Fehler bei Beispielen zu Restklassen entdeckt...

19.10.2004, 16:04	trenky	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehler bei Beispielen zu Restklassen entdeckt... Ich habe hier einen rechenfehler entdeckt... der sollte doch mal behoben bzw. überdacht werden... und zwar bei den Restklassen-Beispielen: http://matheboard.de/lexikon/Kongruenz_(Zahlentheorie),definition.htm (den ganzen Link in die Adressleiste kopieren!) ------------------ Beispiel 1: Frage: Mit welcher Ziffer endet die Zahl $\begin{eqnarray} 333^{222} \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} 333 \equiv 3 mod 10 \end{eqnarray}$ Daraus folgt mit der Potenzregel (a=333, b=3, m=10, n=222): $\begin{eqnarray} 333^{222} \equiv 3^{222} mod 10 \end{eqnarray}$ Es gilt $\begin{eqnarray} 3^3 \equiv (-1) mod 10 \end{eqnarray}$ Erneute Anwendung der Potenzregel (a=33, b=-1, m=10, n=74) liefert: $\begin{eqnarray} 3^{222} = 3^{374} \equiv (-1)^{74} mod 10 = 1 \end{eqnarray}$ Antwort: Die Endziffer lautet 1. ------------------- - was schlichtwegs falsch ist. Die Endziffer lautet 9 denn der Fehler liegt hier: Der autor spaltet $\begin{eqnarray} 3^{222} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} (3^3)^{74} \end{eqnarray}$ auf jedoch stimmt folgende Zeile nicht: $\begin{eqnarray} 3^3 \equiv (-1) mod 10 \end{eqnarray}$ Das ist schlichtwegs falsch. $\begin{eqnarray} 3^{222} \end{eqnarray}$ müsste aufgespalten werden in zb: $\begin{eqnarray} (3^2)^{111} \end{eqnarray}$ dann ergäbe sich: $\begin{eqnarray} 3^2 \equiv (-1) mod 10 \end{eqnarray}$ und weiter: $\begin{eqnarray} (3^2)^{111} \equiv (-1)^{111} mod 10 = (-1) mod 10 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3^{222} \equiv (-1) mod 10 = 9 \end{eqnarray}$ womit bewiesen wäre: Die letzte Ziffer von $\begin{eqnarray} 333^{222} \end{eqnarray*}$ ist tatsächlich 9 (und nicht wie angenommen 1) Mfg, trenky
19.10.2004, 19:38	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo trenky, das hast du richtig bemerkt, allerdings ist der Datenbestand des Matheboard-Lexikons nicht up2date sondern lediglich ein Mirror von Wikipedia (zu einem früheren Zeitpunkt). Die aktuelle Datenbank kannst du direkt unter www.wikipedia.de abrufen. Hier der Link zur Kongruenz: http://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_%28Zahlentheorie%29 Gruß, therisen
21.10.2004, 15:03	trenky	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Hinweis...

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