Definition von e

18.10.2004, 21:12

Mathespezialschüler

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Definition von e

Hi, hab auch mal wieder ein "Problem":
Ich hab mir mal folgendes Modell überlegt:

Ich gehe mal von den üblichen Definitionen der Zahl e weg und will sie auf andere Art und Weise definieren. Aus den allgemein bekannten Definitionen folgt ja, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=e^x\ \Rightarrow\ f'(0)=e^0=1 \end{eqnarray*}$ . Die Tangentengleichung für die Tangente an f(x) im Punkt 0 ist somit $\begin{eqnarray*} y=x+1 \end{eqnarray*}$ . Und da die e-Funktion linksgekrümmt ist, folgt daraus, dass für alle x

$\begin{eqnarray*} e^x\geq 1+x \end{eqnarray*}$

ist. Das is jetzt natürlich etwas 'geometrisch' bzw. anschaulich, die analytisch korrekte Begründung ist nicht schwer, aber darum geht es mir auch nicht. Es geht vielmehr um folgendes: Ich mache diese Eigenschaft zur Definition, wir vergessen erstmal alles, was wir zu e wissen.

$\begin{eqnarray*} \mbox{Definition: Diejenige positive reelle Zahl a (, falls sie existiert und die einzige ist, für die dieses gilt),} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mbox{ für die}\ \ a^x\geq 1+x\ \ \forall\ x\in \mathbb R\ \ \mbox{gilt, heißt eulersche Zahl. Man schreibt für sie auch den Buchstaben e.} \end{eqnarray*}$

Nun möchte ich aus dieser Definition das bekommen, was ich in Klammern als Bedingung geschrieben habe:
1. Es soll bewiesen werden, dass eine solche Zahl existiert.
2. Es soll bewiesen werden, dass diese Zahl eindeutig ist, also eine, und nur eine reelle Zahl existiert, für die dieses gilt.

Die Existenz wäre leicht nachzuweisen, indem man die Zahl a definiert als

$\begin{eqnarray*} a:=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

, dann zeigt, dass daraus

$\begin{eqnarray*} a^x=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

folgt. Dann gilt nach der bernoullischen Ungleichung, falls $\begin{eqnarray*} \frac{x}{n}\geq -1 \end{eqnarray*}$ , was ab einem bestimmten n und erst recht für n gegen unendlich sicherlich gilt, dass

$\begin{eqnarray*} a^x=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n\geq \lim_{n\to \infty} 1+\frac{x}{n}\cdot n=1+x \end{eqnarray*}$

Aber genau das will ich nicht!! Ich will nicht, dass man eine reelle Zahl so definiert und das so zeigt, sondern ich will, das man beweist, dass aus der Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} e^x\geq 1+x \end{eqnarray*}$

folgt, dass

$\begin{eqnarray*} e=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} e=\lim_{x\to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

also keinerlei Wissen über e hat außer dieser Eigenschaft.
Leider bin ich auf diesem Wege noch nicht weit gekommen. Hat jmd. vielleicht eine Idee und kann mir einen Tipp geben?

Danke euch für die Antworten! smile

smile

18.10.2004, 22:41

Poff

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RE: Definition von e
du kannst nachweisen dass sie die Steigung 1 haben muss in Null

kannst nachweisen dass es nur eine Expo gibt mit dieser Eigenschaft

kannst nachweisen, dass die mit der 'Steigung 1' die geforderte
Bedingung erfüllt über ganz R

das zur Existenz und Eindeutigkeit

wie du dann zu deinem e kommst kannst selbst rausknobeln . Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

20.10.2004, 00:33

Mathespezialschüler

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Hi Poff! Danke für die Tipps, aber mir ist einiges unklar:

Zitat:

Original von Poff
du kannst nachweisen dass sie die Steigung 1 haben muss in Null

Wie soll das gehen? 'Bis jetzt' weiß ich doch über die Exponentialfunktionen sogut wie nichts. Ich kenne ihre Definition, ich weiß schon, dass sie stetig sind. Aber ich weiß nich, dass sie differenzierbar sind. Und wie soll ich dann das mit der Steigung von 1 analytisch beweisen?

Zitat:

Original von Poff
kannst nachweisen dass es nur eine Expo gibt mit dieser Eigenschaft

kannst nachweisen, dass die mit der 'Steigung 1' die geforderte
Bedingung erfüllt über ganz R

Hast du dir schon konkret Gedanken dazu gemacht? Wenn ja, noch n Tipp wie ich das machen kann?!

