Fragen zur Kurvendiskussion |
| 19.10.2004, 16:41 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Fragen zur Kurvendiskussion Ich habe eine Kurvendiskussion an dieser Aufgabe geübt. Die Asymptoten bekomme ich ja eigentlich raus, wenn ich limes x -> +- oo laufen lasse, aber dann habe ich ja keinen genauen Wert, den ich in meine Skizze zeichnen kann. Hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen. Mit Extremwerten kann ich irgendwie garnichts anfangen, vllt auch, weil unser Lehrer gerne andere Bezeichnungen für so was benutzt ^^. Danke! |
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| 19.10.2004, 16:42 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das x am ende soll eigentlich wurzel x werden :/. Kenne mich mit latex nicht aus ^^ (also ich habe x^1/2 geschrieben) |
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| 19.10.2004, 16:57 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich bessere es mal aus. 
Wurzel ist übrigens \sqrt{..} |
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| 19.10.2004, 17:06 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hast dann Asymptoten, sobald x im Nenner steht, weils ja dann sein kann, dass man für x eine Zahl einsetzt, sodass der gesamte Nenner 0 wird - und ein Nenner darf niemals 0 werden und sobald du unter der Wurzel ein x hast - denn es könnt ja sein, dass du für x eine Zahl einsetzt, sodass unter der Wurzel eine Minuszahl steht und man kann keine Wurzel aus einer Minuszahl ziehen. bei dir steht ein x unter der Wurzel....also musst du garantieren, dass der Ausdruck unter der Wurzel nicht minus wird... daher: Das heißt, du darfst für x keine Zahlen, die kleiner als 0 sind, einsetzen...daher hast du eine ganze Fläche bis - unendlich, wo die Funktion nicht drüber gehen darf. Die Extremwerte berechnet man, indem man die 1. Ableitung macht, denn das ist die Steigung der Tangente in jedem beliebigen Punkt der Kurve...und wenn die Steigung der Tangente 0 ist, muss ein Extremwert vorliegen (oder aber auch ein Sattelpunkt/Terrassenpunkt) |
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| 19.10.2004, 19:13 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also wäre die Asymptote für auf der f(x)-achse? [quote] Die Extremwerte berechnet man, indem man die 1. Ableitung macht, denn das ist die Steigung der Tangente in jedem beliebigen Punkt der Kurve...und wenn die Steigung der Tangente 0 ist, muss ein Extremwert vorliegen (oder aber auch ein Sattelpunkt/Terrassenpunkt) [quote] Also f '(x) gleich null setzen und x ausrechnen, dann halt das ergebnis von x in die funktion einsetzen, oder wie? |
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| 19.10.2004, 19:14 | hummma | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du musst auch noch zeigen dass es eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel ist sonst is es ein Terassenpunkt und kein Extrema! |
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| 19.10.2004, 21:20 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also wäre die Asymptote für auf der f(x)-achse?
1. Die y-Achse ist nicht deine Asymptote, weil du ja für x 0 einsetzen darfst....aber alles, was links von der y-Achse liegt, ist dein "Asymptotenbereich", weil du keinen Wert links von 0 einsetzen kannst, denn sonst würd kein dazugehöriges y rauskommen. Probier doch mal z.b. für x = - 1 einzusetzen.....da kriegst dann kein Ergebnis, weil Wurzel aus - 1 nicht reell ist. 2. Wenn du die 1. Ableitung 0 setzt, kommt der x-Wert deines Extremwertes heraus. Wenn du den dazugehörigen y-Wert haben willst, musst du den in f(x) einsetzen, denn f(x) bedeutet y. Aber du musst vorher noch überprüfen, ob das wirklich ein Extremwert ist, denn es könnt auch ein falscher Extremwert und in Wirklichkeit ein Wendepunkt sein. Das überprüfst du, indem du den x-Wert in die 2. Ableitung einsetzt und das darf dann nicht 0 ergeben. Ergibt es 0, dann ist es kein Extremwert, sondern ein spezieller Wendepunkt, auch Sattelpunkt oder Terrassenpunkt genannt. |
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| 19.10.2004, 21:44 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
und wo müsste ich die Asymptote dann hinzeichnen? in der skizze? |
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| 19.10.2004, 21:51 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das überprüfst du, indem du den x-Wert in die 2. Ableitung einsetzt und das darf dann nicht 0 ergeben. Ergibt es 0, dann ist es kein Extremwert, sondern ein spezieller Wendepunkt, auch Sattelpunkt oder Terrassenpunkt genannt. das muss nicht stimmen, nimm y = x^4 1. und 2. Ableitung Null und dennoch Extrema bei Null 
ich geh aber schon mal in Deckung ... |
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| 19.10.2004, 21:56 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es gibt keine Gerade(Asymptote), sondern nur eine Fläche, die du rot anzeichnen musst. Deine Definitionsmenge lautet: D = { x € R | x >= 0} Und du musst die ganze Fläche links von der y-Achse anmalen....denn das ist dein Asymptotenbereich. Da darf die Kurve nicht drüber gehen, weil man da ja keine Punkte berechnen kann. |
