Vereinfachen eines Wurzelausdrucks

15.10.2004, 17:19

Schmitti

Auf diesen Beitrag antworten »

Vereinfachen eines Wurzelausdrucks

Hi,

ich sitze hier gerade an der Vereinfachung des folgenden Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} ( \sqrt{2}-1)* \sqrt[3]{5* \sqrt{2} + 7)} \end{eqnarray*}$

Man kann ihn bis auf "1" vereinfachen, dass steht fest. Allerdings finde ich den Weg dorthin nicht.

Gruß

Schmitti

EDIT by therisen: Latex-Code verbessert.

15.10.2004, 21:27

hummma

Auf diesen Beitrag antworten »

Zieh des $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2}-1) \end{eqnarray*}$ einfach unter die wurzel:

$\begin{eqnarray*} ( \sqrt{2}-1)* \sqrt[3]{5* \sqrt{2} + 7}=\sqrt[3]{(5* \sqrt{2} + 7)( \sqrt{2}-1)^3} \end{eqnarray*}$

Dann musst alles nur noch ausmultiplizieren.

15.10.2004, 21:44

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Oder viel einfacher:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}=\sqrt[3]{2\sqrt{2}+6+3\sqrt{2}+1}=\sqrt[3]{(\sqrt{2})^3+3\cdot (\sqrt{2})^2\cdot 1+3\sqrt{2}\cdot 1^2+1^3}=\sqrt[3]{(\sqrt{2}+1)^3}=\sqrt{2}+1 \end{eqnarray*}$

Dann hast da stehen

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=... \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.10.2004, 22:26

Schmitti

Auf diesen Beitrag antworten »

@ hummma

Logisch!

So gehts.

Jetzt frag mich nicht, warum ich selber nicht draufgekommen bin. Ich hatte mich total drin verbissen, irgendwie zu erweitern.

Gruß

Schmitti

15.10.2004, 22:43

wurzelknirps

Auf diesen Beitrag antworten »

@Mathespezialschüler:

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Oder viel einfacher:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2\sqrt{2}+6+3\sqrt{2}+1}=\sqrt[3]{(\sqrt{2})^3+3\cdot (\sqrt{2})^2\cdot 1+3\sqrt{2}\cdot 1^2+1^3} \end{eqnarray*}$

ich habe versucht, das nachzuvollziehen, komme aber nicht dahinter traurig

traurig

Kannst Du mir kurz erklären, wie Du erweiterst, bzw, umformst?

Vielen Dank
wurzelknirps

15.10.2004, 22:47

hummma

Auf diesen Beitrag antworten »

Er formt den Term so um dass er ihn mit ner binomischen Formel zusammenfassen kann. Der zweite schritt is dann nur noch da um des zu verdeutlichen.

Anzeige

15.10.2004, 22:55

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau. Ich kanns ja mal für jeden Summanden zeigen:

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{2}=\sqrt{2}\sqrt{2}\sqrt{2}=(\sqrt{2})^3 \end{eqnarray*}$

Ich habe dabei benutzt, dass $\begin{eqnarray*} 2=(\sqrt{2})^2=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Auch beim nächsten wieder: $\begin{eqnarray*} 2=(\sqrt{2})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6=3\cdot 2\cdot 1=3\cdot (\sqrt{2})^2\cdot 1 \end{eqnarray*}$

Die beiden nächsten dürften klar sein. Und weil

$\begin{eqnarray*} (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{eqnarray*}$

ist, hab ich danach so umgeformt. Klar? Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.10.2004, 22:57

Schmitti

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Mathespezialschüler

Hab mal gerade deine Variante ausprobiert.

Die gefällt mir extrem gut. Nur wäre ich auf diesen Weg nicht gekommen. Wie siehst du denn an diesem Beispiel, dass du das auf die Tour machen kannst.

15.10.2004, 23:05

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, man kommt da natürlich nich so einfach drauf.
Ich habs mir folgendermaßen gedacht:
Wenn ich $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{5\cdot \sqrt{2} + 7}=x \end{eqnarray*}$ setze, dann muss

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{2}-1)\cdot x=1 \end{eqnarray*}$

sein. Ich hab relativ schnell gesehen (man kanns auch durch umformen rausfinden), dass dann

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{2}+1 \end{eqnarray*}$

sein muss (binomische Formel!!). Also musste ja

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{5\cdot \sqrt{2} + 7}=\sqrt{2}+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5\cdot \sqrt{2}+7=(\sqrt{2}+1)^3 \end{eqnarray*}$

Da ich wusste, wie die rechte Seite ausmultipliziert aussieht, hab ich ab hier einfach versucht, $\begin{eqnarray*} 5\cdot \sqrt{2}+7 \end{eqnarray*}$ auf die Form zu bringen, die ich gezeigt hab. Und es ging.
Das alles ging sehr schnell in meinem Kopf, sieht also langwieriger aus als es wirklich war.
Nur wie ich es jetzt dargestellt habe, sieht es natürlich so aus, als hätte ich mir das aus dem Hut gezaubert, aber du siehst, ganz so einfach ist es dann doch nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.10.2004, 23:22

wurzelknirps

Auf diesen Beitrag antworten »