Danke dir! Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.10.2004, 00:38

Poff

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*gg*

... erstmal das glaub ich dir und eins der größten Probleme dabei
dürfte sein, dass die Ableitung von a^x nicht explizit bekannt sein
'darf'.
.

20.10.2004, 00:40

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Poff
*gg*

... erstmal das glaub ich dir und eins der größten Probleme dabei
dürfte sein, dass die Ableitung von a^x nicht explizit bekannt sein
'darf'.
.

Was glaubst du mir? verwirrt

verwirrt

Hast du dir denn schon gröbere Gedanken gemacht? Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.10.2004, 00:57

Poff

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ja, du weist nun nach, dass die Ableitung die du einfach formal
bestimmst (Differenzierbarkeit denke ich kannst du mal unterstellen),
dass diese Ableitung in Null 1 sein muss.

Also du weist nach dass f'(0) = 1 sein muss
.

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20.10.2004, 01:09

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Poff
Differenzierbarkeit denke ich kannst du mal unterstellen

Ich wüsste nicht wie (ich wills analytisch absolut korrekt machen!)! Man bräuchte den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}=\ln(a) \end{eqnarray*}$

Dass das gegen ln(a) geht, beweist man aber gerade über $\begin{eqnarray*} e=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ (das is der einzige Beweis, den ich kenne) ... mmmh verwirrt

verwirrt

20.10.2004, 01:19

Poff

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absolut korrekt machen kannst auch indem du mal was unterstellst
und unter der Annahme dessen beweist, mit der Vorgabe das
andere dann später nach Möglichkeit nachzuholen.

Das einzige massive Prob das ich direkt sehe ist das mit der
Differenzierbarkeit. Es geht nur um die 'Keit'.

Denk mal nach obs nicht Kriterien gibt aus denen heraus das
einfach geschlossen werden könnte ...,
bzw was dazu evtl noch gebraucht würde

20.10.2004, 01:31

Mathespezialschüler

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Ich kenn noch ne andere Definition für Differenzierbarkeit:

Definition: Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:x\to f(x),\ x\in D_f \end{eqnarray*}$ ist genau dann in einem Punkt a differenzierbar, wenn eine Funktion $\begin{eqnarray*} f_1(x) \end{eqnarray*}$ existiert, sodass
1. $\begin{eqnarray*} f(x)=f(a)+(x-a)\cdot f_1(x),\ x\in D_f \end{eqnarray*}$
2. Die Funktion $\begin{eqnarray*} f_1:x\to f_1(x) \end{eqnarray*}$ ist stetig in der Stelle a
gilt.

f1 ist dann die Ableitungsfunktion, aber ob diese Fassung hilft... verwirrt

verwirrt

20.10.2004, 01:41

Poff

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ich dachte mehr an stetig, Monotonie usw., nicht an ne Definition
von Diffbarkeit sondern mehr an einen Schluss der Existenz auf
Grund anderer 'elementarer' Gegebenheiten.

Musst mal 'Franz Ose', 'Indy Ana', oder wie diese Gestalten alle
heißen, oder Leopold, oder WebFritzi, oder ... fragen
.

20.10.2004, 01:44

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Poff
Musst mal 'Franz Ose', 'Indy Ana', oder wie diese Gestalten alle
heißen, oder Leopold, oder WebFritzi, oder ... fragen
.

haha, Franz Ose Hammer

Hammer

Big Laugh

So meintest du das, ich glaub, das wird schwer, wie man das zeigen kann (wie Leopold schön sagt, die Glattheit der Kurve), dazu reichen diese elementaren Dinger, glaub ich, nich aus.
Aber ich wart mal auf Leopold (oder wen anderen, wollen ja keinen verscheuchen oder 'runter machen' Augenzwinkern

Augenzwinkern

).
Ich denk auch nochmal selber drüber nach ...

20.10.2004, 02:11

Poff

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Du kannst aber schonmal weiterdenken und die Differenzier-
barkeit einfach mal unterstellen. Ich meine das sei keine 'größere'
Sache. Den 'Wert' brauchst dazu ja nicht kennen.

'Franz Ose', doch der war heute da und ist ein Funktionsspezialist

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
...
Ich wüsste nicht wie (ich wills analytisch absolut korrekt machen!)! Man bräuchte den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}=\ln(a) \end{eqnarray*}$
...

... das brauchst du übrigens meiner Meinung nach genau nicht,
(NOCH nicht), sondern nur dass lim ... existiert.

20.10.2004, 02:34

Mathespezialschüler

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Nagut, lassen wir das jetzt weg. So zum Nachweisen, dass f'(0)=1, wie soll ich das denn machen? Ich müsste beweisen, dass es nur einen Schnittpunkt, nämlich bei x=1 gibt ... verwirrt

verwirrt

20.10.2004, 02:36

Poff

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ganz genau so ... :-oo

du beweist im Widerspruch falls f'(0) <> 1 gilt die Ungleichung
nicht

20.10.2004, 03:07

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} f'(0)\neq 1\Rightarrow \exists\ x_0\in \mathbb R \setminus \{0\}: f(x_0)=1+x_0 \end{eqnarray*}$
Aber wie gehts weiter? Das Teilstück dazwischen liegt drunter, klar, aber warum? verwirrt

verwirrt

Wenn das dann fertig wäre, dann könnt ich so argumentieren:
Also muss gelten f'(0)=1. Dann ist wegen f(0)=1 die Tangentengleichung

$\begin{eqnarray*} y=1+x \end{eqnarray*}$

Da e>1 sein muss (für alle Basen <1 kann man direkt zeigen, dass die Ungleichung nich gilt), könnte ich mit epsilon-... beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -\infty} e^x=0 \end{eqnarray*}$ ist, also x-Achse Asymptote. Wegen Monotonie gilt dann die Ungleichung auf jeden Fall für alle $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$ . Aber wie siehts danach aus? Wer sagt mir (außer meiner erfahrung), dass bei 0 kein Wendepunkt ist und der Graph auf einmal nach rechts geht? verwirrt

verwirrt

20.10.2004, 03:24

Poff

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Aber wie gehts weiter? Das Teilstück dazwischen liegt drunter, klar, aber warum?

Zwischenwertsatz, Mittelwertsatz oder wie das Zeug heißt,
ich meine damit müsste sich das zeigen lassen. Es ist natürlich
klar dass dazu zumidest die Diffbarkeit in einem Intervall um Null
benötigt wird und nicht nur solo im Punkt Null.

Wer sagt mir (außer meiner erfahrung), dass bei 0 kein Wendepunkt
ist und der Graph auf einmal nach rechts geht?

nun ich denke dazu musst auch noch diverse Eigenschaften von
einfachen Exponentialfunktionen mit reinbringen, dass die eben
KEINEN Wendepunkt haben können usw.

20.10.2004, 17:11

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Poff
Es ist natürlich
klar dass dazu zumidest die Diffbarkeit in einem Intervall um Null
benötigt wird und nicht nur solo im Punkt Null.

Wenn man bewiesen hat, dass f in 0 diffbar ist, dann hat man es auch schon für alle x bewiesen, denn eine Umformung des Differentialquotienten ergibt
$\begin{eqnarray*} f'(x)=f'(0)\cdot f(x)=f'(0)\cdot a^x \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Poff
Wer sagt mir (außer meiner erfahrung), dass bei 0 kein Wendepunkt
ist und der Graph auf einmal nach rechts geht?

nun ich denke dazu musst auch noch diverse Eigenschaften von
einfachen Exponentialfunktionen mit reinbringen, dass die eben
KEINEN Wendepunkt haben können usw.

*selber antwort*
Wenn wir die Differenzierbarkeit bei 0 und somit auf ganz R gezeigt haben, dann ist

$\begin{eqnarray*} f''(x)=(f'(0))^2a^x>0 \end{eqnarray*}$

Dazu müssten wir noch beweisen, dass f'(0) nicht 0 ist. Dass es nicht negativ ist, hab ich schon bewiesen. Damit hätten wir 1. analytisch die Monotonie bewiesen und 2., dass es keinen Wendepunkt gibt. Mein Lehrer hat mir nen Tipp zu dem Widerspruchsbeweis gegeben. Ich versuch jetzt gleich mal, damit was zustande zu bringen.

edit: Dass f'(0) nicht 0 ist, müsste auch relativ einfach gehen. Wenn wir doch voraussetzen, dass wir Monotonie ohne Ableitung gezeigt haben, dann muss aber somit für alle x aus R f'(x)>0 gelten, womit das schon bewiesen wäre.

edit2:

Zitat:

Original von Poff
ganz genau so ... :-oo

du beweist im Widerspruch falls f'(0) <> 1 gilt die Ungleichung
nicht

Warum denn eigentlich so? Wir bräuchten doch die Negation von

$\begin{eqnarray*} f'(0)=1\Rightarrow f(x)\geq 1+x\ \ \forall\ x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

die wäre doch aber

$\begin{eqnarray*} \exists\ b\in \mathbb R: f(b)<1+b \Rightarrow f'(0)=1 \end{eqnarray*}$

oder nicht? Wenn wir die widerlegen, dann folgt aus f'(0)=1 die Ungleichung.
Wenn ich zeigen würde, dass aus f'(0) ungleich 1 folgt, dass die Ungleichung nicht gilt, dann folgt ja daraus noch lange nicht, dass für f'(0)=1 die Ungleichung gilt Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.10.2004, 21:53

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
...
Wenn ich zeigen würde, dass aus f'(0) ungleich 1 folgt, dass die Ungleichung nicht gilt, dann folgt ja daraus noch lange nicht, dass für f'(0)=1 die Ungleichung gilt Augenzwinkern

Augenzwinkern

dann folgt ja daraus noch lange nicht, dass für f'(0)=1 die Ungleichung gilt

das war ja auch so nicht angedacht und sollte ein extra 'Schritt'
werden. Meine Vorstellung war grob folgende

Zeige f'(0) = 1

Zeige dass falls f = a^x und g = b^x und f'(0) = g'(0) = c <>0
dann f = g gilt

Zeige dass die Ungleichung über ganz R gilt

Das waren meine Vorstellungen, inwiefern und ob das so gut
umsetzbar ist oder nicht doch eine andere Richtung gewählt
werden sollte, dahingehend wollte ich damit nichts sagen,
sondern nur, dass mir das Obige erreichbar schien ...
.

20.10.2004, 22:05

WebFritzi

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Was ist denn bei dir a^x, wenn du e noch garnicht kennst?

20.10.2004, 22:51

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

eine Exponentialfunktion mit a > 0
.

20.10.2004, 23:07

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

@Poff
Er meint wohl die Definition.

@Webfritzi
Für alle reellen $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ definiere ich:

$\begin{eqnarray*} a^1:=a\ ,\ a^{n+1}=a^n\cdot a\ \ \forall\ n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^0:=1 \end{eqnarray*}$

Für alle reellen $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ und natürliche n wird außerdem definiert:

$\begin{eqnarray*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \ \forall\ n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

und weiter $\begin{eqnarray*} 0^n:=0\ \ \forall\ n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Ist a nichtnegativ und p natürlich, dann kann man zeigen, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^p=a \end{eqnarray*}$ genau eine nichtnegative Lösung besitzt. Definition:

$\begin{eqnarray*} \mbox{Sei}\ a\geq 0,\ p\in \mathbb N.\ \mbox{Die einzige nichtnegative Lösung der Gleichung}\ x^p=a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mbox{wird mit}\ a^{\frac{1}{p}}\ \mbox{oder}\ \sqrt[p]{a}\ \mbox{bezeichnet und die p-te Wurzel aus a genannt.} \end{eqnarray*}$

Jetzt die Definition für rationale Exponenten:

Für alle positiven a und positive rationale $\begin{eqnarray*} r:=\frac{p}{q}\ \ p,q\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ setze ich

$\begin{eqnarray*} a^r:=\sqrt[q]{a^p},\ a^{-r}:=\frac{1}{\sqrt[q]{a^p}} \end{eqnarray*}$

und weiter für alle positiven rationalen r $\begin{eqnarray*} 0^r:=0 \end{eqnarray*}$

Reelle Exponenten. Durch vorhergehende Überlegungen kann man zeigen, dass folgende Definition für rationale Exponenten mit obiger übereinstimmt:
Sei $\begin{eqnarray*} (r_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge ausschließlich rationaler Zahlen und $\begin{eqnarray*} r_n\to \rho \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und außerdem a positiv reell, so wird definiert:

$\begin{eqnarray*} a^{\rho}:=\lim_{n\to \infty} a^{r_n} \end{eqnarray*}$

Für positive $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ wird außerdem ergänzend festgesetzt:

$\begin{eqnarray*} 0^{\rho}:=0 \end{eqnarray*}$

Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ wird vorerst nicht definiert.