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| 19.10.2004, 22:03 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hihi, du musst mich ja schon als Furie sehen....aber stimmt...wieso ist das da so? Bzw. wie kann ein Extremwert rauskommen, obwohl die Krümmung 0 ist? |
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| 19.10.2004, 22:05 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, Asymptotenbereich haben wir glaube ich noch nicht durchgenommen, aber ich werde es mir merken. Wenn du schon dabei bist, kannst du mir nicht eine Beispielaufgabe geben, in der man eine gerade Asymptote zeichnen kann? Wäre echt cool 
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| 19.10.2004, 22:07 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
f(x) = 3/(x - 4) z.b. Und da wär die Asymptotengleichung: x = 4 weil du den Nenner ungleich 0 setzen musst. x - 4 = 0 x = 4 und das ist zugleich die Geradengleichung (die parallel zur y-Achse ist im Abstand 4) links davon und rechts davon musst die Kurve zeichnen. Die Kurve nähert sich dann von links und von rechts unendlich an die Asymptote an. |
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| 19.10.2004, 22:33 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
k, könnte ich jetzt z.B. bei f(x) = -2/(x²-4) - 1 Defmenge: R \ {+ - 2} die Asymptoten einfach aus der Definitionsmenge rauslesen? hier ist es ja -2 und +2. |
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| 19.10.2004, 22:35 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja genau, aber es ist immer besser, du beweist das schriftlich, aber die Asymptotengleichungen sind dann: x = 2 und x = - 2 |
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| 19.10.2004, 22:38 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gut, vielen Dank! Wenn du dich zur Wahl zum Bundeskanzler/in stellen würdest, hättest du meine Stimme
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| 19.10.2004, 22:41 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Weiß nicht, ob die mich als Österreicherin haben wollen...aber ihr mögts ja die Österreicher ganz gern, gelle? |
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| 19.10.2004, 22:46 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hihi, du musst mich ja schon als Furie sehen....aber stimmt...wieso ist das da so? Bzw. wie kann ein Extremwert rauskommen, obwohl die Krümmung 0 ist? 'dazu' hatten 'wir' hier schonmal einen 'schönen' Thread, deine landesverwandte 'Grybl' war auch mit dabei, vielleicht findet sie den Thread ... Furie, ja, leichte Tendenzen sind zu erkennen ... .
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| 19.10.2004, 22:50 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wenn du das mit der Furie wirklich ernst meinst....dann....dann..wirft mich das ja um Jahre zurück...bin überhaupt nicht furienmäßig...im gegenteil..gutmütiger ist nur noch der papst..hihi |
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| 20.10.2004, 03:47 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
... habs doch gefunden, ....dann....dann.. schau mal rein etwa ab hier |
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| 20.10.2004, 05:18 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
oh danke! habs mir durchgelesen, und ok....ich versteh jetzt, wann ein Sattelpunkt vorliegt, bis auf diese eine irre Funktion da. aber trotzdem weiß ich jetzt nicht, WARUM das so ist. Ich versteh, warum die 1. Ableitung die Steigung der Tangente ist und wieso die 2. Ableitung die Krümmung ist. Aber was ist eigentlich die 3. Ableitung? Die 1. Ableitung ist sozusagen die Differenz zweier Punkte --> Steigung. Die 2. Ableitung ist die Differenz zweier Steigungen --> Krümmung. Dann müsst die 3. Ableitung die Differenz zweier Krümmungen sein....aber was ist das dann? Heißt das dann, dass eine Linkskrümmung eine Rechtskrümmung aufhebt, wenn f'''(x) = 0? Und was ist dann die 4. Ableitung? die verwirrte kiki edit: die Differenz zweier Punkte - eigentlich der Differenzenquotient..das hab ich schon wieder ungenau formuliert...ich weiß... ich schieb das mal hoch und hoff, dass der poff das auch sieht. edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte unterlasse das "Pushen" von Threads
(MSS) |
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| 21.10.2004, 00:15 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hochschieben is aber nich erlaubt
Also was die 3., 4. oder höhere Ableitung für die Ausgangsfunktion angibt, ist nicht so anschaulich. Die 3. is dann wirklich nur die Änderung der Krümmung (also wie stark das gekrümmt ist, das sagt auch geometrisch was aus) und gleichzeitig auch die Krümmung der Änderung, die vierte ist dann die Änderung der Änderung der Krümmung oder die Änderung der Krümmung der Änderung oder die Kümmung der Krümmung usw. Aber das is halt n bißchen sinnlos, das sagt nich grad viel aus über die Ausgangsfunktion und is auch nich grad nützlich. Was du mit "Linkskrümmung hebt eine Rechtskrümmung auf" meinst, is mir nich ganz klar. Man kann sagen, bei f'''(x)=0 wechselt die Krümmung der Änderung oder dort ist die Krümmung der Ausgangsfunktion maximal
