Existensaussage nach BOLZANO |
| 15.10.2004, 17:45 | Schmitti | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Existensaussage nach BOLZANO vielleicht kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen Es sei C der Rand eines konvexen Bereiches. Man zeige, daß sich in diesem Bereich ein Punkt und drei durch diesen Punkt gehende Sehnen angeben lasse, so daß C in sechs Bögen gleicher Länge zerlegt wird. Es geht hier lediglich um eine Existensaussage, also ob ein solcher Punkt existiert, nicht aber wo er letztendlich liegt. Es wird wohl auf einen Beweis mit Hilfe des Satzes von BOLZANO hinauslaufen, an dessen Enwicklung ich momentan scheitere. Gruß Schmitti |
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| 15.10.2004, 18:12 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Was ist für dich der Satz von Bolzano? |
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| 15.10.2004, 18:44 | Verunsicherungsgesellschaft | Auf diesen Beitrag antworten » |
In welchem Raum liegt der konvexe Bereich? Liegt er (wie anhand der Aufgabenstellung zu vermuten ist) in der Ebene R^2? Ist es sicher, dass der Rand C ueberhaupt eine Laenge hat? |
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| 15.10.2004, 19:42 | Schmitti | Auf diesen Beitrag antworten » |
@ webfritzi Also: Die Aufgabe ist so in der Art zu lösen wie beispielsweise das „Ham-Sandwich-Theorem“, da betrachte ich jede Sehne als Funktion. Drehe ich nun diese Sehnen in einer Figur um 180 °, müssen die Funktionen sich in einem Punkt schneiden, d.h. dass die Differenzfunktion wechselt das Vorzeichen und ist noch dazu stetig. Und genau hier greift der Satz von BOLZANO (oder aber Nullstellensatz), der besagt das diese Funktion MINDESTENS eine Nullstelle hat. Diese Aufgabe hier müsste auf ähnlichen Weg zu lösen sein. Nur find ich keinen Ansatz der mich sonderlich weiterbringt. @Verunsicherungsgesellschaft Richtig, eine konvexe Ebene im R2. Der Rand hat eine Länge, ob diese letztendlich berechnet werden kann ist ja ganz egal. Es geht "nur" darum, vermutlich über Funktionen, einen Beweis zu führen, dass ein solcher Sehenschnittpunkt existiert. |
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| 19.10.2004, 16:19 | Schmitti | Auf diesen Beitrag antworten » |
So, mittlerweile hat sich das erledigt. Bin selber draufgekommen. Sollte jemand an der Lösung interresiert sein, könnte ich mir ja mal die Mühe machen die Lösung zu präsentieren. |
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| 19.10.2004, 19:34 | Rückverunsicherer | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mich würds schon ein bisschen interessieren. Vielleicht schreibst du nur die Lösungsidee hin, brauchst es nicht bis ins letzte ausformulieren. |
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| 22.10.2004, 13:51 | Schmitti | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ist dir das "Ham-Sandwich-Theorem" ein Begriff. Das ist eine ziemlich bekannte Aufgabe für solche Existensaussagen. Nach diesem Prinzip läuft das ab. Da muss man sich doch schon ziemlich reindenken aber letztendlich ist es ganz logisch. Das soll jetzt mal der Tipp sein. Die Lösung bring ich die nächsten Tage mal, wenn ich mal mehr Zeit hab. |
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| 22.10.2004, 14:06 | Verunsicherter | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein, das "Ham-Sandwich-Theorem" kenn ich nicht, aber ich hab eine Idee, was es besagen könnte: Seien A (das Sandwich) und B (das Fleisch) zwei disjunkte beschränkte Teilmengen des R^2 (mit bestimmten noch festzulegenden weiteren Zusatzbedingungen), dann gibt es eine Gerade g, die beide Mengen halbiert. Hab auch ne Beweisidee, die darauf basiert, dass ich eine Gerade, die A halbiert, so lange drehe (und dabei so verschiebe, dass sie A weiterhin halbiert), bis sie auch B halbiert. Aber ich warte nun erstmal auf deine Lösung... |
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