Is das ausreichend? Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.10.2004, 23:56

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht gut aus. Da müsste man zwar noch einiges zeigen (vor allem: die Unabhängigkeit von der Wahl der Folge rationaler Zahlen für den Grenzwert). Aber das akzeptiere ich. Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.10.2004, 23:58

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das hab ich jetzt mal weggelassen ...
Is aber alles begründet, habs so ausm Heuser und der hat das natürlich noch alles bewiesen ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.10.2004, 17:10

Bill I. Ganbieter

Auf diesen Beitrag antworten »

Da Poff sich hier so wohlwollend ueber Franz Ose geaeussert hat, will ich mal eine kleine Zusatzueberlegung in die Runde werfen.

Sei a eine positive reelle Zahl mit der Eigenschaft, dass fuer jede reelle Zahl x die Ungleichung
$\begin{eqnarray*} a^x \geq 1+x \end{eqnarray*}$
gilt.

Dann gilt insbesondere:
$\begin{eqnarray*} a^{1/n} \geq 1 + 1/n \end{eqnarray*}$ , fuer jede natuerliche Zahl n.
Bilden wir die n-te Potenz, erhalten wir (weil wir positive Zahlen potenzieren)
$\begin{eqnarray*} a \geq (1 + 1/n)^n \end{eqnarray*}$ .

Wir haben ausserdem
$\begin{eqnarray*} a^{-1/(n+1)} \geq 1 - 1/(n+1) \end{eqnarray*}$ , fuer jede natuerliche Zahl n.
Gehen wir hier zu Kehrwerten ueber (was wir duerfen, da 1 - 1/(n+1) positiv ist), erhalten wir
$\begin{eqnarray*} a^{1/(n+1)} \leq 1/(1 - 1/(n+1)) = (n+1)/n = 1 + 1/n \end{eqnarray*}$
Bilden wir die (n+1)-te Potenz, erhalten wir
$\begin{eqnarray*} a \leq (1 + 1/n)^{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Wenn es also eine solche Zahl a gibt, erfuellt sie fuer jede natuerliche Zahl n die Bedingung
$\begin{eqnarray*} (1+1/n)^n \leq a \leq (1+1/n)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Da beim Grenzuebergang (n -> oo) die linke und die rechte Seite der Ungleichungskette gegen denselben Wert konvergieren, gibt es genau eine Zahl a, die diese Ungleichungskette erfuellt. (Dass die beiden Folgen konvergieren und denselben Grenzwert haben, kann man aus einem Ana-I-Skript rausschreiben oder sich selbst herleiten. *g*)

Nun stellt sich umgekehrt die Frage, ob diese eine Zahl a tatsaechlich die Bedingung a^x >= 1+x fuer alle x erfuellt, ob es also eine solche Zahl ueberhaupt gibt.

Aber das ist eine andere Geschichte und soll ein andermal erzaehlt werden... Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.10.2004, 15:29

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

@Bill I. Ganbieter
Mit 1/n hatte ich das auch schon, war ja nich so schwer. Aber danke, dass du auch das für n+1 gezeigt hast, da bin ich an einer Stelle hängengeblieben! Freude

Freude

Dass die beiden konvergent sind und wie man das zeigt, das ist mir natürlich völlig bekannt!
Sicher kann man das so machen und die Eindeutigkeit und die Existenz zeigen, aber ich wollte es lieber auf anderem Wege machen, d.h. über die Eigenschaften der allgemeinen Exponentialfunktion u.Ä.

Und deswegen werd ich mich nochmal mit meinem Lehrer verständigen und seine Beweisidee nochmal hinterfragen, da ich da noch Probleme sehe. Ich werd mich dann zu dem Thema Montag nochmal melden Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.10.2004, 15:37

Bill Derbuch

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Sicher kann man das so machen und die Eindeutigkeit und die Existenz zeigen, aber ich wollte es lieber auf anderem Wege machen, d.h. über die Eigenschaften der allgemeinen Exponentialfunktion u.Ä.

Welche Eigenschaften von Exponentialfunktionen meinst du denn?

Mit meiner Argumentation habe ich doch genau eine deiner Starterfragen beantwortet:
Aus der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} a^x \geq 1+x \end{eqnarray*}$ für eine reelle Zahl a
folgt die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} a = \lim_{n\to\infty} (1 + 1/n)^n \end{eqnarray*}$ .
Und das ohne alle anderen Eigenschaften der Zahl e - die ja selbst gar nicht verwendet wurde - zu benutzen.

Was mit meinem Beitrag nicht beantwortet wurde, ist die andere Frage, ob eine solche Zahl a tatsächlich existiert.

