sie bewiesen. Für 1/x, darf sie nicht angewendet werden!!! |
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| 12.11.2003, 22:39 | Bele | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Gerade bin ich durch movarians Version durchgestiegen (vielen dank nochmal
), da kommt dieses einfache Konsrukt
Dann kann es morgen ja losgehen... |
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| 12.11.2003, 22:53 | Bele | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Arg, eins noch. :P Mir will nicht einfallen, warum e^y abgeleitet e^y*y' ergeben soll, bez. wie man x = e^y ableitet. Ich schätze, bei seiten einzeln, damit ist x abgeleitet 1, aber wie gesagt, die andere Seite? |
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| 12.11.2003, 23:01 | jama | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
innere ableitung * äußere ableitung. und 
gruß, jama |
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| 12.11.2003, 23:22 | Bele | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Danke
Hier werd ich wohl öfter vorbeischauen...Kettenregel kann es nicht sein, da würde y*(e)^(y-1)*e' rauskommen. Innere * äußere Ableitung: Innere funktion ist e, äußere ist x^y. e abgeleitet ist e', x^y abgeleitet ist aber doch y*(x)^(y-1). Wo ist mein Denkfehler? |
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| 13.11.2003, 01:00 | jama | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ja 
bei e^y (!) ist die innere "funktion" "y" und die äußere "e^f(y)". zuerst leitet man die innere ab -> y' und multipliziert diese dann mit der äußeren -> e^f(y), also e^y innere * äußere => y' * e^y hoffe ich habs jetzt nichts verwechselt oder falsch ausgedrückt. eine weitere beispielaufgabe habe ich auch gefunden
falls dir das hilft: http://de.web-z.net/~mathe/thread.php?th...&hilightuser=24 hier 2 schritt-für-schritt gelöste beispielaufgaben (kettenregel): http://www.nachhilfemathe.gmxhome.de/Mat...Kettenregel.htm gute nacht! jama |
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| 13.11.2003, 15:40 | Bele | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich steige durch Integralrechnung schon durch, aber dieser Fall ist mir etwas perplex
Aber so wie du es sagst, würde es auf jeden Fall stimmen, da e-Funktion abgleitet gleich der e-funktion ist. Ich ärgere meinen Matheleher noch ein bisschen damit *g* |
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