Volumenberechnung

17.10.2004, 11:54	Nicolai	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumenberechnung Hallo, ich habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe: Es sei A eine symmetrische positiv definite n x n-Matrix über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ und r > 0. Berechnen Sie für das Ellipsoid E(r) = { $\begin{eqnarray} \vec{x} \in \mathbb R^{n} \| \vec{x} \cdot A\vec{x} < r^{2} \end{eqnarray}$ } das Volumen. Ich habe mich bereits eingehend mit dem Satz von Fubini auseinandergesetzt, und weiß nun theoretisch, wie ein beliebiges Volumen in $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ zu berechnen ist, bereitet mir dieses Ellipsoid scheinbar unüberwindliche Probleme. Vielleicht kann mir von Euch jemand einen Tip geben. Nicolai
18.10.2004, 14:49	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch eine lineare Abbildung kann die Einheitskugel des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ bijektiv auf das Ellipsoid $\begin{eqnarray} E(r) \end{eqnarray}$ abgebildet werden. Beginnen wir also mit der Einheitskugel, deren Volumen mit $\begin{eqnarray} e_n \end{eqnarray}$ bezeichnet werde. Dann gilt: $\begin{eqnarray} e_n = \int_{x_1^2 + ... + x_n^2 \leq 1}^{}~~\mbox{d}(x_1, ... ,x_n) \ = \ \int_{-1}^1~{\left( \int_{x_1^2 + ... + x_{n-1}^2 \leq 1 - x_n^2}^{}~\mbox{d}(x_1, ... , x_{n-1}) \right)}~\mbox{d}x_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\ \int_{-1}^1~{\left( \int_{u_1^2 + ... + u_{n-1}^2 \leq 1}^{}~\left(\sqrt{1-x_n^2}\right)^{n-1}~\mbox{d}(u_1, ... , u_{n-1}) \right)}~\mbox{d}x_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\ \int_{-1}^1~{\left(\sqrt{1-x_n^2}\right)^{n-1} \left( \int_{u_1^2+ ... + u_{n-1}^2 \leq 1}^{}~\mbox{d}(u_1, ... , u_{n-1}) \right)}~\mbox{d}x_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\ \left( \int_{u_1^2+ ... + u_{n-1}^2 \leq 1}^{}~\mbox{d}(u_1, ... , u_{n-1}) \right) \cdot \left( \int_{-1}^1~\left( \sqrt{1-x_n^2} \right)^{n-1}~\mbox{d}x_n \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\ e_{n-1} \cdot \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}~\cos^n {t}~\mbox{d}t \end{eqnarray}$ Beim zweiten Gleichheitszeichen wurde Fubini angewandt, beim dritten Gleichheitszeichen wurde $\begin{eqnarray} (x_1, ... , x_{n-1}) = \varphi(u_1, ... , u_{n-1}) = \left( u_1 \cdot \sqrt{1-x_n^2} \; , \ ... \ , \; u_{n-1} \cdot \sqrt{1-x_n^2} \right) \end{eqnarray}$ substituiert ( $\begin{eqnarray} \varphi' \end{eqnarray}$ ist das $\begin{eqnarray} \sqrt{1-x_n^2} \, \end{eqnarray}$ - fache der (n-1)-reihigen Einheitsmatrix), beim letzten Gleichheitszeichen $\begin{eqnarray} x_n = \sin{t} \end{eqnarray}$ . Somit besteht für $\begin{eqnarray} n \geq 2 \end{eqnarray}$ die Rekursionsformel: $\begin{eqnarray} e_n \ = \ e_{n-1} \cdot \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}~\cos^n{t}~\mbox{d}t \end{eqnarray}$ Ferner kann für $\begin{eqnarray} n \geq 2 \end{eqnarray}$ mit partieller Integration die Rekursionsformel $\begin{eqnarray} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}~\cos^n{t}~\mbox{d}t \ = \ \frac{n-1}{n} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}~\cos^{n-2}{t}~\mbox{d}t \end{eqnarray}$ gezeigt werden, woraus man $\begin{eqnarray} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}~\cos^n{t}~\mbox{d}t \ = \ \begin{cases} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots n} \cdot \pi & \mbox{falls } n \mbox{ gerade} \\ & \\ \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (n-1)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots n} \cdot 2 & \mbox{falls } n \mbox{ ungerade} \end{cases} \end{eqnarray}$ erhält. Für $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ gilt (Länge des Intervalls $\begin{eqnarray} [-1,1] \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} e_1 = 2 \end{eqnarray}$ Damit kann das Volumen der n-ten Einheitskugel rekursiv berechnet werden. Die nächsten Werte sind (Fläche des Einheitskreises, Volumen der Einheitskugel,...) $\begin{eqnarray} \ e_2 = \pi \ , \ e_3 = \frac{4}{3} \pi \ , \ e_4 = \frac{1}{2}\pi^2 \end{eqnarray}$ Jetzt zurück zum Ausgangsproblem. Da $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ positiv definit ist, existiert eine orthogonale Matrix $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ , so daß $\begin{eqnarray} T'AT=D \end{eqnarray}$ eine Diagonalmatrix mit positiven Elementen $\begin{eqnarray} \delta_1,...,\delta_n \end{eqnarray}$ in der Hauptdiagonale ist (der Strich bezeichne das Transponieren). $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ beschreibt eine euklidische Bewegung. Daher hat $\begin{eqnarray} E(r) \end{eqnarray}$ dasselbe Volumen $\begin{eqnarray} V \left( E(r) \right) \end{eqnarray}$ wie das durch $\begin{eqnarray} E'(r): \ \ \delta_1^2 x_1^2 + ... + \delta_n^2 x_n^2 \leq r^2 \end{eqnarray}$ beschriebene Ellipsoid: $\begin{eqnarray} V \left( E(r) \right) = \int_{\delta_1^2 x_1^2 + ... + \delta_n^2 x_n^2 \leq r^2}^{}~\mbox{d}(x_1 , ... , x_n) \end{eqnarray}$ Jetzt muß man nur noch die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} (x_1 , ... , x_n) = \psi(u_1 , ... , u_n) = \left( \frac{r}{\delta_1} \cdot u_1 \; , \ ... \ , \; \frac{r}{\delta_n} \cdot u_n \right) \end{eqnarray}$ substituieren, die die Einheitskugel auf $\begin{eqnarray} E'(r) \end{eqnarray}$ abbildet. Man erhält $\begin{eqnarray} V \left( E(r) \right) = \int_{u_1^2 + ... + u_n^2 \leq 1}^{}~\frac{r^n}{\delta_1 \cdots \delta_n}~\mbox{d}(u_1 , ... , u_n) = \frac{r^n}{\delta_1 \cdots \delta_n} \cdot e_n \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ dieselbe Determinante besitzen, kann man das auch so schreiben: $\begin{eqnarray} V \left( E(r) \right) = \frac{r^n}{\operatorname{det}(A)} \cdot e_n \end{eqnarray}$ EDIT Latex-Formel restauriert

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