Kugelgleichung aus 4 Punkten

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connyherz Auf diesen Beitrag antworten »
Kugelgleichung aus 4 Punkten
Hallo kann mir einer helfen! Dringend!!!

Diese Aufgabe bekomme ich nicht hin:

[U][U]Bestimmen Sie die Gleichung der Kugel durch die Punkte A(1/13/4), B(3/9/6), C(3/14/3) und D (6/14/2).

Ansatz: (x-xm)²+(y-ym)²+(z-zm)²=r²

Einsetzen der Punktkoordinaten:

I: (1-xm)²+(13-ym)²+(4-zm)²=r²
II: (3-xm)²+(9-ym)²+(6-zm)²=r²
III: (3-xm)²+(14-ym)²+(3-zm)²=r²
IV: (6-xm)²+(14-ym)²+(2-zm9²=r²

Elimination der quadratischen Terme:

I-II: 4xm-8ym+4zm=-60
I-III: 4xm+2ym-2zm=28
I-IV: 10xm+2ym-4zm=50

Und hier komme ich dann nicht weiter!!!

Herauskommen soll
xm=1
ym=4
zm=-8

Aus I folgt dann r=15
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugelgleichung aus 4 Punkten
Ich geh mal davon aus, dass du beim eliminieren der Quadrate keine Rechenfehler gemacht hast. Du musst jetzt das Gleichungssystem lösen, kennst du schon den Gaußschen Algorithmus? Wenn nicht, dann mach doch folgendes:

4xm-8ym+4zm=-60
4xm+2ym-2zm=28
10xm+2ym-4zm=50

Eliminiere erstmal aus zwei Gleichungen xm. Dafür kannst du einfach die erste minus die zweite machen. Und bei der dritten bringst du erstmal den Faktor von xm auf 4 (also die ganze Gleichung *4/10) und dann wieder subtrahieren. Dadurch bekommst du zwei Gleichungen mit ym und zm und die kannst du dann wieder mit Additionssystem (oder auch Einsetzungssystem) lösen. Probiers mal Augenzwinkern
 
 
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugelgleichung aus 4 Punkten
Zitat:
Original von connyherz
...
I-II: 4xm-8ym+4zm=-60
I-III: 4xm+2ym-2zm=28
I-IV: 10xm+2ym-4zm=50

Und hier komme ich dann nicht weiter!!!

Herauskommen soll
xm=1
ym=4
zm=-8
...


was kommst 'n hier nicht (mehr) weiter ???
das ist doch simples Lösen eines linearen Gl.S. mit 3 Unbekannten

und deine geposteteten Lösungen passen haargenau, also auch
kein Rechenfehler im Gl.S.
.
connyherz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugelgleichung aus 4 Punkten
4xm-8ym+4zm=-60
4xm+2ym-2zm=28
10xm+2ym-4zm=50 40xm+8ym-16zm=200 4xm+8/10ym-
16/10zm=20

I-II) -10ym+8zm=-88 70ym-56zm=616 )
I-III) -88/10ym+56/10zm=-80 -88ym+56zm=-800 ) +


-18ym=-184 /: -18

ym = 10, 2 falsch ich steh heute glaube ich etwas neben mir , wo liegt denn der fehler??? Danke für die schnelle antwort
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugelgleichung aus 4 Punkten
Es ist sogut wie alles richtig, nur ein kleiner Fehler Augenzwinkern

Zitat:
Original von connyherz
I-II) -10ym+8zm=-88


Guck dir das nochmal genauer an Augenzwinkern
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugelgleichung aus 4 Punkten
Du kannst es auch so machen:

Jeweils zwischen 2 Punkten die Symmetralebene aufstellen - 3 Gleichungen, diese miteinander schneiden, dann kommt der Mittelpunkt der Kugel raus und dann den Betrag des Vektors von M zu irgendeinem gegebenen Punkt berechnen, weil das dann r ist.

kiki
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

@kikira: Etwas zu viel Rechnung, meiner Meinung nach.
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt..bloß, wenn er Probleme hat, 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten zu lösen, dann müssts ihm leichter fallen, 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten zu rechnen.
War ja bloß noch ein Lösungsvorschlag.
HelloWorld Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugelgleichung aus 4 Punkten
jo wassa los. geht das auch mit drei punkten? wenn ja wie?

bitte helft mir
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugelgleichung aus 4 Punkten
@hallo kiki!

also ich finde, die methode von kiki ist mit VIEL weniger aufwand verbunden, und weniger fehleranfällig, geht ja alles so schön linear!
natürlich nicht mit 3 PUNKTEN, sondern mit 3 EBENEN.

ich mache es halt für 2 punkte vor:
A(1/13/4), B(3/9/6)
mittelpunkt der strecke AB: M1(2/11/5).
der normalenvektor der mittelebene ist der vektor AB = (2, -4, 2)
ebene mit normalvektorform ergibt:
E1: 2x - 4y + 2z = -30.
dasselbe mit BC und CD, und die 3 ebenen schneiden, gibt M(1/4/-8)
und der radius r = /MA/ = 15
werner
HelloWorld Auf diesen Beitrag antworten »

es kann doch dann aber auch vorkommen, dass sich die ebenen (zufällig) nicht in genau einem punkt schneiden, sondern dass es eine schnittgerade gibt, oder lieg ich da falsch?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Jein.

Die 'Mittelebenen' müssen immer durch den Mittelpunkt gehen,
allerdings kann bei ungünstiger Punktlage, bzw Auswahl das Problem
auftreten, zB wenn 2 Ebenen zusammenfallen. Dann müsstest
anders auswählen.
HelloWorld Auf diesen Beitrag antworten »

ok, das ist klar.
aber noch eine kurze verständnisfrage... gibt es keine Möglichkeit einen Kugelmittelpunkt aus 3 Punkten zu bestimmen? Braucht man mind. 4?

Man kann doch auch aus 3 Punkten 3 "Mittelebenen" konstruieren, (AB, BC und AC) oder entsteht daraus dann eine falsche Lösung (wenn ja, warum?)?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

nein mit 3 punkten geht das nicht, du hast ja 4 unbekannte M(mx, my, mz) und r.

natürlich kannst du 3 "mittelebenen" aufstellen, aber das ist genau das problem, das POFF angesprochen hast. der vektor AC = AB + BC, da kriegst du keinen schnittpunkt, sondern nur die schnittgerade der 3 ebenen (genauso wie du beim dreieck nur 2 mittelsenkrechte schneiden mußt, um den umkreismittelpunkt zu erhalten, die 3. ist fleißaufgabe).

würde ich sagen
werner
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