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| 21.10.2004, 00:37 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das heißt, da ja ein Sattelpunkt die höchste/kleinste Änderung der Krümmung hat, weil ja die Tangente die Steigung 0 hat, ist der Beweis, dass ein Sattelpunkt vorliegt, dass f'''(x) = 0 ist, weil man dann ja einen Extremwert für die höchste/kleinste Änderung der Krümmung hat. Aber aus der Erklärung aus dem Link geht hervor, dass sobald eine ungerade Ableitung ungleich 0 ergibt, ein Sattelpunkt bewiesen ist. Und weil die 3. Ableitung eine ungerade Ableitung ist, müsst die doch ungleich 0 sein, damit ein Sattelpunkt bewiesen ist. Glaub, das kapier ich noch immer nicht. Ich hab da irgendwo einen Denkfehler. |
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| 21.10.2004, 00:57 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das höchste/kleinste hat nichts mit der Steigung der Tangente zu tun. Wie kommst du darauf, dass f'''(x)=0 eine hinreichende Bedingung für einen Sattelpunkt wäre? |
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| 21.10.2004, 01:12 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Weil die Änderung der Krümmung dort am flachsten ist, also am geringsten, weil die Tangente parallel zur x-Achse verläuft. Und da ja die 3. Ableitung die Änderung der Krümmung ist, müsste, wenn ich die 0 setze, der x-Wert des Sattelpunktes herauskommen. Bzw., wenn ich den x-Wert des vermeintlichen Sattelpunktes in die 3. Ableitung einsetze, dann müsste 0 rauskommen. Was ich meine, ist, dass sich die Krümmung am Sattelpunkt von links auf rechts kaum ändert, weil die Kurve dort fast flach verläuft. Und da die Ableitung von f" = 0 die Extremwerte der Krümmung sind, müsste eigentlich der x-Wert des Sattelpunktes rauskommen. |
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| 21.10.2004, 01:32 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich glaub, dass ich die Änderung der Krümmung falsch interpretiere. Mit der 3. Ableitung = 0 bestimmt man, an welchem Punkt die Kurve am stärksten, bzw. am geringsten gekrümmt ist....und am Sattelpunkt ist die Krümmung 0....daher ist die Kurve dort gar nicht gekrümmt. Ist das mein Denkfehler? und wenn man die 4. Ableitung macht, dann repräsentiert das wieder den Wendepunkt, daher muss f''''(x) = 0 sein...und die nächste muss wieder ungleich 0 sein....glaub, jetzt kapier ichs. Siehst...das war so ein Fall von "auf die Sprünge helfen"... danke! (falls es stimmt, wenn nicht, text ich dich weiter zu...hihi) kiki |
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| 21.10.2004, 01:38 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn hier überhaupt eine Asymptote vorliegt, dann ist es y = x, denn es ist |
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| 21.10.2004, 10:51 | krieger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Fragen zur Kurvendiskussion hi! eine recht ungünstige aufgabe sich an der kurvendiskussion zu üben 
.wo soll denn diese nette funktion extrempunkte haben 
zur übung empfehlen sich hier ganzrationale funktionen vierten grades. gruß krieger |
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| 21.10.2004, 12:19 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Fragen zur Kurvendiskussion @krieger üben brauch ich die Kurvendiskussion nicht mehr, die versteh ich ja eh. Es ging bloß um die 3. Ableitung und die nächsthöheren und ums Verständnis, was die bedeuten. die Funktion f(x) = x^4 hat einen Extremwert bei x = 0, obwohl die Krümmung dort 0 ist und der Extremwert daher ein falscher Extremwert sein müsste und in Wirklichkeit ein Wendepunkt, dessen Tangente die Steigung 0 hat. Und da ging es um die Frage, wie sowas sein kann....und wann man erkennt, dass das dann doch ein Extremwert ist, bzw. wann es wirklich ein spezieller Wendepunkt (Sattelpunkt) ist. |
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| 21.10.2004, 12:25 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Obwohl das nicht der Bücher-Thread ist, empfehle ich jetzt mal dieses Buch. Es behandelt ausschließlich rationale Funktionen und ist eine gute Einführung in das Thema. Allerdings gibt es auch vollständigere Werke. Hier werden beispielsweise die Differentiationsregeln als definiert hingestellt und sollen weder "hergeleitet noch bewiesen werden." Wem das jedoch als Annäherung an das Thema Analysis reicht, und wer Wert auf Lernen durch Praxis setzt, der wird mit der Vielzahl an Übungen richtig bedient sein. *werbung mach* lol
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| 21.10.2004, 16:24 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, das muss nicht sein!! Die 4.Ableitung ist sehr selten bei Sattelpunkten 0!! Die einzigen beiden Ableitungen, wo Sattelpunkte sicher 0 sind, sind f' und f'' und wenn f''' an der Stelle ungleich 0 ist, dann sind die anderen völlig egal ... f'''' ist ja die krümmung der krümmung, die muss aber bei demSattelpunkt nicht 0 sein! Du solltest das mit den höheren Ableitungen erstmal vergessen, bis du noch n bißchen mehr Wissen hast
Also hol dir mal n Analysisbuch oder Ähnliches, natürlich nur, wenn du möchtest. Aber das könnte auf jeden Fall helfen ...
