Durchschnitt bei Funktionen

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Mathestudent Auf diesen Beitrag antworten »
Durchschnitt bei Funktionen
Hi Leute,

ich bin ein klein wenig in der Zwickmühle. Hoffe ihr könnt mir helfen.
Folgendes Problem:
Seien X,Y Mengen, sei f:X->Y eine Abbildung und seien A,B Teilmengen von X. Man zeige:

(i) f(A geschnitten B) = f(A) U f(B)
(ii) f(A geschnitten B) Teilmenge f(A) geschnitten f(B)

Bitte erklär mir mal jemand wie ich das zu verstehen habe mit dem Durchschnitt bzw. der Vereinigung von Mengen bei einer Abbildung.

Ist es möglich das ich die Funktionsvorschrift garnicht betrachten brauche und einfach äquivalente Umformungen machen kann das ich von (A geschnitten B) nach (A U B) komme?

Vielen Dank für eure Antwort

Mathestudent
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es. (i) hast du übrigens falsch abgetippt. Es muss heißen:



f(A) ist die Menge aller y, zu denen es ein x aus A gibt, so dass f(x) = y:



Du fängst so an: Es sei . Dann folgt...
Mathestudent Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig geschrieben
Hi, traurig

also entweder der prof hat sich bei der Aufgabe vertippt oder auf deiner Seite liegt ein Fehler vor, denn ich habe die Aufgabe genauso abgetippt wie sie hier auf dem Übungsblatt steht.
Nämlich:

(i) f(A geschnitten B) = f(A) vereinigt f(B)
(ii) f(A geschnitten B) = f(A) geschnitten f(B)

Mathestudent Hammer

Die ganze Aufgabe kann man doch über den satz von De´Morgan beweisen oder nicht?

y f(A geschnitten B)
Daraus folgt: y f(A) und y f(B)
daraus folgt: y f(A) oder y f(B)
daraus folgt: y f(A) vereinigt f(B)
Mathestudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt bei Funktionen
Hi,

ich nochmal
Habe mir heute folgendes überlegt: file:///C:/Dokumente%20und%20Einstellungen/Christian/Eigene%20Dateien/Eigene%20Bilder/Unbenannt.JPG

Könnte mir vielleicht hier jemand sagen ob das richtig ist?
Aus dem obigen Bild folgt dann doch nicht automatisch das die Funktion surjektiv sein muss. Oder?
Vielen Dank für eure Antworten. Gott

Mathestudent
Mathestudent Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry
Hi Leute,

ich muss mich bei euch entschuldigen bzw. eigentlich müßte ich den Fehler dem Prof von uns zuschreiben, denn das war falsch geschrieben auf dem Aufgabenblatt.
Meine Lösung zu der Aufgabe lautet folgendermaßen:







Ist der Beweis soweit schlüssig genug?

Bitte um Antwort

Vielen Dank
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sorry
nee, für MICH ist der 'Beweis' Müll . Augenzwinkern
.
 
 
Mathestudent Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Müll
Hi Poff,

wenn der Beweis für dich Müll ist, kannst du mir dann sagen was ich anders machen kann bzw. wo ich den Fehler eingebaut habe?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Müll
also mal abgesehen davon, dass mir vieles daran nicht gefällt,
hättest du, selbst wenn das alles sauber wäre immerhin erst

gezeigt dass f(AuB) c f(A) u f(B) ...
.
Mathestudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Müll
Wäre es dir denn möglich mir zu sagen was ich genau falsch gemacht habe bzw. mir die RICHTIGE LÖSUNG zu geben?

Vielen Dank
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Mathestudent

Ich weiß nicht, ob es dir hilft. Aber versuche doch erst einmal zu verstehen, was du beweisen sollst, bevor du dich an einen formalen Beweis begibst.


Ich will es einmal so sagen:

Ob du erst die zwei Mengen A und B "zusammenwirfst" und dann ihre Elemente mit Hilfe von f "hinüberbringst" oder ob du erst die Elemente von A mit f "hinüberbringst", dann die von B "hinüberbringst" und dann erst die "hinübergebrachten" Elemente "zusammenwirfst", ist egal.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Müll
also, das fängt schon in deiner ersten Zeile an


woraus ist das x denn nun ?? aus dem ersten oder zweiten Teil ??

dann



da ist das 'daraus folgt Zeichen' Müll

dann schreibst du das, was du beweisen willst einfach so dahin
und folgerst daraus dann das was du beweisen willst ...
so etwa in dem Dreh ...


und wie gesagt, wenn überhaupt dann sagt das bestenfalls

f(AuB) c f(A) u f(B) ...


und NICHT f(AuB) = f(A) u f(B) ...

.


und sonst kann ich mich 'Leopold' nur anschließen ...
Mathestudent Auf diesen Beitrag antworten »
Neuer Beweisansatz
Also wenn das jetzt auch falsch ist dann verzweifle ich. traurig

Gegeben f:X-->Y und A,B Teilmenge X

Definition der Teilmenge sagt:

und


Weiterhin gilt: f:A-->Y f:B-->Y
a|-->f(a) b|-->f(b)






Falls jetzt auch dieser Beweis falsch sein sollte, verwirrt so möchte ich doch jemanden von euch bitten mir den endgültigen Beweis zu geben.
Ich weiß zwar das das nicht sind und Zweck dieses Boards ist, doch wie ihr seht tue ich mich ziemlich schwer mit diesem Beweis.
Aus diesem Grund nochmal die Bitte das ihr mir dann weiterhelft.

VIELEN VIELEN DANK

Mathestudent Gott Gott
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Neuer Beweisansatz
Nein, das ist auch nichts 'Richtiges'.

Da es ein einfacher Sachverhalt ist, denke ich mal es geht dir
mehr um einen formal korrekten Beweis (sozusagen als Übung),
als um das Problem selbst.


z.B.

Zitat:
Original von Mathestudent
...
Definition der Teilmenge sagt:

und

...


das ist falsch :-oo

die Definition der Teilmenge sagt,
falls x aus A, dann ist x aus X bzw,
falls x aus B, dann ist x aus X,

...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt auch ungeschriebene Konventionen, die dir und anderen das Lesen und Arbeiten erleichtern. So würde es sich z.B. anbieten, die Elemente von X durch x zu bezeichnen, alles, was von der Gestalt f(...) ist, irgendwie durch y,y',y* usw. zu kennzeichnen.

Du sollst zeigen:

Links und rechts des Gleichheitszeichens steht eine Menge. Du mußt daher zeigen, daß ein Element genau dann zur linken Menge gehört, wenn es auch zur rechten Menge gehört. Oft läßt sich das zerlegen in die zwei Bestandteile: . Manchmal geht es aber auch gut in einem.

Ich fange einmal an. Es sei ein Element der linken Menge. Dann ist Bild eines , welches in , also in oder liegt:



Siehst du, daß wir jetzt eigentlich schon am Ziel sind?
Versuche einmal selbst, die Sache zu Ende zu bringen.
Mathestudent Auf diesen Beitrag antworten »
Schluss des Beweises
Also ich habe jetzt den Schluß des Beweises mal aufgeschrieben




äquivalent


äquivalent

äquivalent


Jetzt hoffe ich das das ich den Beweis, nach Leopolds Hilfe Gott richtig zu Ende geführt habe.
Wäre für ein kurzes Statement nochmal dankbar.

Mathestudent Wink
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt.
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