Berechnen von Injektivität, Surjektivität, Bijektivität und finden der Inversen |
| 17.10.2004, 17:18 | amarillo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Berechnen von Injektivität, Surjektivität, Bijektivität und finden der Inversen ich hab ein grundlegendes Problem zu genannten Thema. Ich kenn zwar die ganzen Definitionen der Begriffe und eine grafische Lösung würde ich auch zustande bringen, aber berechnen? Könnte mir das jemand an einem einfachen Beispiel zeigen? als Beispiel: f(x) = 5x - 7 würde mir rein von der überlegung her bijektiv (ohne einschränkung des Definitionsbereiches) vorkommen. aber wie berechne ich sowas und wie komm ich zur Inversen (grafisch wär auch das kein problem) und wo wir gerade beim thema sind: wie bestimme ich den definitionsbereich, wenn ich mal eine Funktion surjektiv machen muss? ich bin verzweifelt... schon mal danke im vorraus. |
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| 17.10.2004, 17:28 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Überlege noch einmal genau was Surjektiv und Definitionsbereich bedeuten. Zu Deiner Aufgabe f(x) = 5x - 7 ist tatsächlich bijektiv. Nun wie zeigt man das? Injektiv: Bei der Injektivität geht es darum zu zeigen (oder zu widerlegen) das mehrere Funktionswerte auf das gleiche Bild abbilden. Ich würde so ansetzen seien es muss gelten (5x - 7 = 5y - 7) => (x = y) Injektivität folgt unmittelbar. Surjektiv Es ist zu zeigen das alle Elemente des Bildraumes in relation stehen. Es ist zwar einsichtig das die Funktion Surjektiv ist aber man muss es ja zeigen 
. Zu zeigen Schon ne Idee wie mans machen würde?
edit Zum Thema Umkehrfunktion hab ich hier schon ne Antwort gegeben! |
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| 17.10.2004, 18:16 | amarillo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hier liegt ja gerade mein problem... hab im vorfeld fast ausschließlich mit analysis und statistik zu tun gehabt. bei algebra is bei mir ende (bis auf grundlegende sachen). zu deinem beweis für die Injektivität: ich versteh zwar, dass aus der gegenüberstellung der funktionen f(x)=f(y) x=y folgt, aber mir fehlen die Grundlagen. WARUM gilt das als beweis? selbes spiel für die surjektivität. hab ja schon in büchern nachgeschlagen und hilfe auf internetseiten gesucht. aber die (doch sehr spezifischen) lösungen helfen nicht, wenn ich nicht die idee hinter den ansätzen verstehe. wie gesagt, ein grundlagenproblem... kennt vielleicht jemand eine seite wo ich mir das nachholen kann? einen herzlichen dank an Mazze. |
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| 17.10.2004, 19:18 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Injektivitätsbeweis ist ein klassischer "Eindeutigkeitsbeweis". Es ist dabei immer das selbe Schema. Wenn man beweisen will das irgendein mathematischer Sachverhalt eindeutig ist nimmt man an es gäbe mehrere (meistens 2) dieser Sachverhalte und schließt dann durch Umformung etc. darauf das alle gleich sind. In etwa das Inverse Element zur 2. Ich behaupte das das Inverse zur 2 eindeutig ist, das heißt 2*a = 1 So um Eindeutigkeit zu zeigen mach ich folgendes, ich nehme an es gibt 2 Inverse nämlich a und b für das die obige Gleichung gilt, es folgt also 2*a = 1 2*b = 1 das heißt auch 2*a = 2*b (weil beide 1 sind) Die 2 kürzt sich weg und es gilt tatsächlich a = b => eindeutig Das ist im Prinzip ein klassisches Beispiel für einen Injektionsbeweis. Bei der Surjektivität ist es schon bissel schwieriger weil man nicht nach Schema-f vorgehen kann (zumindest mir grad keins geläufig). Man kann aber einen Widerspruchbeweis führen in dem man animmt es gibt ein Element für das eine Gleichung etwa nicht gilt. Beispiel Ich will beweisen das die Division durch 0 keine reelle Zahl liefert. Zu diesem Zweck behaupte ich das die Division doch funktioniert. Sei also Wenn die Division durch 0 erklärt ist so muss das Ergebniss zumindest eine reelle Zahl (oder komplexe) sein, da die Division (Multiplikation) eine Abbildung von RxR -> R ist. Das heißt also für den Quotienten das heißt auch das Das steht im krassen Widerspruch zu unserer Vorrausetzung, nämlich das a ungleich 0 ist. Der Widerspruch ist erzeugt und wir haben gezeigt das die Division durch 0 keine reelle Zahl liefert. So ähnlich könnte man auch einen Surjektivitätsbeweis führen in dem man annimt das es ein Element gibt aus dem Bildraum was nicht in relation steht und es auf einen Widerspruch zurückführt |
