Extremwert |
14.10.2004, 22:35 | GhostOfWar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Extremwert Einem Kreis soll ein Dreieck mit maximaler Flächeninhalt einbeschrieben werden. Dazu hab ich mit meiner Methode (zweites Bild, also Höhe des Dreiecks gleich y+r) auf gekommen. Im Lösungsbuch (erstes Bild) ist aber die Formel . Wieso ist meine Formel falsch? |
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14.10.2004, 22:46 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Extremwert Deine ist nicht falsch. Du hast halt nur ne andere Bezeichnung gewählt und nach der anderen Variablen umgestellt.Für y wirst du dann das rausbekommen, was die für x haben ... |
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14.10.2004, 22:48 | GhostOfWar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Extremwert Bist du sicher? Ich hab ein paar Zahlen und nicht das gleiche bekommen |
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14.10.2004, 23:06 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Extremwert Dann sag doch mal, was du raushast und was das Buch sagt!? |
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16.10.2004, 20:45 | GhostOfWar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Extremwert Also für r=1 mit x=0.5: Ich hab auch die Extrempunkte bestimmt aber die sind nicht gleich. Natürlich hab ich ne andere Beziehung gewählt aber die Funktion hängt ja von x ab. |
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16.10.2004, 20:56 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Extremwert Lösung gleichseitiges Dreieck mit Seite a a = sqrt(2*r^2 -2*r^2*cos(120°)) = sqrt(2*r^2+r^2) = r*sqrt(3) so würd ich das mal 'schätzen' OHNE das durchgerechnet zu haben kannst ja mal prüfen ob das mit deinem x,y Klimbimm zusammen- passt, denn abgesehen von einem Rechenfehler kann das von mir ermittelte kaum falsch sein. Die Fläche ist weiter auch kein Thema F = 1/4 * Seite^2 * sqrt(3) bzw. F = ... |
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16.10.2004, 21:46 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Extremwert Also: die halbe Basisseite des Dreiecks hab ich mit y bezeichnet, die Höhe des Dreiecks mit x + R(Kugel). HB: A = y mal (x +R) >> max. NB: x² + y² = R² y² = R² - x² y² = squrt(R² - x²) in HB: A(x) = sqrt(R² - x²) * (x + R) A(x) = sqrt[ (x + R)² * (R² - x²)] f²(x) = (x + r)² * (R² - x²) f²'(x) = 2 * (x + R) * (R² - x²) + (x + R)² * (-2x) das 0 setzen und (x + R) herausheben: (x + R) * [ 2(R² - x²) - 2x( x + R)] = 0 x + R = 0 [ x = -R ] >> keine reelle Lösung oder 2(R² - x²) - 2x (x + R) = 0 .... x² + (Rx)/2 - R²/2 = 0 x1 = R/2 >> reell x2 = - ... >> nicht reell Amax = [3 R² * sqrt(3)]/ 4 lg kiki |
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16.10.2004, 22:10 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Extremwert Amax = [3 R² * sqrt(3)]/ 4 richtig, dann wird der Rest auch stimmen *g* . |
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16.10.2004, 22:10 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Extremwert So! Hab das obrige schnell verbessert, weil ich da Tippfehler hatte...und ich nirgends einen Button find, wo man seinen Beitrag ändern kann..
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16.10.2004, 22:38 | hummma | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn du dich registrierst kannst du deine Beitraege editieren. |
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17.10.2004, 01:06 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und wer sagt euch, dass das Dreieck mit dem größten Flächeninhalt gleichschenklig ist? Davon seid ihr nämlich alle ausgegangen. |
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17.10.2004, 01:12 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Webfritzi Wenn du dir eine Seite fest vorgibst, ist der Flächeninhalt genau dann am größten ist, wenn die Höhe auf dieser Seite am größten ist. Dass das bei Gleichschenkligkeit der Fall ist, dürfte anschaulich klar sein (und da das hier ein schulisches Problem ist, dürfte das reichen). Wie man erstmal analytisch beweist, dass es gleichschenklig sein muss, muss ich mir noch überlegen. |
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17.10.2004, 01:26 | GhostOfWar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich bin mir nicht so sicher aber ich glaube Poff ist der einzige, der davon ausgegangen ist, dass das Dreieck gleichschenklig sein muss. |
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17.10.2004, 01:34 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nein...wir sind alle davon ausgegangen, denn sonst könnte die Höhe nicht mit dem Radius zusammenfallen, weil der Radius ja vom Mittelpunkt ausgeht und nur die Höhe im gleichschenkligen Dreieck durch die Mitte geht. kiki |
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17.10.2004, 02:07 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der analytische Beweis für die Gleichschenkligkeit ist nicht schwer: Man wähle zwei Eckpunkte A,B fest auf der Kreisperipherie. Ein dritter Punkt C liege variabel auf der Kreisperipherie, sei aber ungleich A und ungleich B! Ich führe folgende Bezeichnungen ein: Nach dem Peripheriewinkelsatz ist konstant, egal wo C auf der Peripherie liegt. Man definiere , dann gilt stets . Mit folgender Formel für den Flächeninhalt F des Dreiecks ABC wird F genau dann maximal, wenn maximal wird (c und gamma sind ja konstant). Wegen obiger Definition von (was wegen gamma konstant auch konstant ist) gilt: Damit wird aus f: letzteres "=" nach der Formel Im Definitionsbereich von g existiert nur eine Lösung, nämlich Man prüft leicht nach, dass dies auch das globale Maximum in diesem Intervall ist. Somit ergibt sich: |
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17.10.2004, 03:03 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
dass es gleichschenklig sein musste stand nie zur Disposition, nein ich bin sogar davon ausgegangen, dass die Lösung DAS Gleich-Seitige sein wird. Warum ??? Nun warum und wie sollte eine Richtung im Kreis bevorzugt sein ... . |
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17.10.2004, 03:27 | GhostOfWar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So viele Antworten hätte ich nicht erwartet...Ich bedanke mich sehr |
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17.10.2004, 03:43 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich glaube, er meinte eher, dass hier alle (vor dem "Maximieren" durch seine Funktion) von einem gleichschenkligen Dreieck ausgingen. Dass das Dreieck letztendlich gleichseitig sein muss, dürfte klar sein ... |
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17.10.2004, 20:15 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das hatten wir hier schon mal. Da ging es um ein Parallelogramm. @MSS: Wieso ist das denn klar? Kannst du das mathematisch begründen? OK, intuitiv ist es vielleicht irgendwie "klar", aber in der Mathematik sollte man sich nicht zu sehr auf die Intuition verlassen. |
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17.10.2004, 20:21 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hab ja schon gezeigt, dass es gleichschenklig sein muss. Mit GhostOfWar's Funktion bekommt man durch Ableiten etc., dass es gleichseitig sein muss und da das schon geklärt war, hab ich gesagt, es sei klar |
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