Gruppentheorie

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Gruppentheorie
Hi.
Ich hab grad die erste Woche Studium hinter mir und musste mit Erschrecken feststellen, dass unsere Mathe-Profs nicht einsehen, warum die Übungsstunden Übungsstunden heißen. Sprich: Die Menge aller Merkmale, durch die sich unsere Übungsstunden von unseren Vorlesungen unterscheiden ist eine leere Menge!

...Nein, halt einen Unterschied gibt es ja doch: am Ende der Übungsstunden kriegen wir dann ein Aufgabenblatt reingeknallt und keine Sau hat ne Ahnung, was man damit anfangen soll.

Also steh ich jetzt vor dem Problem, die erste Übungsserie lösen zu müssen, was sich aber durch das Aufgeschriebene aus Vorlesungen und Übung nicht wirklich leichter macht.

Ich hoffe, es hat einer in den nächsten Tagen etwas Muße, mir die Aufgaben etwas verständlicher zu machen (sprich: Ich will keine Lösung bestehend aus irgendwelchen Buchstaben, Zeichen und Zahlen deren Sinn ich eh nicht Schnalle, sondern ich will den ganzen Rotz hier verstehen!!!)


Aufgaben:

1.)Man bestimme die Gruppe aller Spiegelungen und Drehungen, die ein gleichseitiges Dreieck in sich selbst überführen.

mir ist schon klar, dass man ein gleichseitiges dreieck z.B.: 0 mal oder 3 mal in die selbe Richtung drehen muss um das selbe Dreieck zu erkalten, aber wie soll ich das als Gruppe darstellen???

2.)Beweisen Sie, dass in einer Gruppe G für alle a,x,y € G gilt:
a) wenn a*x=a*y, so x=y
b) wenn x*a = y*a, so y=x
c)(x*y)^-1 =y^-1 * x^-1

ich denke mal, dass ich das alles mit dem neutralen Element e machen muss, richtig??? finds nur lustig, dass G eigentlich ne Menge und keine Gruppe ist. Die binäre Operation ist hier nirgendwo genannt!!!

3.)Es sei G eine Gruppe und U eine nichtleere Teilmenge von G. Man beweise:

U ist Untergruppe von G gdw. für jedes x,y,z€U((xy²z^-1)€U).

Also das Untergruppenkriterium kenne ich, aber was zum Geier soll das y² da drinne???

4.)Es seien G eine Gruppe, n€ |N, U={g€G : g^n=e} und V={g^n : g€G}. Zeigen Sie dass U und V für jedes natürliche n Untergruppen von G sindm, falls G abelsch ist. Für welche n sind U und V Untergruppen von G, wenn G= S3 ist?

Was diese Aufgabe angeht habe ich nur noch 3 Fragezeichen zwischen meinen Schultern sitzen.


5.)
a) Man gebe wenigstens 2 Begründungen dafür an, dass die symmetrische Gruppe S3 nicht zyklisch ist. Grund 1: Es stand an der Tafel, das dies so sei. Grund 2: Der Prof hat immer Recht. ... Man hat uns beigebracht dass die symmetrisch ungleich zyklisch ist. Aber warum das so sein sollte weiß kein Mensch!)
b)Ist die prime Restklassengruppe ((|Z/13|Z)*,#) zyklisch? (Begründung!) das # steht für die binäre Operation: "Punkt". Aber den kann man so schlecht darstellen!
c)Bestimmen Sie alle Untergruppen von ((|Z/13|Z)*,#)es gild das selbe wie bei b) |Z ist übrigens mein Zeichen für die ganzen Zahlen.



Ich hoffe, mir kann jemand zumindest Teilweise helfen. thx!
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppentheorie
menz bleibt ... . Augenzwinkern


1) Drehung um 60° ist z.B ein Element von G

2ab) links und rechtsinverse Elemente einsetzen
c) das gerade gelernte geschickt anwenden

3) U ist Untergruppe von G gdw.
was ist gdw ??

4) hier kannst einfach für die neuen Mengen Schritt für Schritt die
Gruppenaxiome nachweisen unter Einsatz der Voraussetzungen,
G eine Gruppe, n aus N, U={g aus G : g^n=e} und V={g^n : g aus G}

Augenzwinkern
.
eule Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1) Du verbindest eine Ecke des Dreiecks mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite. Wenn du um diese Axhse spiegelst hast du eine Abbildung in sich selbst nennen wir sie s.
Natürlich ist s*s=e. Die 60 Grad Drehung um den Dreiecksmittelpunkt nennen wir d. d*d*d=e. Die gruppe hat 6 Elemente e, d, d*d, s , s*d , s*d*d. Wie die Gruppentafel aussieht bekommst du selbst hin^^.

