stetigkeit |
| 14.10.2004, 13:51 | anon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| stetigkeit habe absolut keine Ahnung bei dieser aufgabe. kann jemand mir helfen: Ist für die Stetigkeit einer Funktion f die Bedingung, dass der Grenzwert von f für x gegen x0 existiert a) notwendig aber nicht hinreichend b)hinreichend aber nicht notwendig c)notwendig und hinreichend? Geben Sie den Wahrheitswert folgender Aussagen begründet an a) Sind die Funktion f,g : D-->R an der Stelle xo unstetig, dann ist auch die Funktion f+g: D-->R an der Stelle x0 unstetig. b) Ist f : [a,b] --> R auf [a,b] stetig und besitzt für ]a,b[ eine Nullstelle, so haben f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen. |
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| 14.10.2004, 14:03 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: stetigkeit 2b) Falsch. Um anders antworten zu können müsste es meiner Meinung nach heißen '... und besitzt für ]a,b[ GENAU eine Nullstelle ...' 2a) Falsch . |
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| 14.10.2004, 14:10 | anon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: stetigkeit 2b) nein, da steht nicht von GENAU EINE NST und kannst du mir erklären wieso sie falsch sind, ich kann es mir irgendwie nicht vorstellen. zu1) ich würde hier sagen,dass der Grenzwert von f für x gegen x0 existiert notwendig und hinreichend, da um die stetigkeit rauszukriegen, rechne ich jedes mal ob an dem Punkt einen Grenzwert existiert (der gleich ist, ob man von links oder von rechts an dem Punkt antastet) liege ich hier richtig? |
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| 14.10.2004, 14:28 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: stetigkeit Zu 2b) besitzt eine Nullstelle schließt die Möglichkeit einer weiteren Nullstelle in diesem offenen Intervall ja nicht aus. Zudem ist NICHT auszuschließen, dass sowohl f(a) als auch f(b) Null sein könnten und du musst ja vom ungünstigten Fall ausgehen. ... und wie du gerade siehst, gehts sogar mit 'GENAU einer Nullstelle' auch nicht, weil eben die Randwerte auch Nullstellen sein könnten. ... und eine Berühr-Nullstelle (f bleibt auf der 'gleichen Seite') ist ebenfalls noch möglich |
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| 14.10.2004, 14:38 | chiller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Zu 1) c ist richtig, da die Defintion von Stetigkeit so lautet : Die Funktion ist an der Stelle genau dann stetig, wenn ist. Dieser Ausdruck "genau dann, wenn" in der Def. heißt, dass die Bedinging hinreichend und notwendig ist. |
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| 14.10.2004, 14:41 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
1a) ist richtig ,... musst dieses Zeug schon sehr wörtlich und genau nehmen. nimm z.B folgende Funktion f(x) = x die simple Gerade mit der Steigung 1 nun definierst du z.B. hinzu: für x=0 soll f(0) nicht Null sondern solle 1 sein. dann ist's nachwievor eine Funktion, alle Funktions-Grenzwerte existieren, AUCH an der Stelle x=0, aber das Ding ist nicht stetig . |
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| 14.10.2004, 15:01 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Poff hat recht, denn der Grenzwert von f(x) für x->x0 kann ja existieren, aber nicht f(x0) sein. Wie bei seiner Funktion für x0 = 0. |
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| 14.10.2004, 17:30 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Man müsste für die Lösung der Aufgabe 1 schon wissen, wie ihr Stetigkeit und den Grenzwert einer Funktion definiert habt. Nach den Definitionen im Heuser sind alle 3 Aussagen falsch (die Existenz des Grenzwertes ist da nämlich weder hinreichend noch notwendig), nach den Definitionen im Forster ist allerdings a) richtig, denn dort gilt, eine Funktion ist genau dann stetig in x0 aus D_f, wenn der Grenzwert von f für x->x0 existiert. |
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| 14.10.2004, 20:09 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Philipp-ER ich weiß, das hatten 'wir' hier schon mal gehabt. Die Definition von Forster ist aber eher die unübliche als die übliche und da wird übrigens was anderes definiert als das was du gepostet hast, glaub ich zumindest mich zu erinnern ... Nach den Definitionen im Heuser sind alle 3 Aussagen falsch (die Existenz des Grenzwertes ist da nämlich weder hinreichend noch notwendig) wieso soll die Existens des Grenzwertes nicht notwendig sein ?? wegen der 'isolierten Punkt' Geschichte ?? du übersiehst noch etwas, dass nämlich oben in der Aufgaben- stellung NICHTS davon stand dass dieser GW mit dem FW überein- stimmen würde .... :-o nach den Definitionen im Forster ist allerdings a) richtig, denn dort gilt, eine Funktion ist genau dann stetig in x0 aus D_f, wenn der Grenzwert von f für x->x0 existiert dann wäre nicht a richtig sondern c . |
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| 14.10.2004, 20:45 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Als ich in einer Newsgroup nachgefragt habe, kamen durchaus einige angesehene Leute, die der strikten Überzeugung waren, die Definition im Forster sei die "richtige". Und Forster kann ja schon irgendwie als eines DER Standardwerke der Analysis bezeichnet werden.