@Mathespezialschüler: Vielen Dank smile

smile

wurzelknirps

15.10.2004, 23:30

Schmitti

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja gut,

nachvollziehen kann ich das ohne weiteres und ich denk mir wenn man mal richtig in der ganzen Materie drinsteckt, dass man das auch relativ schnell erkennt. Bei mir ist es im Moment natürlich erstmal so, dass ich die letzten Jahre mit Mathe relativ wenig zu tun hatte. Aber das wird wohl wieder kommen. Zumindestens hoffe ich das.

Jetzt gibt es nur einen kleinen Haken. Was ich nämlich vergessen hab zu sagen ist, dass von der Aufgabenstellung (Die ich hier vor mir liegen habe) die Lösung "1" NICHT gegeben ist. Das hat ich einfach mal ausgerechnet (Da es ja ein reines Zahlenbeispiel ist.). Wenn du jetzt also das Ergebniss noch nicht wissen würdest, könntest du diesen Weg auch nicht gehen.

Gruß

Schmitti

15.10.2004, 23:49

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, man könnte trotzdem verschen, das so zu machen. Das hab ich auch schon öfters gemacht. Z.B. ne Aufgabe aus nem Buch:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{5+2\sqrt{6}} \end{eqnarray*}$

ohne Lösung, wenn man n bißchen Erfahrung hat, dann sieht man das auch ohne Ergebnis, aber wenn ich schon eins hab, warum nicht damit arbeiten Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.10.2004, 00:26

Schmitti

Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du schon Recht.

Für die Aufgabe die du mir jetzt hingeworfen hast, musste ich doch erst ein paar Versuche starten. Naja, aber dafür dass es erst das zweite mal ist auf diese Art und Weise zu vereinfachen, bin ich noch ganz zufrieden.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{5 + 2\sqrt{6}}= \sqrt{3 + 2 \sqrt{3} \sqrt{2} + 2}=\sqrt{3} + \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

16.10.2004, 00:28

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, mitder Zeit bekommt man da Erfahrung ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Is natürlich richtig!

16.10.2004, 00:45

Schmitti

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar,

... Das muss jetzt für heute (oder vielmehr diese Nacht) erstmal reichen. Wink

Wink

Vielen Dank und bis später.

16.10.2004, 03:22

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

... besonders sinnvoll sind diese Aufgaben aber nicht, das nur mal
nebenbei. Ok sie fördern (etwas) die Umformetechnik ...

nur, ob ich nun das rechte oder das linke da stehen hab macht
im Prinzip fast nichts aus. Ähnlich dem Wahn Wurzeln aus dem Nenner
vertreiben zu wollen ...

$\begin{eqnarray*} \sqrt{5 + 2\sqrt{6}}= \sqrt{3} + \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

.

08.02.2011, 15:35

tito

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Schmitti
Da hast du schon Recht.

Für die Aufgabe die du mir jetzt hingeworfen hast, musste ich doch erst ein paar Versuche starten. Naja, aber dafür dass es erst das zweite mal ist auf diese Art und Weise zu vereinfachen, bin ich noch ganz zufrieden.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{5 + 2\sqrt{6}}= \sqrt{3 + 2 \sqrt{3} \sqrt{2} + 2}=\sqrt{3} + \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Verzeihung, könntest du den Schritt erklären ?

Danke im Voraus

Mfg tito

08.02.2011, 16:08

tito

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich nach dem, oben gezeigtem Prinzip, rechne habe ich folgenden Ausdruck:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{5+2*\sqrt{6} } =\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{3} +\sqrt{2} \sqrt{2} +\sqrt{3} \sqrt{3} } \end{eqnarray*}$

Korrekt ?

Wenn ja, wie gehe weiter vor ?

08.02.2011, 16:16

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist soweit korrekt Freude

Freude

08.02.2011, 16:28

tito

Auf diesen Beitrag antworten »

Was wär der nächste Schritt ?

08.02.2011, 16:34

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde in der Wurzel den ersten Summanden als $\begin{eqnarray*} 2*\sqrt2*\sqrt3 \end{eqnarray*}$ umschreiben.
Dann sticht doch direkt eine binomische Formel ins Auge? Big Laugh

Big Laugh

08.02.2011, 16:43

tito

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber natürlich, die binomische Formel:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\sqrt{3^{2}} +2\sqrt{3} \sqrt{2}+\sqrt{2^{2}}=(\sqrt{3} +\sqrt{2} )^{2} } =\sqrt{3} +\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank.

08.02.2011, 16:45

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Abgesehen davon, dass die Schreibweise etwas merkwürdig ist, ists korrekt Freude

Freude

Das Ergebnis stimmt! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wink

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »