Fractal

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mr. black Auf diesen Beitrag antworten »
Fractal
hallo allerseits

Ich hab mich grad an die Berechnung der Fläche
eines Würfel gestürzt, dessen Mittelkreuz herausgeschnitten
wird. die Kantenlänge der Teilwürfel sei mit einem
Drittel gegeben wobei die Kantenlänge des ursprünglichen
Würfels = 1 sei.

Natürlich wird das Mittelkreuz unendlich oft aus allen Teilwürfeln
geschnitten.

Das Volumina war nicht schwer auszurechnen
da die Volumina, die bei den einzelnen Mittlekreuzherausschneide-
schritten herausgenommen werden eine geom. Reihe ergeben.
Das Volumen war schließlich 0.

Bei der Oberflächenberechnung lässt sich Vermuten, dass die
Oberfläche Unendlich ist jedoch muss man das mal ausrechnen.

Der Haken ist, dass die Oberfläche wie mir scheint nicht einer geom.
Reihe Folgt.

Mir ist nach wie vor ein Rätzel, welchem Gesetz die Anz. der
Teilflächen mit n zunimmt.

Geometrisch auf jeden fall nicht. Eine Rechenoperation höher auch nicht.

Ich hab mich sehr unverständlich ausgedrückt jedoch wer das Beispiel
kennt weis was gemeint ist.

Kann mir wer weiterhelfen, beim Bildungsgesetz für die Anz. der Quadrate?

grüße mr. black verwirrt
Bruce Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mr.Black,

wenn ich dich richtig verstanden habe, dann versuchst Du zu beweisen,
daß die Oberfläche des Menger-Schwammes (siehe Benoit B. Mandelbrot:
Die Fraktale Geometrie der Natur, Tafel 157 auf S. 157) unendlich ist.

Wenn man eine untere Schranke Sn für die Oberfläche An nach dem n-ten
Konstruktionsschritt angeben kann und wenn Sn mit n divergiert, dann
ist deine Vermutung bewiesen. Eine solche Schranke läßt sich recht
einfach finden. Im ersten Schritt werden 7 Teilwürfel der Kantenlänge
1/3 aus dem Würfel der Kantenlänge 1 herausgenommen. Die Oberfläche
des entstehenden Gebildes ergibt sich aus der Oberfläche des
Einheitswürfels, indem man aus seinen sechs Deckflächen jeweils ein
Quadrat der Kantenlänge 1/3 herausschneidet und dafür jeweils vier
neue (innere) Quadrate der Kantenlänge 1/3 dazuzählt. Nach dem ersten
Schritt hat man also die Fläche


Die Oberfläche hat also nach dem ersten Schritt um 1/3 zugenommen.
Im nächsten Schritt werden 20 Teilwürfel der Kantenlänge 1/3 in der
gleichen Weise behandelt. Dabei wächst die gesamte Oberfläche um
mehr als 20/3 der Oberfläche der Teilwürfel an, da es nun einander
berührende Deckflächen der Teilwürfel gibt, aus denen nur einmal ein
Quadrat der Kantenlänge (1/3)^2 herausgeschnitten wird. Für die
nachfolgenden Zerlegungsschritte kann man analog argumentieren.
Nach dem n-ten Zerlegungsschritt kann der Zuwachs der Oberfläche also durch

nach unten abgeschätzt werden. Die Folge Sn ist divergent und deswegen
ist die Oberfläche des Schwammes unendlich.

Gruß von Bruce
mr. black Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Bruce!
mir ists allerdings schon
selbst gelungen das Problem zu Formulieren.

Allerdings glaube ich nicht, dass die Flächen der Aneinandergrenzenden
Quadrate dazugehören.

Meine Formulierung lautet daher:



trotzdem Danke!
Bruce Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mr. Black,

kannst Du mir deinen Ausdruck mal ein bischen erläutern ?

Bei der Herleitung meiner Abschätzung war nicht alles ganz sauber,
wie Du richtig bemerkt hast, ich glaube aber trotzdem, das das
Ergebnis als untere Schranke brauchbar ist.

Hast Du schon mal über eine Darstellung des Menger-Schwammes
auf dem Bildschirm mit Hilfe eines selbst geschriebenen Computer
Programmes nachgedacht? Wäre das eine reizvolle und
herausfordernde Aufgabe für dich?

Gruß von Bruce
mr. black Auf diesen Beitrag antworten »

ja also ich hab ja schon so eine art 3d Engine geschrieben.
da könnte ich das vielleicht einbauen.
möglicher weise einen virtuellen Spaziergang durch den Mengerschwamm.

Das reimt sich fast.

Zu meinem Ausdruck:

der da Lautet(vollständig)

mit



da ja Aus einem Würfel der wenn man seine
Kantenlänge drittelt 27 Teilwürfel hat und davon die mittleren 7 wegnimmt.
Somit haben wir die Anzahl der Teilwürfel beim n-ten herausschneiden.

da aus bei jedem herauschneiden 24 Teilflächen neue
entstehen.

nun der Interressante Teil, der die Darstellung auf eine Komische
Art Rekursiv macht.



ist die Fläche
des Schwammes nach dem (n-1)-ten herauschneiden. Daher
die n-te Gesamtfläche. Diese mit dem Faktor
multipliziert, der Die Kantenlänge der Würfel beim (n-1)-ten herauschneiden ist, ergibt die Anzahl der Teilflächen, die um ein
Quadrat bestohlen werden, durchs nächste herausschneiden.

das Ganze multipliziert mit der Kantenlänge
ergibt die Gesamtfläche.

Wie du sicher Bemerkt hast bin ich ne niete in Deutsch aber ich
hoffe du kannst die Sätze lesen.

mfg mr. black
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