2) Die Gruppenverknüpfung ist natürlich "*". Mathematiker sind immer ungenau. (kein Smilie)

3) y^2 =y*y

5) Die GRuppe mit 2 Elementen ist symetrisch und zyklisch. Wenn du nicht nach kurzem Nachdenken draufkommst warum sie die einzige ist, meld dich noch mal.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

... menz,


neuer Tag neue Gedanken, jetzt hab ich's gerafft was es heißt,

3) gdw = genau dann wenn ...... *gg*

dazu musst eben die Gruppeneigenschaften nachweisen für
diese Teilmenge ...

und weiter, dass wenn diese Menge eine Untergruppe ist
die Eigenschaft gilt.
.
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

also erstmal vielen dank für die bisherigen antworten.

zu 1.: das heißt also, es gilt auch als in sich selbst überführt, wenn ich z.b. nur ein mal spiegele??? wenn ich z.b. an der mittelsenkrechten von c spiegele, dann sind doch A und B vertauscht. wenn ich euch richtig verstehe, ist das trotzdem in sich selbst überführt, ja?
ok, jetzt hab ich die elemente der gruppe, aber wie soll ich die Gruppe bezeichnen. (Also den Buchstaben für die Menge aller Drehungen/Spiegelungen kann ich mir ja frei aussuchen, aber wie soll ich die binäre Operation bezeichnen???)


zu2.: geht klar, danke poff

zu 3.: werd einfach x*y² durch b ersetzen und z^-1 durch a^-1, dann steht es genauso da wie wir es im untergruppenkriterium benannt haben.

zu 4.: und was hat das mit dem G=S3 zu bedeuten??? also die 3 ind S3 iss eigentlich ein index. hat irgendwie was mit permutationen zu tun
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

1.)Man bestimme die Gruppe aller Spiegelungen und Drehungen,
die ein gleichseitiges Dreieck in sich selbst überführen.


jedes einzelne Gruppenelement muss das alleine NICHT erreichen,
sonst bestünde die Gruppe ja nur aus 'e'

es heißt ja nicht man bestimme alle Spiegelungen die das Dreieck
in sich selbst überführen, sondern die 'GRUPPE aller ...'


, aber wie soll ich die binäre Operation bezeichnen???)

das definierst 'einfach' anhand einer vollständigen expliziten
Verküpfungstabelle ...

das reicht um die Verküpfung zu erklären (ist logo nur bei kleineren
endlichen Mengen möglich)

.


zu 3.: werd einfach x*y² durch b ersetzen und z^-1 durch a^-1, dann steht es genauso da wie wir es im untergruppenkriterium benannt haben.

das kannst du so nicht machen, weil ja nicht gegeben ist dass x*y^2
dann eben dein b ein Element von U ist. Zudem würde das erzwingen
dass ein beliebiges b eine solche Zerlegung haben müsste ....

nein, das ist schon ein wenig kniffliger
 
 
eule Auf diesen Beitrag antworten »

1) Mit in sich selbst überfüren ist gemeint das Kanten auf Kanten und Ecken auf Ecken abgebildet werde (quasi die graphentheoretische Isomorphie).

3) Du kannst entweder alles auf Prädikatenlogik und Mengenlehre zurückführen und die äquvivalenz der beiden Therme zeigen oder du zeigst das aus dem linken das rechte folgt und umgekehrt. Eine Richtung ist trivial:

Sei U eine Untergruppe. Wenn x,y,z drinen sind sind auch ihre Inversen drinnen und alle verknüpfungen von Elementen. Nur noch formaler hinschreiben und fertig.

Für die andere Richtung mußt du die einzelnen Gruppeneigenschaften zeigen. Ass. gilt für ganz G und daher auch für jede Teilmenge. Die beiden anderen sind die interessanten die ich die nicht nehmen will.

5b) Wenn du gar keine Idee hast ist die Gruppentafel noch klein genug zum hinschreiben.

5c) Habt ihr den Satz von Lagrange schon gehabt?
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