zwischenwertsatz, glm konvergenz

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Dr4gonclaw Auf diesen Beitrag antworten »
zwischenwertsatz, glm konvergenz
folgende Aufgabe: (Dateianhang)

Ich konnte Aufgabe a), b) und d) lösen allerdings bereitet mir c) und e) Kopfschmerzen. In c) kann ich mir vorstellen warum es so ein x geben muss, weiß aber nicht wie ich das mit dem Zwischenwertsatz beweisen soll.

Über Tipps, Hilfen, Lösungen wäre ich dankbar.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zwischenwertsatz, glm konvergenz
Was sind deine bisherigen Überlegungen zur Aufgabe ? Wenn wir die kennen, ist der Einstieg einfacher.

Grüße Abakus smile
Dr4gonclaw Auf diesen Beitrag antworten »

a) löst man einfach mit vollständiger Induktion

b) Man betrachtet ein kompaktes Intervall. Nach dem Satz vom Maximum und Minimum, nimmt jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall ein Max und ein Min an. Da die Funktion offensichtlich periodisch ist, kann man das Max und Min dieses kompakten Intervalls auf die ganze Funktion übertragen.

c) Meine Überlegung dazu: Es muss diese Pkt geben und zwar sind das genau die Pkt auf der Funktion die auf einer Waagerechten, den Abstand 2PI-6=0,2841... bzw 1,2841... haben, denn die haben den gleichen funktionswert wie der Pkt mit dem Abstand 6,2841...=2PI, da die Funktion die Periode 1 hat. Ich weiß aber nicht wie ich das mit dem Zwischenwertsatz beweisen soll

d)wie b) nur dass man den Satz nimmt: Jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall ist dort sogar glm stetig.

e)keine Ahnung. Ich vermute, dass man dort auch einen Satz anwenden muss aber ich weiß nicht welchen und habe auch keinen anderen Ansatz gefunden
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dr4gonclaw
c) Meine Überlegung dazu: Es muss diese Pkt geben und zwar sind das genau die Pkt auf der Funktion die auf einer Waagerechten, den Abstand 2PI-6=0,2841... bzw 1,2841... haben, denn die haben den gleichen funktionswert wie der Pkt mit dem Abstand 6,2841...=2PI, da die Funktion die Periode 1 hat. Ich weiß aber nicht wie ich das mit dem Zwischenwertsatz beweisen soll


OK, das oben gefundene Minimum bzw. Maximum würde ich zunächst geeignet bezeichnen.

Nun betrachte:



Meine Idee ist nun, auf g den Zwischenwertsatz anzuwenden und dabei speziell das oben aufgefundene Max. und Min. zu verwenden.


Zitat:
e)keine Ahnung. Ich vermute, dass man dort auch einen Satz anwenden muss aber ich weiß nicht welchen und habe auch keinen anderen Ansatz gefunden


Zunächst solltest du die Definition der glm. Konvergenz hinschreiben. Du weißt, jedes Folgenglied ist auch gleichmäßig stetig; lässt sich mit dieser Eigenschaft bereits die glm. Konvergenz zeigen ? (mal ausprobieren)

Grüße Abakus smile
Dr4gonclaw Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abakus

OK, das oben gefundene Minimum bzw. Maximum würde ich zunächst geeignet bezeichnen.

Nun betrachte:



Meine Idee ist nun, auf g den Zwischenwertsatz anzuwenden und dabei speziell das oben aufgefundene Max. und Min. zu verwenden.


Hmm aha. g(x) ist stetig, da sie aus zwei stetigen Fkt zusammengesetzt ist.Also sagt man das g(x) im Maximum von f(x) positiv sein muss und im Minimum negativ. Nachdem Zwischenwertsatz muss die Null an einer Stelle angenommen werden und damit die Pkt existieren, richtig?

Zitat:

Zunächst solltest du die Definition der glm. Konvergenz hinschreiben. Du weißt, jedes Folgenglied ist auch gleichmäßig stetig; lässt sich mit dieser Eigenschaft bereits die glm. Konvergenz zeigen ?


Wir haben in der Vorlesung mehr mit der und Definition gearbeitet, so dass ich mit der Folgendefinition nicht so viel anfangen kann.
Unsere Definition: Eine Fkt heißt glm stetig wenn es zu jedem ein gibt, so dass gilt für alle Pktepaare x, x' mit einem Abstand
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dr4gonclaw
Zitat:
Original von Abakus

OK, das oben gefundene Minimum bzw. Maximum würde ich zunächst geeignet bezeichnen.

Nun betrachte:



Meine Idee ist nun, auf g den Zwischenwertsatz anzuwenden und dabei speziell das oben aufgefundene Max. und Min. zu verwenden.


Hmm aha. g(x) ist stetig, da sie aus zwei stetigen Fkt zusammengesetzt ist.Also sagt man das g(x) im Maximum von f(x) positiv sein muss und im Minimum negativ. Nachdem Zwischenwertsatz muss die Null an einer Stelle angenommen werden und damit die Pkt existieren, richtig?


Genau so. Überlegen musst du noch, was passiert, wenn g an den Extremwerten gleich Null wird (das ist der Trivialfall).


Zitat:
Wir haben in der Vorlesung mehr mit der und Definition gearbeitet, so dass ich mit der Folgendefinition nicht so viel anfangen kann.
Unsere Definition: Eine Fkt heißt glm stetig wenn es zu jedem ein gibt, so dass gilt für alle Pktepaare x, x' mit einem Abstand


OK, die Definition der glm. Konvergenz dieser Funktionenfolge fehlt noch (die musst du laut Aufgabe zuerst hinschreiben). Danach solltest du dich mal an der Epsilontik versuchen.