Genau.
Nein, denn das x0 aus der Aufgabe muss nicht zum Definitionsbereich gehören (in der Äquivalenz habe ich jedoch x0 aus D_f geschrieben). Der Grenzwert kann natürlich trotzdem existieren, doch von Stetigkeit kann keine Rede sein, weshalb es nicht hinreichend ist. Und dass im Fall x0 aus D_f die Forderung nach der Existenz ausreichend ist (=f(x0) also nicht gefordert werden muss), hatten wir ja schonmal diskutiert oder wo genau meintest du übersähe ich es? |
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| 14.10.2004, 20:56 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Philipp-ER Was hat das mit den isolierten Punkten zu tun? Da muss doch auch ein Grenzwert existieren (, auch wenns nur ne "Konsttantfolge" ist).
Das heißt, da ist die Existenz notwendig und hinreichend? Ich finde diese Definition nicht 'gut'. Also wenn die Funktion an diesem Punkt nicht definiert ist, dann ist sie trotzdem stetig, falls der Grenzwert existiert? Aber was ist, wenn der Grenzwert existiert, die Funktion an diesem Punkt auch definiert ist, aber der Grenzwert nicht mit dem Funktionswert an dieser Stelle übereinstimmt? |
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| 14.10.2004, 21:34 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Im Heuser ist der Grenzwert einer Funktion nur für Häufungspunkte ihres Definitionsbereiches definiert, bei isolierten Punkten kann man also das Grenzwertkriterium hier nicht anwenden, dabei ist die Funktion in dem isolierten Punkt sehr wohl stetig. Damit haben wir schonmal keine Notwendigkeit.
Hinreichend und notwendig ist es nach der Definition im Forster nur für Punkte des Definitionsbereiches, denn eine Funktion kann nicht in einem Punkt außerhalb ihres Definitionsbereiches stetig sein.
Dieser Fall kann im Forster nicht auftreten, da der Grenzwert für Punkte des Definitionsbereiches nur existiert, wenn er mit dem Funktionswert übereinstimmt. |
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| 14.10.2004, 21:45 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann müsste es aber auch noch eine Definition für isolierte Punkte geben!
Heißt das jetzt, Forster sagt ?? |
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| 14.10.2004, 21:47 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mathespezialschüler, beim Forster ist das so definiert (wenn ich mich recht erinnere ;-/), dass der Funktionsgrenzwert per Def nur dann existiert wenn er auch mit dem Funktionswert übereinstimmt. Ist das nicht der Fall, dann existiert er eben nicht .... so in dem Dreh jedenfalls ... das ist aber eher unüblich und es gibt ne Menge namhafter Leute neben Forster und es gibt Zeiten vor Forster ... ansonsten macht es keinen Sinn darüber zu streiten
sehr wohl stetig ..... das ist NICHTS als PURE Definition, nicht vergessen, oder überseh ich da was ;-/ |
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| 14.10.2004, 22:02 | chiller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also ich denke, dass wenn entweder 1) x nicht aus D_f ist oder 2) der Grenzwert nicht existiert oder 3) der Grenzwert ungleich dem Funktionswert ist dann ist die Funkiton unstetig (an dem einen Punkt aber nur). Das würde z.B. auch für Polstellen gelten (x nicht aus D_f). |
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| 15.10.2004, 01:49 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
... um diesem 'Isolierten Punkte Prob' den Garaus zu machen, wird folgendes definiert: Ist u ein isolierter 'Punkt' aus dem Definitionsbereich der Funktion f, so gilt immer für x->u lim(f(x)) := f(u) fertig, ... außerm Feinschliff |
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| 15.10.2004, 06:10 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Philipp-ER: Der Heuser springt da etwas aus der Reihe. Ich sehe keinen Grund, warum man Stetiskeit nicht auch in isolierten Punkten des Definitionsbereichs definieren sollte. Der Forster und der Königsberger schließen solche Punkte auch mit in ihre Definition ein. Insofern ist im Allgemeinen nur 1a) richtig. Speziell für isolierte Punkte ist 1c) richtig. |
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| 15.10.2004, 15:21 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Stetigkeit definiert er durchaus auch in isolierten Punkten, nicht jedoch den Grenzwert, weshalb es bei ihm nur für Häufungspunkte des Definitionsbereiches einen Zusammenhang zwischen Grenzwert und Stetigkeit gibt. Aber das alles ist eine ziemlich uninteressante Diskussion, die ich besser nicht angestoßen hätte und aus der ich mich hiermit gerne zurückziehen würde. |
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| 15.10.2004, 15:45 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Kein Problem. 
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