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| 21.10.2004, 16:41 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das wollt ich eigentlich noch dazuschreiben...dass alle geraden Ableitungen nicht zwingend 0 sein müssen, dafür müssen aber alle ungeraden die Bedingung erfüllen, dass sie ungleich 0 sind, weil die Krümmung am Sattelpunkt 0 ist. |
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| 21.10.2004, 21:27 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sie müssen nicht alle ungleich 0 sein! Wären sie alle ungleich 0, so wäre es kein Sattelpunkt, denn dann wäre ja auch f'(x) ungleich 0 und somit läge kein Sattelpunkt vor! |
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| 21.10.2004, 21:33 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hast du meinen Beitrag mit der Asymptote verstanden, kikira? |
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| 21.10.2004, 22:07 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So! Bin verwirrt..ich denk mir das nochmal durch....denn....ja...schon klar, die hat ja eine Tangente mit Steigung 0....daher ist also nur die 3. Ableitung ausschlaggebend, weil das die Extremkrümmung ist und die muss ungleich 0 sein. Aber dann schau dir mal den Link an, den Poff mir gegeben hat weiter oben. Ich hasse es, wenn ich was nicht durchschau. @webfritzi Schaut aus, als wolltest du eine Tangentensteigung für die Kurve untersuchen für den Definitionsbereich. Du lässt x gegen unendlich streben und da unendlich/unendlich 1 ist, ist die Steigung 1. Die 1. Mediane y = x hat die Steigung 1. Aber warum die 1. Mediane? Könnt das dann nicht jede paralle Gerade sein mit der Steigung 1? Nö, denn sonst wärs nicht Asymptote...daher muss ich die in den Anfang des Definitionsbereiches verschieben.... Richtig? |
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| 21.10.2004, 22:17 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die 3. muss auch nich 0 sein! Aber du kannst folgendes sagen: Wenn (!!!) sie ungleich 0 ist, dann liegt ein Sattelpunkt vor. Wenn sie 0 ist, dann musst du noch weiter untersuchen, entweder auf Vorzeichenwechsel oder du leitest dann so lange ab, bis du zum ersten Mal eine Ableitung erhälst, für die in dem Punkt f nicht 0 ist. Ist die Ableitung 'gerade', dann ist es kein Sattelpunkt, ist sie ungerade, dann ist es einer. Jetz klarer?
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| 21.10.2004, 22:25 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das will ich nicht nochmal hören! Schau dir nur an... Sorry, aber den Rest, den du geschrieben hast, verstehe ich nicht. |
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| 21.10.2004, 22:26 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das hab ich aus dem Link verstanden..bloß ich durchschau nicht ganz, WAS ich genau da tu und WARUM das so ist. Und ich hasse es, wenn ich was nicht begründen kann. Es hilft mir nix, wenn ich bloß weiß, was passieren muss, damit ich einen Sattelpunkt hab, sondern ich will wissen, was genau ich da tu. Und das kapier ich nicht so ganz, bzw. ich dachte, ich würds kapieren, aber seh jetzt, dass ichs nicht kapier. lg kiki |
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| 21.10.2004, 22:30 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
da kommt unendlich raus, fritzi. Wieso ist unendlich/unendlich nicht 1? |
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| 21.10.2004, 22:37 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Weil unendlich keine Zahl ist!! Unendlich/unendlich ist ein sogenannter unbestimmter Ausdruck. Du darfst mit unendlich nicht rechnen, wie mit normalen Zahlen, weils eben keine Zahl is!
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