Relation

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bixi Auf diesen Beitrag antworten »
Relation
Ich habe ein kleines Problem und ich hoffe, dass mr wer weiterhilft:

Ich soll ein Beispiel einer symmetrischen und transitiven Relation einer endlichen Menge angeben, die aber keine Äquivalenzrelation ist.

Ich hoffe, dass irgendwer die Antwort kennt.

Danke im Voraus!!!
eule Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relation
1) aRb
2) bRa (Symetrie 1))
3) aRbRa (1) und 2))
4) aRa (trans. aus 3)

Das heist _wenn_ je zwei Elemente in Relation stehen ist die Relation reflexsiv.
Nimm also am besten die leere Relation (bei der gar nichts miteinander in Relation steht) auf einer beliebigen endlichen Menge. Die erfüllt deine Anforderung.
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

da hab ich auch ne kleine Frage zu Relation an sich.
Die Relation ist doch eine Teilmenge des kartesischen produktes oder ?

und das kartesische Produkt stellt lediglich eine gepaarte Zuordnung eines Elements einer menge zu einem bestimmten Element der anderen Menge dar oder?
das kartesische produkt ist also KEINE multiplikation.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
das kartesische produkt ist also KEINE multiplikation.


Was ist denn die Multiplikation? (Definition)

Zitat:
Die Relation ist doch eine Teilmenge des kartesischen produktes oder ?


Ja.
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Was ist denn die Multiplikation? (Definition)

Die Multiplikation ist eine Rechenoperation , (keine Zuordnung) . Due Multiplikation entsteht durch das wiederholte addieren des gleichen Summanden.

nun glaube ich doch, dass das kartesische Produkt die Multiplikation sein kann, da eine Verknüpfung auf M ja eine Abbildung ist. also kann das kartesische Produkl jede Art von Abbildungen sein, es muss nur ein geordnetes Paar sein.
dazu nochwas: darf man, wenn man vom geordneten Paar, also dem kartesischen Produkt redet, eigentlich einem Element aus M, ein Element aus N zuordnen und danach noch ein anderes, sodass das x zweimal beelgt ist?
Das schließt sich mit der Definiton aus oder?
Franz Ose Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo The_Lion,

Ich hoffe, ich rede nicht an dir vorbei, wenn doch: Schrei einfach *g*

Eine Abbildung von A nach B ist eine Teilmenge R von AxB (also eine Relation), die die Bedingung erfüllt, dass jedes Element von A in genau einem Paar von R vorkommt.
Somit ist das kartesische Produkt (außer wenn A und B einelementig sind) in diesem Sinne keine Abbildung.

Bei einer allgemeinen Relation kann es sein, dass einem Element x aus M mehrere Elemente y aus N zugeordnet sind, dass also y1 und y2 verschiedene Elemente von N sind, so dass (x, y1) und (x, y2) Elemente von R sind. Nur ist das dann keine Abbildung.

Eine Multiplikation im algebraischen Sinne ist eine Abbildung mit zwei Argumenten:
*: M x M -> M
Als Relation geschrieben ist das eine Teilmenge des kartesischen Produkts (M x M) x M.

Das kartesische Produkt ist in einem bestimmten, mengentheoretischen Sinne, eine Multiplikation, nämlich als Multiplikation von Kardinalzahlen. Aber diese Interpretation hängt nur sehr lose mit dem zusammen, was man unter der Multiplikation von Zahlen versteht.


Deinen Satz "also kann das kartesische Produkl jede Art von Abbildungen sein, es muss nur ein geordnetes Paar sein" verstehe ich nicht: Wie soll ein kartesisches Produkt ein geordnetes Paar sein? Es besteht doch aus geordneten Paaren. verwirrt
 
 
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Deinen Satz "also kann das kartesische Produkl jede Art von Abbildungen sein, es muss nur ein geordnetes Paar sein" verstehe ich nicht: Wie soll ein kartesisches Produkt ein geordnetes Paar sein? Es besteht doch aus geordneten Paaren.


ja stimmt du hast recht, es besteht daraus.

wieso ist eine abbildung von A nach B denn eine TEilmenge von A x B ?

A x B und A-->B

hierbei sind doch in A--> B viel mehr Paarungen enthalten, als bei A x B, da in einer Abbildung jedem b mehrere a-werte zugeordnet werden dürfen ! (?)

edit: muss beim kartesischen Produkt eigentlich jeder ersten Zahl aus A die erste Zahl aus B zugeordnet werden, sodass diese ein Paar bilden. Dann geht es weiter mit jeder zweiten zahl aus A und jeder zweiten Zahl aus B. oder ist die zuordnung willkürlich?
Franz Ose Auf diesen Beitrag antworten »

In A x B wird jedem b jedes a zugeordnet - mehr geht nicht. *g*

Wie gesagt nennt man eine Relation R zwischen A und B, für die jedes Element von A in genau einem Paar an erster Stelle (! war vorher ungenau formuliert) vorkommt, eine Abbildung.

Ist nun a aus A, dann gibt es also genau ein Paar (a, b) in R, in dem a an erster Stelle vorkommt. Dieses eine Element b ist das Bild von a unter der Abbildung R:
Ist a aus A und b aus B mit (a,b) in R, dann setzt man R(a) = b.
Franz Ose Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Beispiel:
A = {a, b}
B = {1, 2}

Dann ist A x B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2)}

Du siehst: Jeder mit jedem, aber immer schön auf die Reihenfolge achten: (Element von A, Element von B).
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist eigentlich der Vor und der Nachbereich ?


Sei M =! leere und R eine relation in M.

Was genau ist z.B. , wenn die Relation reflexiv ist ?
Muss man sich das im kartesischen Koordinatensystem veranschaulichen ?
Dan wäre das das Punktepaar (x,x). Somit also die Winkelhalbierende.

Wie ist das bei der Symmetrie? (xRy =>yRx) für alle x,y € M.
Was genau hat das zu bedeuten. ich verstehe schon, dass es eine wechselseitige Bezihung gibt, aber ich verstehe das gesamtkonzept dahinter nicht.

transitiv: bezieht sich das nur auf die Relation < "kleiner" bzw > "größer" ?

irreflexiv: x "nicht R" x für alle x€M
bedeutet das, alle relationen außer der reflexiven sind möglch ?

antisymmetrie : ist doch dasselbe wie symmetrie, nur dass x=! y noch eine Bedingung ist.

Die Identische Relation ist die Abbildung auf sich selbst, is das so korrekt ? Augenzwinkern


kleines beispiel:
Sei M= Z(ganze Zahlen) . Durch xRy :<=> |x-y| <= 1 wird eine reflexive und symmetrische, aber nicht transitive Relation in (ganze Zahlen).

Dass es symmetrisch ist, sehe ich. auf grund des betragsszeichens kann man x und y vertauschen, ohne dass sich was verändert. oder ist das jetzt das falsche argument?
Aber woran erkannt man die reflexivität und die transitivität?
Woran "misst" man das?
Aber


Danke schonmal.
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

da wäre eine Frage zu ner Schreibweise: M--> N , jedoch auf M und N jeweils eine Tilde. Ist das dann die Funktion, in der Die Relation in M auf die Relation in N abgebildet wird ?
kann auch sein, dass das nur eine andere Funktion dargestellt werden soll, den davon ist die Rede.

Was Vor- und Nachbereich sind, weiß ich jetzt. Vorbereich ist die Menge der gesamten x, die in den geordneten Paaren jeweils vorne stehen. Nachbereich ist die Gesamtheite der y, die in den geordn Paaren an zweiter Stelle stehen.

Wenn ich nun die Mengen M_1 und M_2 habe und M_1 auf M_2 abgebildet wird (Funktion !) , dann ist M_1 der Definitionsbereich und M_2 der Bildbereich. N(R) ,also der Nachbereich ist der Wertebereich.
Wieso ist hierbei denn nicht V(R) der Definitionsbereich ??
Wäre M_1 nicht die gesamte Urbildmenge ?


Gilt die Reflexivität bei einer Relation in M nicht automatisch immer ?
bzw. wann gilt sie nicht? in einer Relation zwischen zwei und mehr Mengen ?

DANKE.
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