Grüße Abakus smile
 
 
Dr4gonclaw Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Unsere Definition: Eine Fkt heißt glm stetig wenn es zu jedem ein gibt, so dass gilt für alle Pktepaare x, x' mit einem Abstand


Verstehe nicht worauf du hinaus willst, ist das keine Definition der glm Konvergenz?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Mach dir erstmal klar, dass gleichmäßig stetig und glm. konvergent zwei völlig verschiedene Sachen sind, denn glm. stetig bezieht sich auf Funktionen und glm. konvergent bezieht sich auf Funktionenfolgen.
Dr4gonclaw Auf diesen Beitrag antworten »

ach verdammt, hab unsere Definitionen alle auf einem Blatt stehn und hab ohne zu Denken die falsche abgeschrieben, also von vorne:

Unsere Definition:
konvergiert glm. gegen f falls für alle ein N existiert mit jür n>N
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dr4gonclaw
Unsere Definition:
konvergiert glm. gegen f falls für alle ein N existiert mit jür alle n>N


Da würde ich noch ein "alle" einfügen, damit es klarer wird. Jetzt kannst du versuchen mit den gegebenen Voraussetzungen, zu vorgegebenem Epsilon ein solches N zu finden.

Grüße Abakus smile
Dr4gonclaw Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann einsetzen so das man kriegt:

für n -> unendlich geht das gegen Null und wäre dann kleiner als epsilon.

Aber kann man ein konkreteres N finden?
Reicht das als Beweis?
Wie formuliert man das richtig?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Es muss für alle x gleichzeitig kleiner als epsilon sein.
Dr4gonclaw Auf diesen Beitrag antworten »

Für "hinreichend" großes n würde es ja kleiner epsilon für alle x sein, oder nicht?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso?
Dr4gonclaw Auf diesen Beitrag antworten »

weil für n -> unendlich, 0 wird und 0 ist ja wohl kleiner als jedes epsilon > 0. Aber die Frage ist ja, ob man das so oder so ähnlich machen kann. Wenn nicht, gebt mir bitte nen Tipp wie man das stattdessen machen kann.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Also du hattest:

konvergiert glm. gegen f falls für alle ein N existiert mit jür alle n>N

Demnach musst du dir zunächst ein Epsilon vorgeben. Gesucht ist das N, welches du konkret angeben musst.

Du hast die Eigenschaft der glm. Stetigkeit, und die würde ich jetzt mal anwenden.

Grüße Abakus smile
Dr4gonclaw Auf diesen Beitrag antworten »

tut mir leid aber ich verstehe nicht worauf du hinaus willst traurig
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Du beginnst mit: "Sei gegeben."
Dr4gonclaw Auf diesen Beitrag antworten »

wie immer, aber ich verstehe nicht wie man die eigenschaft der glm stetigkeit anwendet um auf ein konkretes N zu kommen !?¿?!
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

ist äquivalent zu?
Dr4gonclaw Auf diesen Beitrag antworten »

?

iwie bin ich verwirrt !?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Und was glaubst du, ist jetzt wohl das N?
Dr4gonclaw Auf diesen Beitrag antworten »



Aber was habe ich davon?
Woher kommt das . Das taucht doch in der Definition der glm. Konvergenz gar nicht auf?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das, was du wolltest. Dir ist doch schon klar, was mit dem delta gemeint ist, oder?
Dr4gonclaw Auf diesen Beitrag antworten »

iwie nicht
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, dann streng deinen Grips einfach mal etwas an. Ich sag's dir jedenfalls nicht. Schreib auf, was du hast. Vielleicht findest du da ja zufällig irgendwo ein delta...
Dr4gonclaw Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, jetzt habe ich es:

Sei
Es gilt zz: für n>N
Dies folgt bereits aus der glm Stetigkeit von f, nach der gilt für alle Pktepaare x', x mit Abstand . Abstand ist in diesem Fall

Ist das richtig?
Ist das richtig formuliert?
Kann man was besser machen?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, du meinst das richtige. Aber du machst nicht klar, wo das delta herkommt. Es steht bei dir einfach so da. Das solltest du beim Aufschreiben klarmachen.
olli91 Auf diesen Beitrag antworten »
leida zum anderen thema
heyy ihr könnt ihr mir ne frage zu den strahlensätzen erklärren büdddeeeee

olli
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Bist du noch ganz fit? Troll dich in ein passendes Forum.
Dr4gonclaw Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Ich denke, du meinst das richtige. Aber du machst nicht klar, wo das delta herkommt. Es steht bei dir einfach so da. Das solltest du beim Aufschreiben klarmachen.


Meinst du ich sollte noch sowas wie dazuschreiben?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Was ist denn delta? Irgendeine Zahl, die einfach aus der Luft gegriffen ist?
Dr4gonclaw Auf diesen Beitrag antworten »

ach so als noch dazu: Sei
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Nö. Das bestimmt nicht.
Dr4gonclaw Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, was du meinst verwirrt Bitte sag es mir, morgen werde ich es wahrscheinlich brauchen unglücklich
Rheuma Kai Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ist's genug!

Sei beliebig.
f ist gleichmäßig stetig.


Wähle mit

für alle und .

Dann gilt nach obigen Ausführungen:

.

Fertig.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Na, du bist ja ein ganz feiner Kerl. Das wird den Jungen ganz bestimmt weiterbringen...
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