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| 19.10.2004, 14:31 | amarillo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich hab folgenden rat bekommen: Die Funktion f: R ’ R mit f(x) = 2x + 1 = y ist surjektiv, denn für jede reelle Zahl y finden wir (mindestens) ein Urbild: Wir lösen die Gleichung y = 2x + 1 nach x auf und erhalten x = (y - 1) / 2. Dieses Berechnen von x reicht aber im allgemeinen nicht als Beweis. Man muss die Probe machen: In der Tat ist f((y - 1) / 2) = 2(y - 1) / 2 + 1 = y. geht das so als beweis für surjektivität? ums mal ganz einfach auszudrücken: umformen, probe machen? |
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| 19.10.2004, 15:14 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist bereits die Surjektivität, da die lineare Gleichung zu jedem gegebenen y eine eindeutige Lösung hat. Da wir jedes y aus R nehmen dürfen folgt die Surjektivität.
Bei der Probe bin ich nicht hundert prozentig sicher. Aber ein Tip, wenn Du Beweisen willst das eine Funktion nicht surjektiv ist gib ein Gegenbeispiel an Bsp: f(x) = x² Surjektiv: Nein, da kein x existiert so das x² = -1, fertig. Das ist einfach als über die Umformung. Aber wie gesagt, ich bin nicht wirklich sicher ob man die Probe überhaupt machen muss. |
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| 19.10.2004, 16:09 | amarillo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
eben das machte mich ja so stutzig... der "rat" is nämlich ein auszug aus wikipedia und da gilt es erst als beweis, wenn die probe gemacht wurde. wenns so einfach mit umformen und probe machen gehen würde, wär mir schon sehr geholfen. Immerhin werden die beispiele nicht so schnell über die dritte ordnung hinauswachsen. und bis dahin komm ich mit meinen mathekenntnissen noch aus :-P klar wäre der ansatz mit dem gegenbeweis und der überlegung leichter, aber es wird ausdrücklich darauf hingewiesen die surjektivität zu "berechnen". um mal ein paar konkrete beispiele zu bringen, womit ich es zu tun habe: f(x)=3x^3+1 f(x)=x^3-x f(x)=tan(x) f(x)=sqrt(x) f(x)=log(x) also wirklich nur grundlegende funktionen um "das auge darauf zu trainieren". |
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| 09.01.2008, 14:47 | Putzfrau | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Schönen guten tag. also bei deinem sehr trivialen bespiel ist das eigentlich ein einzeiler. wenn du bedenkst das es bei surjektivität darum geht zu zeigen das jedes element des wertebereichs ein urbild hat. du gehst einfach hin und bildest die limes gegen +unendlich und -unendlich, dann wirst du sehen das die funktion diese werte annehmen wird, da die monome stetig sind folgt das die funktion surjektiev ist. |
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| 08.03.2008, 13:24 | hexle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zitat: "und bildest die limes gegen +unendlich und -unendlich, dann wirst du sehen das die funktion diese werte annehmen wird, da die monome stetig sind.." aber dann müsste man doch auch noch beweisen, dass sie monoton steigen und fallen, das kann man ja nicht einfach nur so annehemen,oder??? also ich habe das gleiche problem mit der surjektivität. bei mir heißt die f(x)=(x^3)-x und ich habe bis jetzt auch immer nach x aufgelöst.... aber hier???????? ich weiß nicht weiter und wäre froh, wenn mir jemand helfen könnte! dankeschön |
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| 19.04.2011, 11:54 | Feuervogel75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn der Defitionsbereich alle natürlichen Zahlen sind, ist dann die Funktion nicht surjektiv? Schließlich können Sachen, wie 1,5 oder so ja nicht rauskommen. |
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