Anzahl Möglichkeiten

Neue Frage »

lutra Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl Möglichkeiten
Kümmer mich schon leider seit langem nicht mehr um Stochastik, aber jetzt ein kleines Problem:
Habe sozusagen fünf Kugeln in einer Urne und möchte gerne wissen, wie viele mögliche Kombinationen es geben kann bei Ziehen ohne Zurücklegen UND beliebiger Anzahl von Ziehungen (also 1-5 Ziehungen). Reihenfolge ist egal, 123 und 312 müssen also als eine Möglichkeit gezählt werden.
Mein Kopf gibt das nicht mehr her, auch die richtigen Begriffe fallen mir nicht ein. Über Hilfe würde ich mich sehr freuen!

lutra
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Schau doch mal hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Kombinatori...ur.C3.BCcklegen smile

Gruß, therisen
gast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anzahl Möglichkeiten
Hilfreich ist es bei solchen Problemen, es sich "vorzustellen".

Leider ist die Frage auch etwas unklar formuliert.

Aber dennoch:

Du hast 5 Kugeln in der Urne und jede traegt eine der Nummern

1 bis 5.

Jetzt zerlege den Vorgang des Ziehens in einzelne Schritte.

Wenn du das Spiel ohne zuruecklegen spielst, dann

kannst du wie oft eine Kugel ziehen? Genau 5 mal.

Fuer den ersten Zug stehen dir 5 Kugeln zur Verfuegung.

Fuer den zweiten Zug stehen dir dann 5 -1, also 4 K zur Verf.

Fuer den dritten Zug 5-1-1, also 3,

und das geht so weiter bis es keine Kugel mehr gibt.

Wir haben also die folgende Zahlenkolonie fuer die ANZAHL DER

MOGLICHEN KUGELN: 5, 4, 3, 2, 1.

Und nach dem alle durch das Woertchen "und" verbunden sind,

ersetzen wir das Komma durch eine *-zeichen

5*4*3*2*1 = 5! = 120 Moeglichkeiten, eine Reihenfolge zu

Kombinieren. Darunter fallen also 54321 ebenso wie 12354, etc.

Nach dem es aber bei dir nicht auf die Reihenfolge ankommt,

hat man zu guter letzt nur eine einzige Reihenfolge:

12345 ist genau so gut wie 23451, etc.

Also haben wir aus den 120 potentiellen Moeglichkeiten

noch die jenigen herauszunhemen, die wir als gleich ansehen.

Und fuer den Fall, dass du alle 5 Kugeln ziehst: 120 / 120 = 1

einnzige Moeglichkeit.

Durch diese Idee mit dem Rausstreichen der als gleich angesehnen

Reihenfolgen ergibt sich durch einfache Ueberlegung der

Binomialkoeff:

( n)
( k)

das liest man: n ueber k,

dabei steht n fuer die Anzahl der Kugeln (Objekte)

und k fuer die Anzahl der ausgewahlten Kugeln.

die obige FORMEL steht fuer:

n! / ( (n-k)! * k!)

wobei ZAHL! fuer die Formel: 1*2*3*4*.....*ZAHL abkuerzend steht.

Z.B.

Ziehe ich eine Kugel, also spiele eine Runde:

5! / ( ( 5-1)!*1!) = 1*2*3*4*5 / ((1*2*3*4)*1) = 5 Moeglichkeiten.

bei zwei Zuegen - du siehst, k stehe hier immer fuer die Anzahl

der Zuege, resp. Spielrunden:

5! / ( ( 5-2)!*2!) = 1*2*3*4*5 / ( (1*2*3) * 1* 2) = 10 Moeglichkeiten

etc.

Wenn man ein wenig nachdenk, kommt man dahinter

dass das ganze einer einfachen Symmetrik gehorcht, welche von k und

n abhaebgt.

fuer n= 5 ergibt sich:

1 5 10 10 5 1

wobei jede Spalte fuer eine der Zahlen k = 0, 1, ...5 steht.

Das ganze ist dann auch als Pascalsches Dreieck bekannt.

Jetzt kann dir aber wieder jede Formelsammlung weiterhelfen.

Gruesse
r.
lutra Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anzahl Möglichkeiten
vielsten dank euch beiden,

lutra
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »