Körper

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The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »
Körper
Hallo.
Es geht um Körper und Körperaxiome.
Für einen Körper gibt es ja 10 Axiome. Für einen geordneten Körper 14 Axiome.
Sei K={0,1} ein Körper.

Wie komme ich bei folgender Tabelle dann darauf, dass 1+1 = 0 ergeben ? Ist es so wie im Binärsystem, dass, weil keine 2 vorhanden ist, man übergehen muss zur "nächsten" Zahl ?
Oder wird diese Tabelle einfach von der Aufgabenstellung so vorgegeben ?

Danke.
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, die Körperaxiome verlangen:

1.) Es existiert ein neutrales Element n der Addition, für das gilt:

n + x = x + n = x für alle x aus K.

Hier kommt nur die 0 in Frage.

2.) Zu jedem Element x ungleich 0 existiert ein additiv Inverses y, sodass

x + y = y + x = 0.

Da bleibt nur noch die 1 übrig. Die 1 muss also zu sich selbst invers sein.

Die Addition kann man übrigens wie im endlichen Körper als modulo 2 definieren.
Rückfragender Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper
Hallo The_Lion,

Wird die Tabelle einfach von der Aufgabenstellung so vorgegeben oder hast du sie selbst erstellt?

Tobias hat bereits geschrieben, dass man die Addition in der Menge {0,1} nicht anders definieren kann, wenn man einen Körper haben will (dessen Nullelement die 0 ist).

Wenn die Tabelle aber vorgegeben ist, dann sollst du wohl zeigen, dass diese Struktur (zusammen mit der ebenfalls zu definierenden Multiplikation) die Körperaxiome erfüllt.
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

ja, genau Rückfragender. Ich soll zeigen, dass K ein Körper ist, indem ich auf alle Axiome eingehe.
Zitat:

Da bleibt nur noch die 1 übrig. Die 1 muss also zu sich selbst invers sein.


Muss immer eine Zahl existieren, die KEIN inverses hat ? obwohl, es hat doch je Zahl ein Inverses da auch 0+0 = 0 (neutrales Element) ergibt bzgl Addition. bei multiplikation hat die 0 kein Inverses.

@Rückfragender:
In der Vorlesung wurde die Tabelle so aufgeschrieben und auf dem Aufgabezettel wird einfach mit angegeben, dass die Adiition dazu so aussieht.

- was ist denn modulo2 ? modulo ist di division mit rest, aber modulo 2 ?
danke.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Muss immer eine Zahl existieren, die KEIN inverses hat ?


Ja, nach Definition darf es nämlich nie ein multiplikatives Inverses für das Nullelement geben.

Zitat:
aber modulo 2


Modulo 2 liefert Dir den Divisionsrest bei Division durch 2. Er kann entweder 1 oder 0 sein.

Zitat:
Wie komme ich bei folgender Tabelle dann darauf, dass 1+1 = 0 ergeben ?


Die Tabelle ist doch vorgegeben. Du musst lediglich zeigen das die so zugrunde gelegte Addition die Körperaxiome erfüllt (assoziativ, kommutativ, (beides ablesbar im Diagram),distributiv,0 element addition, 1 Element multiplikation,Inverses ausser der additiven 0))

Zitat:
weil keine 2 vorhanden ist, man übergehen muss zur "nächsten" Zahl ?


Es gibt keine nächste Zahl. Der Körper besteht aus genau 2 Zahlen, der 0 und der 1. Wie die anderen schon gesagt haben, es macht schon Sinn 1+1=0 so zu definieren. Normal nennt man so ein Ding da Restklassenkörper mit Addition

(a + b) mod 2


und Multiplikation

(a*b) mod 2
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Tabelle ist doch vorgegeben. Du musst lediglich zeigen das die so zugrunde gelegte Addition die Körperaxiome erfüllt (assoziativ, kommutativ, (beides ablesbar im Diagram),distributiv,0 element addition, 1 Element multiplikation,Inverses ausser der additiven 0))


"...1 Element multiplikation,Inverses ausser der additiven 0))"

was meinst du mit dem obigen Satz? es gibt doch ein Inverses zur additiven Null, das ist wieder die Null. nur nichr zur 0 bezgl multiplikation, oder versteh ich schon wieder was falsch?

danke.
 
 
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »
vollständige Ordnung im Körper
So. jetzt habe ich noch etwas. Es geht um die vollständige Ordnung.
Um geordnete Körper.
In folgendem Bild handelt es sich links um einen gerodneten Körper, während rechts keine der Bedingungen x=y, x<y , y<x erfüllt ist.