Der einzige Kandidat ist aber die Zahl $\begin{eqnarray*} a:=\lim_{n\to\infty} (1 + 1/n)^n \end{eqnarray*}$ , und egal wie man diese Zahl nun darstellt, mit irgendeiner Darstellung dieser Zahl muss man arbeiten, wenn man beweisen will, dass sie die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} a^x \geq 1+x \end{eqnarray*}$ hat.
Es sei denn, man findet einen nichtkonstruktiven Existenzbeweis, der nur liefert, dass es eine solche Zahl geben muss, ohne sie anzugeben. In dem Fall liefert meine Argumentation die Angabe, welche diese Zahl sein muss.

25.10.2004, 20:57

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Nach einem kleinen Tipp von meinem Lehrer habe ich es relativ einfach hinbekommen. Man setze voraus, dass f in 0 und somit auf ganz R differenzierbar ist und dass sowohl f als auch f' streng monoton steigend sind (daraus folgt insbesondere $\begin{eqnarray*} f'(x)=f'(0)f(x)>0\ \Rightarrow\ f'(0)>0 \end{eqnarray*}$ ). Außerdem natürlich, dass f und somit auch f' stetig sind und nach dem Zwischenwertsatz dann als Wertebereich alle positiven reellen Zahlen annehmen.

Folgendes soll bewiesen werden:
Wenn ein reelles a existiert, sodass $\begin{eqnarray*} a^x\geq 1+x\ \ \forall x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , dann gilt für dieses:

$\begin{eqnarray*} f(x)=a^x\geq 1+x\ \ \forall\ x\in \mathbb R\ \ f'(0)=1 \end{eqnarray*}$

Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} f'(0)<1 \end{eqnarray*}$ . Da f' streng monoton steigend und stetig ist, gilt:

$\begin{eqnarray*} \exists\ b>0\ :\ f'(b)=1 \end{eqnarray*}$

Nach dem Mittelwertsatz gilt aber

$\begin{eqnarray*} \exists\ c\in (0,b)\ :\ f'(c)=\frac{f(b)-f(0)}{b-0}=\frac{f(b)-1}{b}<1 \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} <1 \end{eqnarray*}$ gilt, weil $\begin{eqnarray*} 0<c<b \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} f'(0)<f'(c)<f'(b)=1 \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt sofort

$\begin{eqnarray*} f(b)<1+b \end{eqnarray*}$

Sei nun $\begin{eqnarray*} f'(0)>1 \end{eqnarray*}$ . Da f' streng monoton steigend ist und alle positiven reellen Zahlen annimmt, gilt:

$\begin{eqnarray*} \exists\ b<0\ :\ f'(b)=1 \end{eqnarray*}$

Nach dem Mittelwertsatz gilt aber

$\begin{eqnarray*} \exists\ c\in (b,0)\ :\ f'(c)=\frac{f(0)-f(b)}{0-b}=\frac{1-f(b)}{-b}>1 \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} >1 \end{eqnarray*}$ gilt wiederum, weil $\begin{eqnarray*} b<c<0 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} 1=f'(b)<f'(c)<f'(0) \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt wieder sofort

$\begin{eqnarray*} f(b)<1+b \end{eqnarray*}$

Somit wurde bewiesen:

$\begin{eqnarray*} \left(f'(0)\neq 1\ \Rightarrow\ \exists\ b\in \mathbb R\ :\ f(b)<1+b \right)\ \Leftrightarrow\ \left(f(x)\geq 1+x\ \ \forall\ x\in \mathbb R\ \Rightarrow\ f'(0)=1\right) \end{eqnarray*}$

Jetzt muss man "nur noch" die Existenz und die Eindeutigkeit eines a beweisen, sodass f'(0)=1. Dass f'(0) existiert, muss man vor dem obigen Beweis schon bewiesen haben (sonst wäre der ungültig). Da muss ich dann auch noch mal drüber nachdenken ...

29.10.2004, 21:45

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Definition von e
OK, dass die Expo mit f'(0)=1 die Eigenschaft erfüllt, krieg ich auch hin...
Die Existenz geht ja dann über den Grenzwert, da muss ich mir noch was überlegen ...

Zitat:

Original von Poff
kannst nachweisen dass es nur eine Expo gibt mit dieser Eigenschaft

Wie hast n dir das eigentlich gedacht? verwirrt

verwirrt

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