Kettenbruchentwicklung

18.10.2004, 22:07	Calahan	Auf diesen Beitrag antworten »
Kettenbruchentwicklung Die folgende Aufgabe entstammt angeblich einer russischen Mathematik-Olympiade: Beweise die Kettenbruchentwicklung: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \frac{1}{\displaystyle 1 - \frac{1}{\displaystyle 3 - \frac{2^2} {\displaystyle 5 - \frac{3^2} {\displaystyle 7 - \frac{4^2} {\displaystyle \ddots (2n-3)-\frac{(n-1)^2}{2n-1}}}}}} \end{eqnarray}$ Viel Spaß dabei!
21.10.2004, 10:17	Calahan	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kettenbruchentwicklung 36 hits und noch nix zählbares...
21.10.2004, 10:31	Bruce	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eine interessante Aufgabe , da muß man geduldig bleiben!
21.10.2004, 21:53	Bruce	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann einen konstruktiven Vorschlag zur Lösung der Aufgabe anbieten . Betrachte die Folge $\begin{eqnarray} a_1,a_2,\cdots,a_n \quad\mbox{mit}\quad a_1=2n-1 \quad\mbox{und}\quad a_{k+1}=2(n-k)-1-\frac{(n-k)^2}{a_k}. \end{eqnarray}$ Für den Kettenbruch auf der rechten Seite der zu beweisenden Gleichung gilt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{a_n}=\frac{1}{\displaystyle 1-\frac{1}{\displaystyle 3-\frac{2^2}{\displaystyle 5-\frac{\displaystyle 3^2}{\begin{array}{ccc}\displaystyle 7&\displaystyle-&\frac{\displaystyle4^2}{\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad}\\ &\ddots&(2n-3)-\frac{\displaystyle(n-1)^2}{\displaystyle 2n-1}\end{array}}}}} \end{eqnarray}$ Dies ergibt sich einfach durch Rekursion aus der Definition der Folge a_k. Außerdem gilt für k<n-1: $\begin{eqnarray} \frac{1}{a_{n-k}-k}=\frac{1}{2k+1-\frac{\displaystyle(k+1)^2}{\displaystyle a_{n-(k+1)}}-k}=\frac{1}{k+1}\,\frac{1}{1-\frac{\displaystyle k+1}{\displaystyle a_{n-(k+1)}}}=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{a_{n-(k+1)}-(k+1)}. \end{eqnarray}$ Daraus folgt $\begin{eqnarray} \frac{1}{a_n}=1+\frac{1}{a_{n-1}-1}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{a_{n-2}-2}=\sum^{n-1}_{k=1}\frac{1}{k}+\frac{1}{a_1-(n-1)}=\sum^{n}_{k=1}\frac{1}{k} \end{eqnarray}$ und somit schließlich die Behauptung. Gruß von Bruce
22.10.2004, 00:29	Calahan	Auf diesen Beitrag antworten »
Bruce, hab's grad mal nachgerechnet und mir ist nix unstimmiges aufgefallen. Ich hatte seit einiger Zeit gelegentlich an dem Ding rumgetüftelt und bin dabei bisher nicht zum Ziel gekommen. Respekt! C.

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