Es gibt 2 Axiome dazu. Eben diese Ordnung, dass immer einer der Fälle hier auftritt: x=y, x<y , y<x und 2.) die transitivität.

Frage: Muss man dafür nicht die einzelnen Elemte betrachten und z.B. im rechten Bild die Schnittmenge oder müsste man rechts alles betrachten?
Heißt es dann, dass man über das, was nicht in der Schnittmenge liegt, nichts sagen kann, und es somit kein geordneter Körper ist ?

Und den letzen Beitrag von mir nochmal bitte.

Danke.
Aufklärender Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo The_Lion und andere,

ihr müsst berücksichtigen, dass es zwei Inverse gibt: Eins für die Addition, eins für die Multiplikation.

Das für die Addition nennt man üblicherweise "Negatives" (es ist trotzdem ein inverses).
Das für die Multiplikation nennt man in der Schule noch "Kehrwert", später dann "Inverses" (obwohl letzterer Ausdruck nicht sagt, bezüglich welcher Verknüpfung).

Die 0 hat also ein Negatives, aber keinen Kehrwert - wie es die Körperaxiome verlangen.


Auf deinen Bildern kann ich keinen Körper erkennen, The_Lion. Auch nicht, wie die Bilder eine Ordnung darstellen sollen.
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal.
Also ich hab hier ne aufgabe, mit der ich nicht klarkomme, davor habe ich schon andere sätze bewiesen. nur hier habe ich keine Idee mehr.

die aufgabe: für alle x € K gilt : (-1)*x = - x
wie beweist man nur mithilfe der Körperaxiome, dass (-1)*x = - x ist ?

neutrl. Element der Multiplik. ist die 1:
also gilt: 1*x = x
dann habe ich es so versucht: da die -1 als Faktor gesucht ist, und nicht die 1: -1 ist das additiv inverse zu 1: -1* x = -(1*x) = -(x) = - x

aber dann habe ich gesehen, dass man in einer aufgabe gerade eben die gleichung (- x)*y = - (x*y) beweisen soll, also darf ich das ja nicht benutzen.
Kann man mir hier helfen?

dann gibts da noch (-1)* (-1) = 1. das muss ich auch mit hilfe der körperaxiome beweisen, denke aber noch drüber nach.

danke.
Aufklärender Auf diesen Beitrag antworten »

Für diese Aufgabe musst du zeigen, dass (-1)*x das Negative von x ist. Das zeigst du, indem du (-1)*x + x = x + (-1)*x = 0 beweist. Das machst du mit dem Distributivgesetz.

Auch die Gleichung (-x)*y = -(x*y) kannst du ähnlich beweisen, indem du nämlich (-x)*y + (x*y) = 0 zeigst.

Für (-1)*(-1) = 1 wendest du die eben gezeigte Formel (-1)*x = -x auf den Spezialfall x=-1 an, und zeigst dann, dass -(-1) = 1 ist.
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke erst einmal. sieht alles zawr simpel aus, aber man mus immer aufpassen, dass man nur die axniome und das bereits bekannte benutzt.
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

ich antworte mal direkt, damit der thread nicht untergeht.
Kann mir jemand bitte erklären, was die indexmenge ist ? Ich hab zwar ein Buch, aber ich verstehe das nicht so richtig.

Es seien I und M Mengen und x: I --> M eine Abbildung (Funktion), die jedem i € I genau ein Element x(i) € M zuordnet.
wenn man manchmal den wertebereich W von x betonen will, schreibt man anstelle von x und nennt i € I einen index., I die Indexmenge usw.

kennt einer dazu vielleicht einpaar gute beispiele ?

Danke.
:-) Auf diesen Beitrag antworten »

Kleiner Tip ür die Zukunft:
Beginne für eine neue Aufgabe einen neuen Diskussionsstrang. So behält man besser den Überblick.

Nun zur Antwort.

Ein übliches Beispiel sind Zahlenfolgen:

Eine Folge reeller Zahlen ist formal eine Funktion a: N -> R.
Das Bild a(n) schreibt man als , und die Zuordnung a: n -> a(n) als .

Dasselbe funktioniert mit beliebigen Mengen X anstelle von R.

Ein konkretes Beispiel ist die Folge der positiven geraden Zahlen:
(0, 2, 4, ...) = (2n)_n
Diese Folge entspricht der Funktion a: N -> N, a(n) = 2n. Es ist hier a_n = 2n.
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